1 / 35

Statistik Lektion 5

Statistik Lektion 5. Flere stikprøvefordelinger Estimatore og estimater Konfidensintervaller. Stikprøvefordeling. Antag at vi vil udtale os om en populationsparameter (fx middelværdien m ) på baggrund af en stikprøve statistik (fx. stikprøve-gennemsnittet ).

thanh
Download Presentation

Statistik Lektion 5

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. StatistikLektion 5 Flere stikprøvefordelinger Estimatore og estimater Konfidensintervaller

  2. Stikprøvefordeling • Antag at vi vil udtale os om en populationsparameter (fx middelværdien m)på baggrund af en stikprøve statistik (fx. stikprøve-gennemsnittet ). • Vores konklusion skal tage i betragtning, at værdien af ændrer sig for hver ny tilfældig stikprøve • Den tilfældig variation af stikprøve-statistikken (her gennemsnittet) betegnes stikprøve-fordelingen (af stikprøve-gennemsnittet)

  3. Stikprøve-gennemsnittets stikprøve-fordeling: Forventede værdi • Lad de stokastiske variable X1, X2,…,Xn være en tilfældig stikprøve fra en population m. middelværdi m og varians s2. • Stikprøve-gennemsnittet af disse SV er • Den forventede værdi og varians for stikprøve-gennemsnittet er og Hvis stikprøve er lille i forhold til population

  4. Den Centrale Grænseværdi Sætning (CLT) (Central limit theorem) • Lad X1, X2,…, Xn, er være n uafhængige stokastiske variable fra samme fordeling med middelværdi m og varians s2. Da gælder, at når stikprøvestørrelsen n øges, så vil fordelingen af nærme sig mere og mere en standard normal-fordeling. • Tommelfinger-regel: n ≥ 30 er nok til en god tilnærmelse.

  5. 2-fordelingen [ki-i-anden] c2-fordelingen: df=10, df=30, df=50 • En 2-fordelt stokastisk variabel kan ikke være negativ, så den er begrænset af 0 til venstre. • Fordelingen er højreskæv. • En 2 fordeling er specificeret ved antallet af frihedsgrader. • Notation: En stokastisk variabel Y, der følger en 2-fordeling med n [ny] frihedsgraderangivessom 0 . 1 0 df = 10 0 . 0 9 0 . 0 8 0 . 0 7 0 . 0 6 ) df = 30 2  5 0 . 0 ( f 0 . 0 4 df = 50 0 . 0 3 0 . 0 2 0 . 0 1 0 . 0 0 0 5 0 1 0 0  2 • 2-fordelingen nærmer sig en normal-fordelingen, når antallet af frihedsgrader vokser.

  6. Mere om 2 fordelingen • Middelværdi og Varians Hvis Y er c2-fordelt med n frihedsgrader: • Sammenhæng med normalfordelingen Lad X1, X2,…, Xn være uafhængige, standard normalfordelte stokastiske variable. Definer Da gælder

  7. Stikprøvevariansen og dens fordeling • Stikprøve-variansenfor en tilfældig stikprøve er • Generelt gælder • Hvis populationen er normalfordelt gælder

  8. Sandsynligheder i 2fordelingenTable 7 s865 a Areal i højre hale (α) .995 .990 .975 .950 .900 .100 .050 .025 .010 .005 1 0.0000393 0.000157 0.000982 0.000393 0.0158 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 2 0.0100 0.0201 0.0506 0.103 0.211 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60 3 0.0717 0.115 0.216 0.352 0.584 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 4 0.207 0.297 0.484 0.711 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 5 0.412 0.554 0.831 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 6 0.676 0.872 1.24 1.64 2.20 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 7 0.989 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95 9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30 13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80 16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27 17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 • Man kanfindec2ai R vha. • > qchisq(p=a,df=df,lower.tail=FALSE) Sikrer at a svarer til sandsynligheden til højre.

  9. Eksempel • Setup: Antag vi har en stikprøve på n =15 fra en normal-fordelt population med middelværdi m = 20 og varians s2 = 9. • Spørgsmål: Find en værdi c, så sandsynligheden for at få en stikprøve-varians mindre end c er 5%? • Løsning: Spørgsmålet formuleret som sandsynlighed: • Hvis c2 følger en c2 -fordeling med 15-1 frihedsgrader, så ved vi fra c2- tabellen at P(c2 > 6.57) = 0.95  P(c2 < 6.57) = 0.05 • Løs ligningen 14c/9 = 6.57  c = 4.22. • 5% af alle stikprøvevarianser, vil være under 4.22.

  10. En estimator af en populations parameter er en stikprøve statistik, der bruges til at estimere populations parameteren. Et estimat af en parameter er en bestemt numerisk værdi af en stikprøve statistik. Et punkt-estimater en enkelt værdi, der bruges som et estimat for en populations parameter. Et interval-estimat er et interval, der bruges som et estimat for en populations parameter. Estimator og estimat En populations-parameterer et numerisk mål for en opsummerende karakteristik af populationen. fx fx Eksempel: er en estimatorfor . er et (punkt-) estimat af . En stikprøve-statistik er et numerisk mål for en opsummerende karakteristik af stikprøven.

