Download
1 / 85
E N D
ÖLÇME TEMEL BİLEŞENLERİ VE SIK KARŞILAŞILAN KAVRAM YANILGILARI
İçindekiler • Değişik anlamlarıyla ölçme ne demektir? • Ölçmenin matematiksel yapısı nedir? • Farklı niteliklerin birbirleriyle olan ilişkileri ve genel yanılgıları nelerdir? • Sık karşılaşılan yanılgılar nelerdir? • Alan ,hacim , uzunluk ile ilgili yanılgılar nelerdir? • 1-5 matematik proğramında nasıl ele alınmaktadır?
“ÖLÇME” matematikte hemen her alanda (geometri,sayılar,cebir,vs) ilgisi olan ilginç konulardan birisidir. • Karşımıza sıkça çıkmasına rağmen derslerde ele alınış şekliyle çeşitli kavram yanılgılarına sebebiyet veren bir konudur.
“ÖLÇME”kelimesikavram ve eylem olarak iki türlü ele alabiliriz. • Ölçmeyi kavram olarak ele almak matematiksel bir yapıyla uğraşmayı ve bu yapının temel taşlarını incelemeyi gerektirir.
Ölçmenin eylem(işlem) olarak ele alınması ise herhangi başka bir matematik konusunun içinde sanki o konunun bir parçasıymış gibi ele alınmasını gerektirir. • Genelde matematik kitaplarında ölçme eylem(işlem) anlamıyla ele alınmaktadır.Yani burada eylemden kasıt bir üçgenin bir kenarının uzunluğunun ölçülmesi,ağırlık ölçümü işlemi gibi eylemsel olarak nesnelerin bir araç yardımıyla bazı değerlerinin bulunmasıdır.
Bu haliyle ölçme,başlı başına bir matematik konusu olmaktan çok her konu içinde işlevi olan bir araç haline gelmektedir. Eğer bu araç aynı zamanda kavramsal olarak da öğrenilmezse kavram yanılgısına yol açabilmektedir.
Ölçme eylem anlamıyla günlük yaşantımızda sıklıkla karşımıza çıkmaktadır. Mesela bir odanın tabanını kaplamak için gerekli halı miktarını belirlerken veya günde ne kadar uyuduğumuzu hesaplarken hep ölçmenin eylem anlamı kullanılır.
Çevremizdeki nesneler veya olaylar bazı nitelikleriyle ön plana çıkarlar. • Mesela bir ip uzunluk niteliği ile ön plana çıkarken bir balon hacim niteliği ile daha çok anılmaktadır.
İçinde bulunduğumuz durumlara göre nesneleri algılarken ve karşılaştırırken,bu niteliklerin miktarları da önemlidir. • MESELA pazardan alacağımız bir ipin uzunluk miktarını (3m,5m,vs)bilelim ki ne kadar para vermemiz gerektiğini hesaplayalım.
mukayese MİKTAR ölçmenin matematiksel yapısını aşağıdaki model ile gösterebiliriz. NESNE NİTELİK BİRİM(LER)
Burada; • nesne olarak bir futbol maçını • bu nesnenin ilk akla gelen niteliklerinden biri zaman yani maçın süresi olup • zamanın miktarı ‘94’ • bu miktarın birimi ‘dk’ olarak ele alınabilir.
Ayrıca şekle dikkat edildiğinde birim yerine birimler öğesinin kullanıldığı fark edilir. • Sebebi bazen nesnelerin bir niteliğini ölçerken kullanılan birim tam ölçümü elde etmede yetersiz kalabilir. • Örneğin boyumuzun uzunluğunu belirtirken 1metre 82 santimetre deriz.
FARKLI NİTELİKLER, BİRBİRLERİYLE OLAN İLİŞKİLERİ VE GENEL YANILGILAR
Ölçme öğretilirken üzerine en çok yoğunlaşılan nitelikler uzunluk,alan ve hacim nitelikleridir. • Ölçülen niteliğin öğrenciler tarafından tam olarak anlaşılmadığı ve bununla birlikte birimlerin de karıştırıldığı araştırmalarda ortaya çıkarılmıştır.
