Introdução à Programação Linear Parte II

1. Introdução à Programação LinearParte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

2. O modelo do problema s.a

3. O Método SIMPLEX • Forma-se um sistema de equações lineares introduzido as variáveis de folga:

4. O Método SIMPLEX • Um quadro pode ser formado com os coeficientes das variáveis. Observe o formato das colunas de x3 e x4 Observe os coeficientes de x1 e x2 na linha da função objetivo. Para auxiliar pode-se utilizar uma coluna para destacar os valores das variáveis básicas.

5. O Método SIMPLEX • A primeira pergunta é qual a variável que, saindo da base, aumentaria mais rapidamente o valor da função objetivo. A pergunta é respondida observando-se qual a variável que tem o coeficiente mais negativo na linha referente à função objetivo. No caso, a variável x1

6. O Método SIMPLEX • Como x1 aumenta a função objetivo mais rapidamente, qual o valor máximo que x1poderá assumir sem romper as restrições? Na primeira restrição x1aumenta até 2 (18/9) fazendo com que x3 se anule, saindo da base. Na segunda restrição x1aumenta até 4 (12/3) fazendo com que x4 se anule, saindo da base. x1 toma então o lugar de x3 na base, entrando na linha desta mesma variável básica.

7. O Método SIMPLEX • Com a decisão tomada, a linha de x3 deve refletir agora o valor de x1, consegue-se isto fazendo o coeficiente de x1 igual a 1 naquela linha e trocando-se o nome à direita do quadro. Para que o quadro fica passível de análise é necessário escaloná-lo sendo a linha de x1 a pivô.

8. O Método SIMPLEX • O novo quadro será: Observe o formato das colunas de x1 e x4 Observe os coeficientes de x2 e x3 na linha da função objetivo. A coluna à direita destaca os valores das novas variáveis básicas e do lucro.

9. O Método SIMPLEX • A primeira pergunta pode ser repetida: qual a variável que, saindo da base, aumentaria mais rapidamente o valor da função objetivo? A pergunta é respondida observando-se que a única variável que tem coeficiente negativo na linha referente à função objetivo é x2. Até quanto o valor x2 pode aumentar?

10. Nova linha pivô O Método SIMPLEX • Pode-se automaticamente localizar o mínimo das razões dos valores das variáveis básicas com os coeficientes de x2. Mínimo

11. O Método SIMPLEX • Multiplicando-se a linha de x2 por 3/2, trocando-se o nome da variável e escalonando resulta em: Observe novamente as colunas de x1 e x2 (as VB’s) Observe também os coeficientes de x3 e x4 (as VNB’s ) na linha da função objetivo. A coluna à direita destaca os valores das novas variáveis básicas e do lucro. A solução é ótima dado os coeficientes positivos.

12. O Algoritmo SIMPLEX 5. Identificar a linha em que isto ocorre e nominar a VB como VBS 1. Acrescentar variáveis de folga ao problema. 6. Tornar o coeficiente da VBE igual a 1 na linha da VBS e escalonar o sistema 2. Achar uma solução viável definindo as VB e as VNB 3. Identificar a VNB com coeficiente mais negativo na função objetivo (VBE) 7. A VBE torna-se VB e a VBS torna-se VNB 8. Existe alguma VB com coeficiente negativo na função objetivo? SIM 4. Escolher a menor das razões entre os coeficientes da VBE e os valores das VB’s NÃO 9. Solução Ótima

13. Aplicando o SIMPLEX no Exemplo 2 • Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 300mde tábuas, 600m de pranchas e 500m de painéis de aglomerado. • Oferece normalmente 4 modelos de móveis: Escrivaninha, Mesa, Armário e Prateleira. • Os modelos são vendidos respectivamente por $100,00; $80,00; $120,00; $30,00. • E consomem: • Escrivaninha: 1m tábua, 3m de painéis. • Mesa: 1m tábua, 1m prancha, 2m painéis. • Armário: 1m tábua, 1m prancha, 4 painéis. • Prateleira: 4m tábua, 2 de prancha.

14. O modelo do problema

15. O Método SIMPLEX Introduzido as variáveis de folga.

16. O Método SIMPLEX O quadro é: Observe as colunas das variáveis básicas e os coeficientes das variáveis não básicas . Os valores das VB’s estão a direita. Quem entra na base é xA e quem sai é xF3 A linha pivô é a linha da VBS xF3.

17. O Método SIMPLEX • O novo quadro é: xP é a variável que entrará na base no lugar de xF1 Dividindo-se por 4 e escalonando....

18. O Método SIMPLEX • O novo quadro é: • xM é a variável que entrará na base no lugar de xA, pois • 43,75/0,125=350 • 387,5/0,25=1550 e • 125/0,5=250

19. O Método SIMPLEX • O novo quadro é: A solução é ótima, não há coeficientes negativos.