  11. Estimatore: Egenskaber • Lad q være en generel populations-parameter, fx m. • Lad være en estimator for q, fx. • Vi vil se på tre ønskelige egenskaber for estimatorer • Unbiased • Konsistent • Effektiv

  12. Unbiasedestimator • Definiton: Hvis en estimator opfylder er den unbiased . Bias En unbiasedestimator rammer i gennemsnit plet. En biasedestimator rammer i gennemsnit ikke plet.

  13. Effektiv Estimator • Definiton: Antag at og er to unbiasedestimatorer. Hvis Var( ) < Var( ), så siger vi at er en mere effektiv estimator end . En ineffektiv estimator er i gennemsnit længere fra at ramme plet. En effektiv estimator er i gennemsnit tættere på at ramme plet.

  14. n = 100 n = 10 Konsistent • En estimator er konsistent hvis sandsynligheden for at ligge tæt på den parameter, den estimerer, stiger, når størrelsen på stikprøven stiger.

  15. Konfidensintervaller Konfidensintervaller generelt Konfidensintervaller for middelværdi

  16. Konfidens-intervaller • Et punkt-estimat estimerer værdien af en ukendt populations-parameter ved en enkelt værdi. • Fx: Middelhøjden blandt oeconstudernde . • Et konfidensinterval er et interval, der estimerer værdien af en ukendt populationsparameter. Kaldes også et intervalestimat. Sammen med intervallet gives et mål for, hvor sikker man er på, at den sande populations parameter ligger i intervallet. Dette mål kaldes for konfidensniveauet. • Et punktestimat indeholder ikke meget information om den faktiske værdi af μ – fx hvor sikkert er vores punkt estimat? • Et intervalestimat indeholder flere informationer, for eksempel: • Vi er 95% sikre på, at intervallet [164,8 ; 180,7] indeholde den sande middelværdi μ. • Eller vi er 90% sikre på, at intervallet [166,1 ; 179,3] indeholder den sande middelværdi μ.

  17. Konfidensinterval for middelværdien - Opvarmning • Da gælder følgende: Dvs. med 95% sandsynlighed ligger (den stokastiske variabel) X i det faste interval . • Det kan omskrives til Dvs. det stokastiske interval indeholder med 95% sandsynlighed det faste tal m.

  18. Konfidensinterval for middelværdien - når X er normal-fordelt eller stikprøven er stor • Vi har altså • Hvis vi erstatter den estimatorenX (”et tilfældigt tal”) med estimatet x(”et fast tal”) får vi konfidensintervallet: • For en stikprøve der enten er stor eller fra en normal-population er et 95% konfidensinterval for middelværdien m når variansen er kendt Bemærk at estimatoren er er ersattet med estimatet .

  19. Mellemregninger…. 0,025 0,025 0,025

  20. Konfidens-interval for middelværdi 0,025 0,025 Approksimativt 95% af stikprøve middelværdierne kan forventes at falde indenfor intervallet Omvendt, cirka 2.5% kan forventes at være under og 2.5% kan forventes at være over . Så 5% kan forventes at være udenfor intervallet. . 0,025 2.5% faldernedenforintervallet 2.5% falder over intervallet 95% falderindenforintervallet

  21. Konfidens-interval for middelværdi 0,025 0,025 Approksimativt 95% af intervallerne omkring stikprøve middelværdien kan forventes at indeholde den faktiske værdi af populations middelværdien, . *5% af sådanne intervaller omkring stikprøve middelværdien kan forventes ikke at inkludere den faktiske værdi af populations middelværdien. 0,025 * * 95% falderindenforintervallet

  22. Et (1-a)100% konfidens-interval for m Vi definerer som den z-værdi, hvor sandsynligheden for at Z er højere end denne værdi, er . Kaldes også fraktilen eller den kritiske værdi. (1-α)100% kaldes konfidens-niveauet. fordeling æ ö S t a n d a r d N o r m a l a/2 > = ç ÷ P Z z è ø a 0 . 4 2 æ ö a/2 < - = ç ÷ P Z z 0 . 3 è ø a 2 ) æ ö z ( 0 . 2 f - < < = - a ç ÷ P z Z z ( 1 ) è ø a a 2 2 0 . 1 (1-a) 100% konfidens int erval: 0 . 0 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 Z

  23. Kritiske værdier for z og konfidens-niveauer Standard normalfordeling Bemærk:

  24. Eksempel • Spørgsmål: Antag (1-a) = 80%. Find za/2 • Løsning: a = 0.20 og a/2 = 0.10 • Vi ved F(za/2) = 1-0.1 = 0.90. • Dvs.za/2= 1.28

