1 / 16

Géométrie fractale et théorie du chaos

Géométrie fractale et théorie du chaos. Electrolyse d’une solution de ZnCl 2. Zn 2+ + 2 e  Zn 0. algorithme. partie. ensemble. Caractéristiques des fractals. a) itération d’un algorithme. courbe de Koch. 1 re itération. 2 me itération. 3 me itération.

shen
Download Presentation

Géométrie fractale et théorie du chaos

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Géométrie fractale et théorie du chaos

  2. Electrolyse d’une solution de ZnCl2 Zn2+ + 2 e  Zn0

  3. algorithme partie ensemble Caractéristiques des fractals a) itération d’un algorithme courbe de Koch 1re itération 2me itération 3me itération b) Invariance à l’agrandissement (Selbstähnlichkeit) c) dimension fractionnaire  explication du nom « fractal »

  4. d log n log 4 1/d f = n  f = n  log f = 1/d log n  d = d = log f log 4 cube segment de droite AB carré ABCD log 27 log 25 = 1 d = = 3 valeur entière ! d = = 2 valeur entière ! log 3 log 5 Détermination de la dimension d * réduire l’objet d’un facteur d’échelle f * compter le nombre n d’objets réduits compris dans l’objet initial valeur entière !

  5. log 4 d = = 1,261 valeur non entière ! log 3 algorithme Courbe de Koch: chaque segment initial est subdivisé en 3: f = 3 chaque segment initial est remplacé par 4 segments réduits: n = 4 Triangle de Sierpinski:

  6. z = a2 + b2 z = 32 + 22 = 3,61 Nombres complexes z = a  bi représentables dans le plan complexe valeur (module): Exemple: à chaque nombre complexe z correspond une paire ordonnée de nombres réels (a,b)

  7. L’ensemble de Mandelbrot L’écran du moniteur est placé dans le plan complexe. Chaque point (pixel) de l’écran correspond à une paire de coordonnées a et b. Chaque pixel est l’image d’un nombre complexe déterminé. g = z2 + c départ: z = 0, c = affixe du pixel choisi  g = c itération: g introduit à la place de z  g = c2 +c 2e itération:  g = (c2 +c)2 + c = c4 + 2c3 + c2 + c 3e itération:  g = (c4 + 2c3 + c2 + c) + c etc, etc, etc

  8. L’ensemble de Mandelbrot Selon le pixel choisi, l’itération tend plus ou moins rapidement vers l’infini Effectuer pour les valeurs: c = 1 + i c = -1 + 0,2 i Le pixel est coloré selon la vitesse avec laquelle l’itération tend vers l’infini Ensemble de Mandelbrot = ensemble des points où l’itération ne passe jamais à l’infini L’ensemble de Mandelbrot a les propriétés d’un objet fractal

  9. L’évolution vers le chaos * prévisibilité (ex: éclipse solaire) A) Différence entre: * stochasticité (ex: tirage au loto) B) Chaos déterministe * lois scientifiques restent valables * non-linéarité entre cause et effet des causes insignifiantes peuvent avoir des conséquences importantes  amplification des incertitudes initiales dynamique chaotique  impossibllité des prévisions à long terme B) La récurrence de Poincaré réapparition éphémère de l’ordre initial dans la dynamique chaotique

  10. Récurrence de Poincaré - image déformée selon un algorithme défini  chaos déterministe - image initiale réapparaît à la 241e transformation

  11. Notion d’attracteur Espace de phase: ensemble des variables indispensables pour décrire un phénomène systèmes mécaniques: diagramme vitesse / position Attracteur: lieu géométrique ( = ensemble des points) de tous les états possibles d’un système dans l’espace de phase qui décrit le système Attracteur classique: la connaissance des conditions initiales permet le calcul pour n’importe quel moment Attracteur chaotique: le calcul se laisse faire de proche en proche, une prévision à long terme est impossible

  12. Chaos en mathématiques 1971: découverte de Robert May sur l’équation: y = a x ( 1 – x ) a = facteur de non-linéarité

  13. L’auto-structuration des systèmes chaotiques en évolution Expérience préliminaire: suspension de poudre d’aluminium dans l’huile de paraffine en couche mince formation de cellules de convection visualisées par la poudre d’aluminium Frottement entre cellules: La circulation dans chaque cellule influence et est influencée par les cellules voisines

  14. L’auto-structuration des systèmes chaotiques en évolution Considérations thermodynamiques * systèmes classiques (cristallisation d’un sel) la structuration est propulsée par la recherche d’un état d’équilibre à énergie minimale * systèmes dissipatifs frottements entre cellules dépense (dissipe) de l’énergie la formation des structures ordonnées exige un apport continu d’énergie (structures dissipatives) Thermodynamique des systèmes dissipatifs élaborée par Ilya Prigogine (Prix Nobel 1977)

  15. - NaBrO3 - HOOC-CH2-COOH - H2SO4 - KBr - feroïne (Fe2+/Fe3+) Réaction de Belousov-Zhabotinsky 3 équations: (interprétation simplifiée) a) BrO3-+ 2 Br- + 3 H+ + 3 HOOC-CH2-COOH  3 HOOC-CHBr-COOH + 3 H2O b) BrO3- + 4 Fe2+•cpx + 5 H+ + 3 HOOC-CH2-COOH  4 Fe3+•cpx + 3 HOOC-CHBr-COOH + 3 H2O réaction a) évolue jusqu’à l’épuisement de Br- réaction b) évolue jusqu’à l’épuisement de Fe2+•cpx c) 4 Fe3+•cpx + HOOC-CHBr-COOH + 2 H2O  4 Fe2+•cpx+ HCOOH + 2 CO2 + 5 H+ + Br- réaction c) régénère Br– qui permet à la réaction a) de reprendre

  16. Réaction de Belousov-Zhabotinsky système bistable, change entre 2 états  stables (attracteurs) Suppression de l’agitation: le système se fractionne en « cellules » à évolution stochastique  structures dissipatives les « cellules » voisines s’influencent par diffusion des réactifs (frottement)

More Related