Ölçmede bu üç niteliği(hacim,uzunluk,alan)ortak paydada toplayan bazı özellikler vardır. • İlk olarak Curry ve Outhred’in yaptıkları analize göre uzunluk,alan ve hacim nitelikleri uzaysaldır ve hepsini temelinde nesnelerin korunumu ilkesi vardır.Fakat üç niteliğin de uzaysal olması öğrencilerce yanlış algılanabilmektedir.
Nitabach ve Lehrer bu konuyu şu şekilde ele almaktadır.Ölçmede kullanılan birim ve ölçülen nesne nitelikleri bakımından birbiriyle uyumlu olmalıdır. • MESELA bir duvarın tabanla kesişen kenarın uzunluğunu ancak uzunluk niteliği ile ön plana çıkan çubuk metre gibi bir birim ile ölçebiliriz,hacme sahip içi dolu küre şeklindeki bir top ile ölçemeyiz.birim ile nesne arasındaki bu tarz bir uyumu fark etmek öğrenciler için o kadar da kolay değildir
Bragg ve Outhred’in bu mevzu ile yaptıkları bir araştırmada,1-4. Sınıf seviyesindeki öğrencilerden bir nesnenin uzunluğunu verilen 1-santimetre-küplük bir birimden faydalanarak ölçmelerini istemiştir. • Bu durumda öğrenciler küpün bir kenarının uzunluğunu nesnenin uzunluğuyla kıyaslayıp birimlerin adedini belirlemek yerine,küpün bir yüzeyinin nesnenin kenarı ile kıyaslanması gerektiğini belirtmişlerdir.
İKİNCİ olarak CURRY ve OUTHRED bu üç niteliğin ölçümünde belirli bazı eylemlerin kullanıldığını belirtmektedir. • Hepsinin ölçümünde de bir birim yinelenerek sayılmakta ve ölçümün sonucu kullanılan birimin büyüklüğüne bağlı kalmaktadır. • NİTABACH VE LEHRER buradaki yineleme(iterasyon) işlemini tek bir birimin ardı ardına eklenerek verilen nesnenin belli bir niteliğinin ölçümü şeklinde açıklanmaktadır.
ÖRNEĞİN;ebatları 5 cm(en),8 cm(boy), ve 3 cm(yükseklik)olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi ölçülürken,belli ebattaki(örneğin 1 cm3 lük) bir birim küp,belli bir düzen dahilinde ardı ardına yinelenip eklenerek prizmanın içi doldurulur ve toplam birim küp sayısı,örneğin 120 birim küp şeklinde,belirlenir
NİTABACH VE LEHRER yaptıkları çalışmada bu özelliği özümseyememiş olan 2-5. Sınıf seviyesindeki öğrencilerin ataçla bir nesnenin uzunluğunu ölçerken birkaç farklı boyda atacı ardı ardına ekleyerek sonucu “8 ataç” şeklinde,sanki tek tip bir birimi yineleyerek ölçüm yapmışçasına,bulduklarını ortaya koymuştur. • Bu tarz bir yanılgının sebebi öğrencilerin kullanılan birimin tekliğini iyi özümseyememeleridir.
Ölçümde kullanılan birimin büyüklüğü de önemlidir. • Yani bir nesnenin hacmi belli hacme sahip birim küplerden 120 tanesine denk gelirken aynı zamanda başka büyüklükte birim küplerden 40 tanesine de denk gelebilir.Burada cismin hacmi tek olmasına rağmen kullanılan birime göre ölçümler farklı değerlerde çıkmaktadır. • Curry ve Outhred de yaptıkları çalışmada bu farkın önemine atıfta bulunmakta ve bu farkın anlaşılmamasından kaynaklanan soruna işaret etmektedirler
Üçüncü olarak,Curry ve Outhred’e göre yineleyerek sayma işlemi uzunluk ölçümünde iki,hacim ölçümünde ise üç boyutta yapılmaktadır. Buradaki sayma işlemi Outhred ve Mitchelmore’un da belirttiği gibi uzaysal bir düzlemde açıklanabilir. • Örneğin küçük bir kare birimlerle belirlenen bir dikdörtgenin alanını bulabilmek için birim karelerin öncelikle satırlar(veya sütunlar) halinde düzenlenmesi,daha sonra bu satırların ard arda sıralanması gerekmektedir
Sonuçta satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş ,birim-kare dizisi şeklinde ele alınabilecek bir düzen ortaya çıkar. • Aynı düzen üst üste tabakalar dizisi şeklinde devam ettirilirse bir düzgün dörtgen prizmasının hacmini belirlemek için gerekli olan düzeneğe ulaşılır. • Bahsi geçen bu düzenleri öğrenciler kolay bir şekilde algılayamamaktadırlar ve hatta çoğu zaman düzeni bir düzensizlik şeklinde oluşturmaktadırlar.