  25. Konfidens niveau og bredden af konfidens-intervallet Når man tager stikprøver fra den samme population og bruger den samme stikprøve størrelse, så jo højere et konfidens-niveau, jo bredere et konfidens-interval. S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n S t a n d a r d N o r m a l D i s t r i b u t i o n 0 . 4 0 . 4 0 . 3 0 . 3 ) ) z z ( ( 0 . 2 0 . 2 f f 0 . 1 0 . 1 0 . 0 0 . 0 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 Z Z

  26. S a m p l i n g D i s t r i b u t i o n o f t h e M e a n S a m p l i n g D i s t r i b u t i o n o f t h e M e a n 0 . 4 0 . 9 0 . 8 0 . 7 0 . 3 0 . 6 0 . 5 ) ) x x 0 . 2 ( ( f f 0 . 4 0 . 3 0 . 1 0 . 2 0 . 1 0 . 0 0 . 0 x x 95% konfidensinterval: n = 20 95% konfidensinterval: n = 40 Stikprøvestørrelsen og bredden af konfidens-intervallet Når man tager stikprøver fra den samme population og bruger det samme konfidensniveau, så jo større stikprøvestørrelse, n, jo smallere et konfidensinterval.

  27. Eksempel på tavlen • Antag n = 25, x = 27.781 kr/md, s = 2500 kr/md. • Find et 95% konfidensintervalfor m.

  28. Student’s t fordeling • Antag populationen er normalfordelt med middelværdi m og varians s2. • Gammel viden: Hvis vi kender variansens2, så kan vi bruge: • Ny viden: Hvis vi ikke kender variansens2, så kan vi erstatte s2 med stikprøve-variansen s2: • ”følger en t-fordeling med n-1frihedsgrader”.

  29. Student’s t fordeling • t fordelingen er klokkeformet og symmetrisk og defineret ved antal frihedsgrader (df). • Middelværdien er altid lig 0. • Variansen af t er større end 1, men går mod 1, når antallet af frihedsgrader vokser. Standard normal t, df=20 t, df=10   • t fordelingen er fladere og har ”tykkere haler” en standard normal fordelingen. • t fordelingen går mod standard normalfordelingen nå antallet af frihedsgrader vokser.

  30. Konfidensinterval for  når  er ukendt - t-fordelingen • Defintion:Et (1-a)100% konfidensintervalfor m når s er ukendt (og man antager en normalfordelt population):hvor er værdien i t-fordelingen med n-1 frihedsgraders, hvor sandsynligheden for at t er højere end denne værdi, er a. a / 2 ta/2

  31. Tabel fort-fordelingen df t0.100 t0.050 t0.025 t0.010 t0.005 --- ----- ----- ------ ------ ------ 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 ∞1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 a / 2 ta/2 For store frihedsgrader kant- fordelingen approksimeres ved en standard normalfordeling.

  32. R • Man kan slå ta/2 op i R: • Hvis vi vil finde t0.025 når antallet af frihedsgrader er 27: > qt(0.025,df=27,lower.tail=F) [1] 2.051831 • Tilføjelsen lower.tail=F er nødvendig, da de 0.025 angiver arealet i øvre hale. • Alternativt kan man bruge > qt(0.975,27) [1] 2.051831

  33. Eksempel En aktieanalytiker vil estimere den gennemsnitlige gevinst på en bestemt aktie. En stikprøve på 15 dage giver en gennemsnitlig gevinst på og en standardafvigelse på s = 3.5%. Antag en normal-population og giv et 95% konfidensinterval for den gennemsnitlige gevinst på denne aktie. Den kritiske værdi aft for df= (n -1) = (15 -1) = 14 og et højrehaletareal påα/2 = 0.025 er: Konfidensintervalleter: • R-mellemregning: > qt(0.025,df=14,lower.tail=F) [1] 2.144787

  34. Konfidensintervaller for Middelværdien i R • R har kun en indbygget funktion til at beregne konfidensintervallet for m under antagelse af ukendt varians: • Eksempel: 95% konfidensinterval for højde i Sundby95: > t.test(data$hoejde) One Sample t-test data: data$hoejde t = 918.6152, df = 2626, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: 172.3263 173.0635 sample estimates: mean of x 172.6949

  35. Konfidensintervaller for Middelværdien i R • Man kan også ændre konfidensniveauet, fx et 99% konfidensinterval: > t.test(data$hoejde,conf.level=0.99) 99 percent confidence interval: 172.2103 173.1795 • Man kan også ”bare” sætte ind i formlen : > mean(data$hoejde,na.rm=T) + c(-1,1)*qt(0.995,n-1)*sd(data$hoejde,na.rm=T)/sqrt(n) [1] 172.2103 173.1795 • Hvor n er antallet af faktiske observationer af højde: > n = sum(!is.na(data$hoejde))

More Related