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Enseigner la géométrie au cycle 3

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  1. Enseigner la géométrie au cycle 3 Mercredi 6 février 2013

  2. A quoi bon enseigner la géométrie ?

  3. 1- Déterminer longueurs, angles, aires, volumes….parallélisme, orthogonalité, alignement2- Travailler sur des représentations (d’objets réels…ou d’objets mathématiques)3- Apprendre à raisonner, à démontrer4- Fournir des outils utiles aux mathématiques, mais pas seulement!!!!

  4. 1- Déterminer des mesures de grandeurs étymologie du mot « géométrie »γη(terre) μετρον(mesure) Que mesure-t-on? - longueurs, distances, - angles, - aires, superficies, - volumes…

  5. Longueurs et angles 1La détermination de la mesure peut être directe, grâce aux instruments

  6. Longueurs et angles 2 Et si la mesure directe n’est pas possible, ou n’est pas assez précise? Quelques exemples: • La distance, à vol d’oiseau, entre Lille et Marseille • La hauteur d’un arbre • La distance de Paris à New York

  7. Calculer une aire, un volume Des formules en pagaille Encore faut-il connaître la nature de l’objet et ses « dimensions » pour les utiliser…

  8. 2- Travailler sur des représentations d’objets mathématiques ou d’objets réels

  9. Lire un plan, Construire ou reproduire une figure, Ecrire un programme de construction, Représenter un objet de l’espace, Lire une représentation d’un objet de l’espace, Raisonner sur l’objet ou sur sa représentation…..

  10. 3 - Apprendre à raisonner,à démontrer • Dans les manuels de CM2 on commence à lire : « justifie la solution adoptée », « explique comment tu as fait », dans des problèmes de construction. • Le raisonnement déductif est l’enjeu principal de la formation mathématique au collège. • Progressivement la démonstration se met en place en fin de collège, puis au lycée. • Les élèves développent ainsi des capacités transférables à bien d’autres domaines que les mathématiques

  11. 4- Fournir des outils utiles aux mathématiques …. …..mais pas seulement • en sciences physiques, plus précisément en optique géométrique • en histoire des arts

  12. L’enseignement de la géométrie, de la maternelle au collège • A la maternelle : appropriation de l’espace et des formes, • A l’école élémentaire, en cycle 2 : poursuite de l’appropriation de l’espace et des formes, première approche d’objets mathématiques et des relations qu’ils entretiennent (alignement, angle droit, axe de symétrie, égalité de longueurs…); Reconnaître, décrire, tracer……. Utilisation d’un vocabulaire adapté….

  13. L’enseignement de la géométrie, de la maternelle au collège • Au cycle 3, « l’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure. » (objectifs généraux du programme). Les éléments de géométrie dans l’espace et de géométrie plane sont clairement identifiés. Les objets mathématiques, les relations et propriétés sont de plus en plus présents ; les figures planes classiques peuvent alors être définies, leurs propriétés étudiées. On aborde les premières représentations des solides mathématiques de l’espace. La modélisation de situations réelles est possible. Reconnaître, décrire, reproduire, construire une figure, et aussi vérifier, à l’aide des instruments, la nature d’une figure ; utiliser le vocabulaire spécifique adapté. La place des problèmes est soulignée.

  14. L’enseignement de la géométrie, de la maternelle au collège Les objectifs généraux en 6ème : À l’école élémentaire, les élèves ont acquis une première expérience des figures et des solides les plus usuels, en passant d’une reconnaissance perceptive (reconnaissance des formes) à une connaissance plus analytique prenant appui sur quelques propriétés (alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, milieu, axes de symétrie), vérifiées à l’aide d’instruments. Ils ont été entraînés au maniement de ces instruments (équerre, règle, compas, gabarit) sur des supports variés, pour construire des figures, en particulier pour le tracé de perpendiculaires et de parallèles à l’aide de la règle et de l’équerre. Les travaux conduits en sixième prennent en compte les acquis antérieurs […] et obéissent à de nouveaux objectifs. Ils doivent viser d'une part à stabiliser les connaissances des élèves et d'autre part à les structurer.

  15. L’enseignement de la géométrie, de la maternelle au collège En sixième la résolution de problèmes a pour objectifs : - de compléter la connaissance des propriétés des figures planes et des solides usuels, - de maîtriser les techniques de construction (utilisation des instruments et logiciels adaptés, mobilisation des connaissances dans les raisonnements implicites sous-jacents), - de reconnaître les figures planes usuelles dans une configuration complexe, - de conduire sans formalisme des raisonnements simples utilisant les propriétés des figures usuelles ou de la symétrie axiale, - de passer d’un objet de l’espace à ses représentations (et réciproquement).

