BAB 7

1. ALJABAR BOOLEAN BAB 7

2. Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner  dan  dan sebuah operator uner  dan misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Maka tupel (B, +, . , ‘ ) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma atau postulat berikut. DEFINISI ALJABAR BOOLEAN

3. Identitas ( i ) a + 0 = a ( ii ) a  1 = a Komutatif ( i) a + b = b + a ( ii ) a  b = b  a Distributif ( i) a (b + c) = (a  b) + (a  c) ( ii ) a + (b  c) = (a + b) (a + c) Komplemen Untuksetiap a ∈ B terdapatelemenunika ∈ B sehingga (i) a + a = 1 (ii) a  a  = 0 Aksiomadiatasdisebutpostulat Huntington.

4. Aljabar Boolean dua-nilai didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1 (sering dinamakan bit-singkatan dari binary digit), yaitu : B = {0,1}, operator biner + dan  ,serta operator uner  ALJABAR BOOLEAN DUA-NILAI

5. Kaidahuntuk operator biner

6. Kaidahuntuk operator biner+

7. Kaidah operator uner

8. Pada aljabar Boolean dua nilai B = {0, 1}. Kedua elemen B disebut elemen biner atau bit (singkatan binary bit). Peubah (variable) x disebut peubah Boolean atau peubah biner jika nilainya hanya dari B Ekspresi Boolean dibentuk dari elemen-elemen B dan/atau peubah-peubah yang dpt dikombinasikan satu sama lain dengan operator +,  , dan . EKSPRESI BOOLEAN

9. Misalkan (B, +,  ,  ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, + , . , ‘ ) adalah : Setiap elemen di dalam B, Setiap peubah, Jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2 , e1  e2 , e1 adalah ekspresi Boolean. Definisi Ekspresi Boolean :

10. DEFINISI : Misalkan S adalahkesamaan (identity) didalamaljabarBoolean yang melibatkan operator +, , dankomplemen, makajikapernyataanS*diperolehdgncaramengganti dengan + + dengan 0 dengan1 1 dengan0 danmembiarkan operator komplementetapapaadanya, makakesamaanS*jugabenar. S*disebutsebagaidual dari S. Prinsip Dualitas

11. Kita dptmemperolehhukum-hukumaljabar Boolean darihukum-hukumaljabarHimpunan(proposisi) dgncaramempertukarkan :  dengan + atauνdengan+  denganatauΛdengan U dengan 1 atau T dengan1  dengan 0 atau F dengan0 HUKUM-HUKUM ALJABAR BOOLEAN :

12. DEFINISI Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bnke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai : f : Bn B Yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. FUNGSI BOOLEAN

13. Contoh-contohFungsi Boolean • f(x) = x • f(x,y) = x’y + xy’ + y’ • f(x,y) = x’y’ • f(x,y) = (x + y)’ • f(x,y,z) = xyz’

14. 4 peubah 3 peubah 2 peubah

15. Contoh Diketahui fungsi Boolean f(x,y,z) = xyz’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.

16. PenjumlahandanPerkalianDuaFungsi • Misalkan f dan g adalah dua buah fungsi Boolean dengan n peubah, • maka penjumlahan f + g didefinisikan sebagai : (f+g)(x1+ x2+… +xn)= f(x1+ x2+… +xn) + g(x1+ x2+… +xn) Sedangkan perkalian f.g didefinisikan sebagai : (f.g)(x1+ x2+… +xn)= f(x1+ x2+… +xn) g(x1+ x2+… +xn)

17. KomplemenFungsi • Bila sebuah fungsi dikomplemenkan, maka akan diperoleh fungsi komplemen. • Fungsi komplemen berguna pada saat melakukan penyederhanaan fungsi Boolean. • Fungsi komplemen dari suatu fungsi f dapat dicari dengan 2 cara, yaitu : • Menggunakan Hukum De Morgan. • Menggunakan prinsip Dualitas.