Son olarak,alan hesabında sadece uzaysal düzen tek başına yeterli olmayıp sistemli sayma da diğer önemli bir unsurdur. • Bir dikdörtgenin alanı hesaplanırken bahsi geçen düzen takip edilerek,bir satıra(yada sütuna)kaç birim denk geldiği ve kaç satır olduğunun bir koordinasyonu gerekmekte ve koordinasyonun da sayma işlemine uygulanması gerekmektedir.
Nesnelerin alan, hacim ve uzunluk nitelikleriyle bağlantılı ve öğrencilerde sıkça görülen kavram yanılgılarıyla ilgili analizlerde bulunacağız. Her niteliği ayrı ayrı inceleyecek olsak bile birbirleriyle olan ilişkilerine de değinilecektir.
Alan ile ilgili yanılgılar Alan denilince ilk akla elen şey bir yerin belli birimlerle kaplanmasıdır. Tabii bu kaplama işlemi bir birimin yinelemesine bağlıdır (Hirstein,1981). Her ne kadar alan ölçümünde verilen kare birimlerle bahsi geçen alanı kaplama eylemi öğrencilere temel olarak kullandırılsa da bu eylemin aslında alan ölçümü öğreniminde ve öğretiminde çok ta etkin olmadığına dair kanıtlar vardır(Hart,1987,1993). Bunları açıklayalım.
Hareketli nesnelerin öğrenilmesi arzu edilen ilişkileri gizlenmesi ve matematiksel ilişkilerin yerine geçmesi yer almaktır.
Yani öğrenciler kare birimlerle yapılan kaplama eylemini, üzerinde düşünmek yerine bir yapboz gibi ele alabilmekte kaplama eyleminin bir düzen dahilinde yapıldığına, belirli matematiksel eylemler (sayma, yineleme vs.)gerektirdiğine odaklanmamaktadır
Aynı durum hacim ve uzunluk içinde geçerlidir. Sonuçta matematiksel yapısıyla alan niteliği arka plana itilirken eylemsel yapısıyla kaplama eylemi öne çıkmakta ve alanın yerini alabilmektedir
Simon ve Blume (1994)öğretmen adayları üzerinde yaptığı bir araştırma sonucunda, alanın birim dizeleri (satırlar ya da sütunlar) sayesinde ölçülebilir olduğunun öğrencilerce anlaşılmasının önemine dikkat çekmektedir.
Öğretmen adaylarının bu birim dizisinin şeklinin ve büyüklüğünün, alan ölçümü için seçilen birime ve nesnenin boyutlarına nasıl ve ne şekilde bağlı olduğunu algılayamadıkları sonucuna varılmıştır. Örneğin …
Outhred ve Mitchelmore (2000) alan hesabındaki kenar uzunlukları ve birim arasındaki ilişkiyi ve bu ilişkinin öğrenciler tarafından anlamlandırılmasını araştırırken şu işlemsel prensiplere dikkat çekmektedir:
1) Verilen dikdörtgende herhangi bir boşluk ya da üst üste gelme durumu olmayacak şekilde birimlerle tam olarak kaplanmalıdır. 2)Birimler sıralar halinde düzenlenmelidir (satırda belli bir birim olacak şekilde).
3) Dikdörtgenin kenar uzunlukları her sırada kaç tane birim olduğunu ve sıra (satır)adedi belirlemektedir. 4) Toplam birim sayısı her sırada ve sütundaki birim adedine göre belirlenir. 5) Kenar uzunluğu o kenara kaç tane birim yerleştirilebileceğinin belirtecidir.
Bu prensiplerin alan hesabında dikkate alınması gerektiği de belirtilmiştir. Bu çalışma sonucunda prensiplere karşılık öğrenci algılarının aşağıda verilen kaplama yöntemlerine bağlı olduğu belirlenmiştir. SEVİYE 0 –Eksik kaplama: bu seviyede öğrenciler tam olarak verilen dikdörtgensel nesneleri kaplayamamakta ve ya bazı boşluklar bırakarak ve birimleri üst üste çakıştırarak kaplamaktadır.
SEVİYE 1-Basit kaplama: birimler arası boşluk ve ya birimlerin üst üste çakışması gibi sorunları yaşamamalarına rağmen, nesneleri kaplarken şekil ve büyüklük bakımından farklı birimleri kullanmakta ve sistemsiz bir şekilde ele almaktadır.
SEVİYE 2-Sıralar halinde birimlerden hareketle kaplama: birimler düzgün bir sıra (satır) yapısına sahip olup her sırada aynı sayıda birim kullanılır.
SEVİYE 3-Sıra kaplaması ve ölçüm: birimler bütün sıralar halinde görsel olarak ele alınabilmektedir. Bu seviye de sıraların yinelenmesi yapılabilmekte ve dikdörtgenin kenar uzunlukları ölçülmektedir
SEVİYE 4-Hesap ile ölçüm: öğrenciler bu seviyede birim büyüklüğünü ve verilen dikdörtgenin boyutlarını göz önünde tutabilmekte ve alan formülünü kullanabilmektedir
Burada önemle üzerinde durulaması gereken ana tema, her satır ve sütunda ki birim sayısının verilen nesnenin boyutlarıyla ilişkilendirilmesi ve kaplama işleminin kendi içinde başlı başına bir problem olarak ele alınmasıdır (Outhredve Mitchelmore,2000)
Eğer bu yapılabilirse kare birimler yerine lineer birimlerin kullanılabileceği, dörtgenlerde geçerli olan alan formüllerinin diğer nesnelere de uygulanabileceği, dörtgenlerin kenar uzunluklarının iki katına çıkarılmasının alanı da iki katına çıkarabileceği gibi yanılgıların önüne geçebiliriz.
Aynı sorunun bir parçası olarak öğrencilerin kare alanının kare şeklindeki birimlerle ya da bir üçgenin üçgen şeklindeki birimlerle ölçülebileceği yanılgısına düşmektedir. Burada öğrenci hangi birimle ölçmesi gerektiğini bilmemektedir. Yani birimle nitelik arasındaki ilişkiyi tam olarak kuramamıştır.
En nitelikli çalışma Piaget tarafından yapılmıştır. Bu konuda yapılan çalışmalarda küçük yaştaki öğrencilerin verilen bir düzgün dörtgenin alanının kendilerine verilen birim karelerle doldurarak ya da çarpma işlemi kullanarak kolayca hesaplayabilmişlerdir. Öğrenci bunu 3. Sınıfta bile yapabilmektedir.
Kamii ve Kyshın (2006) yaptıkları literatür kaynaklı araştırmalarda ve analizlerde 4.-8. Sınıf öğrencilerinin %94 ünün aslında birim karenin alan için aslında ‘’birim’’ teşkil etmediği sonucuna varmışlardır. Benzer bir sonuca da Hirstein ve arkadaşları (1978) ulaşmıştır.
Sonuç olarak öğretmenler için kolaylıklar birim olarak görülebilen bir ‘’birim kare’’ çoğu öğrenci için alanla özdeşleşen bir birim dahi değildir. Öğrencilere birim kareler dağıtıp onlara masa ya da defter kaplatmak bu konuyu anlamaları için yeterli olmayacaktır