18. Contoh Misalkan f(x,y,z) = x(y’z’+yz), tentukan fungsi komplemennya! • Cara pertama : menggunakan hukum De Morgan • hukum De Morgan untuk dua peubahx1 dan x2 • (x1+x2)’ = x1’. x2’ dan dualnya • (x1. x2)’ = x1’+x2’ • hukum De Morgan untuk tiga peubahx1, x2 dan x3 • (i)(x1+x2+x3)’ = (x1+y)’ yang dalam hal ini y = x2+x3 • = x1’. y’ • = x1’(x2+x3)’ • = x1’. x2’. x3’ Penyelesaian: f(x,y,z) = (x(y’z’+yz))’ = x’+(y’z’+yz)’ = x’+(y’z’)’. (yz)’ Jadi f ‘(x,y,z) = x’+(y+z)(y’+z’)

19. Cara kedua : menggunakan prinsip dualitas. Penyelesaian: Misalkan f(x,y,z) = x(y’z’+yz), maka dual dari ekspresi Booleannya adalah x+(y’+z’)(y+z) komplemen tiap literal dari dual diatas menjadi x’+(y+z)(y’+z’) Jadi f ‘(x,y,z) = x’+(y+z)(y’+z’)

20. BENTUK KANONIK • Ada dua macam bentuk term (suku), yaitu minterm (hasil kali) dan maxterm (hasil jumlah) • Suku-suku di dlm ekspresi Boolean dengan n peubah x1, x2,…, xn dikatakan minterm jika ia muncul dlm bentuk • Dan dikatakan maxterm jika ia muncul dlm bentuk

21. EkspresiBoolean yang dinyatakansbgpenjumlahandarisatuataulebihmintermatauperkaliandarisatuataulebihmaxtermdisebutdalamBentukKanonik. Adaduamacambentukkanonik : • Penjumlahandarihasilkali (sum-of-product atau SOP), nama lain SOP adalahbentuk normal disjungtif (disjunctive normal form) • Perkaliandarihasiljumlah (product-of-sumatau POS), nama lain POS adalahbentuk normal konjungtif (conjunctive normal form)

22. Dua bentuk kanonik adalah bentuk dasar yang diperoleh dgn membaca fungsi dari tabel kebenaran. Cara lain utk mengekspresikan fungsi Boolean adalah bentuk baku (standard). Dua tipe bentuk baku adalah bentuk bakuSOP dan bentuk baku POS BENTUK BAKU

23. Aplikasi aljabar boolean pada jaringan pensaklaran (switching network). Aplikasi aljabar boolean pada rangkaian digital elektronik. APLIKASI ALJABAR BOOLEAN :

24. a x b a x y b AplikasiAljabar Boolean Aljabar Boolean memiliki aplikasi yang luas dalam bidang keteknikan, antara lain di bidang jaringan pensaklaran dan rangkaian digital. Jaringan Pensaklaran (Switching Network) Keluaran b ada jika dan hanya jika saklar x ditutup  x Keluaran b ada jika dan hanya jika x dan y keduanya ditutup  xy

25. a x c b y Keluaran c ada jika dan hanya jika x atau y ditutup  x + y

26. x x x+y x x’ xy y y Sirkuit Elektronik Komputer dan peralatan elektronik lain dibuat dari sejumlah rangkaian atau sirkuit (circuit). Elemen dasar dari sirkuit adalah gerbang (gate). Sirkuit elektronik dimodelkan dengan sejumlah gerbang logika (logic gate). Gerbang OR dua-masukan Gerbang NOT (inverter) Gerbang AND dua-masukan

27. Cara pertama x xy y Nyatakan fungsi f(x,y,z) = xy+x’y kedalam rangkaian logika. xy+x’y x’ x y x’y Cara kedua x y Cara ketiga x y

28. x x (x+y)’ (xy)’ y y Gerbang NOR Gerbang NAND x x (x  y)’ x  y y y Gerbang XNOR Gerbang XOR Keempat gerbang di atas merupakan kombinasi dari gerbang-gerbang dasar, misalnya gerbang NOR disusun oleh kombinasi gerbang OR dan gerbang NOT

29. Tigametodeyang dapatdigunakanutkmenyederhanakanfungsi Boolean : • Secaraaljabar, menggunakanhukum-hukumaljabar Boolean. • MetodePetaKarnaugh. • MetodeQuine-McCluskey (metodetabulasi) PENYEDERHANAAN FUNGSI BOOLEAN

30. Peta Karnaugh adalah sebuah diagram/peta yang terbentuk dari kotak-kotak (berbentuk bujursangkar) yang bersisian. Tiap kotak merepresentasikan sebuah minterm. Tiap kotak dikatakan bertetangga jika minterm-minterm yang merepresentasikannya berbeda hanya 1 buah literal. Peta Karnaugh dapat dibentuk dari fungsi Boolean yang dispesifikasikan dgn ekspresi Boolean maupun fungsi yang direpresentasikan dengan tabel kebenaran. METODE PETA KARNAUGH

31. Tabel kebenaran minterm dan maxterm 2 peubah.

32. TABEL KEBENARAN MINTERM DAN MAXTERM 3PEUBAH

33. TABEL KEBENARAN MINTERM DAN MAXTERM 4 PEUBAH

34. Misalkanduapeubahdidalamfungsi Boolean adalah x dan y. BarispadapetaKarnaughutkpeubah x dankolomutkpeubah y. Barispertamadiidentifikasinilai 0 (menyatakan x’), sedangkanbariskeduadengan 1 (menyatakan x). Kolompertamadiidentifikasinilai 0 (menyatakan y’), sedangkankolomkeduadengan 1 (menyatakan y) PETA KARNAUGH DGN DUA PEUBAH

35. Untuk fungsi Boolean dengan 3 peubah (misalkan x, y, z), jumlah kotak di dlm peta Karnaugh meningkat menjadi 23 = 8. Terdiri dari 2 baris dan 4 kolom. Setiap kotak merepresentasikan minterm dari kombinasi baris dan kolom yang bersesuaian. PETA KARNAUGH DGN TIGA PEUBAH

36. Untuk fungsi Boolean dengan 4 peubah ,misalkan w, x, y, z. Jumlah kotak di dlm peta Karnaugh menjadi 24 = 16. Terdiri dari 4 baris dan 4 kolom. Baris pada peta Karnaugh utk peubah wx dan kolom utk peubah yz. PETA KARNAUGH DGN 4 PEUBAH

37. LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY • Nyatakan tiap minterm dalam n peubah menjadi string bit yang panjangnya n, yang dalam hal ini peubah komplemen dinyatakan ‘0’, peubah yang bukan komplemen dengan ‘1’ • Kelompokkan tiap minterm berdasarkan jumlah ‘1’ yang dimilikinya.

38. LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY 3.Kombinasikan minterm dalam n peubah dengankelompok lainyang jumlah ‘1’nyaberbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima (prime-implicant) yang terdiri dari n – 1 peubah. Minterm yang dikombinasikan diberi tanda “” 4. Kombinasikan minterm dalam n-1 peubah dengan kelompok lain yang jumlah ‘1’nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima yang terdiri dari n-2 peubah.

39. LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY 5. Teruskan langkah 4 sampai diperoleh bentuk prima yang sesederhana mungkin. 6. Ambilsemua bentuk primayangtidak bertanda “”.Buatlah tabel baruyang memperlihatkan minterm dari ekspresi Boolean semula yang dicakup oleh bentuk prima tersebut (tandai dengan “X”. Setiap minterm harus dicakup oleh paling sedikit satu buahbentuk prima.

40. LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY 7. Pilih bentuk prima yang memiliki jumlah literal paling sedikit, namun mencakup sebanyak mungkin minterm dari dari ekspresi Boolean semula. Hal ini dapat dilakukan dengan cara berikut :

41. LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY • Tandai kolom-kolom yang mempunyai satu buah tanda “X” dengan tanda “*”, lalu beri tanda “” di sebelah kiri bentuk prima yang berasosiasi dengan tanda “*” tersebut. Bentuk prima ini telah dipilih untuk fungsi Boolean sederhana. • Untuk setiap bentuk prima yang telah ditandai dengan “”, beri tanda minterm yang dicakup oleh semua bentuk prima tsb dengan tanda “”

42. LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY c. Periksa apakah masih ada minterm yang belum dicakup oleh bentuk prima terpilih. Jika ada, pilih dari bentuk prima yang tersisa yang mencakup sebanyak mungkin minterm tersebut. Beri tanda “” bentuk prima yang dipilih itu serta minterm yang dicakupnya. d. Ulangi langkah c sampai seluruh minterm sudah dicakup oleh semua bentuk prima.

43. SOAL 1 Sederhanakanfungsi Boolean f(w,x,y,z)=∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15) denganQuine-McCluskey

44. f(w,x,y,z)=∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15)

45. f(w,x,y,z)=∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15)

47. f(w,x,y,z)=x'y'z+w'xz'+xyz+wx'

48. SOAL 2 Sederhanakanfungsi Boolean f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15) denganQuine-McCluskey

49. f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15) f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15)

50. f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15)