  16. En bref…. • Un cycle 2 tourné vers le réel ; • Un cycle 3 permet de conceptualiser les objets mathématiques, leurs relations et leurs propriétés, utilise les outils de construction et de mesure pour construire des figures ou vérifier leur nature….et aborde, en géométrie dans l’espace, les premières représentations des solides ; • Le collège permet de consolider les acquis du primaire, de mettre en place, progressivement, la démonstration pour justifier les propriétés d’une figure (à partir des données de l’énoncé, du codage des figures ou de théorèmes) et de raisonner sur des solides à partir de représentations.

  17. L’école maternelle : le programme • AGIR ET S’EXPRIMER AVEC SON CORPS À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de : …………………………………………….. - se repérer et se déplacer dans l’espace ; - décrire ou représenter un parcours simple. • DECOUVRIR LE MONDE À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de : ………………………………………………….. - se situer dans l’espace et situer les objets par rapport à soi ; - se repérer dans l’espace d’une page ; - comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et des relations dans le temps et dans l’espace. L’appropriation des formes se fait souvent par des jeux utilisant des solides qui sont des prismes (ayant une face triangulaire, carrée, rectangulaire, etc….) et des cylindres

  18. La géométrie plane à l’école élémentaire • L’alignement, les points, les droites, • Des morceaux de droite : demi-droite, segment, • La modélisation, • Angle droit, droites perpendiculaires (définition, tracé), • Droites parallèles (définition, tracé), • Les angles, • Que faut-il justifier ? et si cela se voit ? • Retour sur les figures au cycle 3 : le cercle, le rectangle • Les problèmes

  19. A l’école élémentaire : les objets, les relations et les propriétés géométriques Point, droite, segment, demi-droite, angle Alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment.

  20. Alignement • Travail sur l’alignement : - Quand ? Sans attendre que cela figure dans le programme, au cycle 2. - Comment ? Par des activités de mise en rang, d’alignement d’objets concrets, puis des activités de même type s’appuyant sur des photos, par exemple. Pour approcher l’idée de « point » on peut proposer des activités alignant des objets de plus en plus petits. - Quel instrument? La règle, ou ce qui peut en tenir lieu.

  21. Alignement….. points, droites Placer quatre points (F, G, H et I) alignés avec A et B ? A B Dix points ? Peut-on en trouver plus ? Combien ? Comprendre qu’une droite n’est pas le trait qui la représente sur le tableau, mais un objet mathématique « idéal » sans épaisseur, infini qui est un ensemble de points. La droite passant par A et B est constituée de tous les points alignés avec A et B.

  22. Un petit test pour voir s’ils ont un peu compris… • Les deux droites représentées ci-dessous se coupent-elles? Les droites sont sécantes, en un point.

  23. Des morceaux de droite : segment, demi-droite Demi-droite Segment C A B A  [CB] ? A  (CB) ? Ce n’est pas qu’un problème d’écriture…la différence entre droite et segment ne va pas de soi pour les élèves Deux demi-droite de même origine, définissent deux angles.

  24. Points, droites, segments et demi-droites et….cercles : des outils pour la modélisation Passer du monde réel à la modélisation mathématique. L’objet réel / l’objet mathématique / l’objet graphique Points et droites

  25. Angle droit Dans les progressions dès le CE1 on parle d’angle droit, d’équerre ou de gabarit d’un angle droit. Dans la pratique, activités de repérage « d’angles droits et d’angles qui ne sont pas droits » : - de façon perceptive dans l’environnement de l’ élève : coin de la feuille, coin du puzzle, coin de la table…etc - à l’aide de l’équerre ou d’un gabarit, sur une figure, ….lorsque ce n’est pas évident.

  26. Figures et angles droits Le travail de rejet est aussi important que celui de sélection, pour ce genre d’exercice il serait intéressant d’ajouter « et marque un point bleu au sommet de chaque angle qui n’est pas un angle droit ». Le travail de rejet est aussi important que celui de sélection, pour ce genre d’exercice il serait intéressant de demander « marque un point bleu au sommet de chaque angle qui n’est pas un angle droit ».

  27. Angle droit, droites perpendiculaires Quand dit-on que deux droites sont perpendiculaires? De l’angle droit aux droites perpendiculaires….. Que penser de la définition donnée?

  28. Angle droit et perpendiculaires • Deux difficultés souvent rencontrées au collège : • Difficultés dans le maniement de l’équerre, en particulier utilisation du mauvais angle); reproduire sur la feuille, dans un plan horizontal, les gestes du professeur au tableau, dans un plan vertical, ne va pas de soi. • Confusion entre perpendiculaire et vertical. Médiatrice de [AB] ???? (en 6ème) A B • Deux conseils : * Apprendre à rejeter qu’un angle est droit à l’œil nu s’il ne mesure pas entre 80° et 100° et à utiliser l’équerre pour le vérifier et l’affirmer ou non dans le cas contraire (cela ne se voit pas !). *Éviter l’utilisation systématique de vertical-horizontal dans les exercices proposés mais aussi dans les affichages lors du travail sur les angles droits.

  29. Tracer une, ou la, perpendiculaire à D • D est une droite ; tracer une droite D’ perpendiculaire à D. • D est une droite et A est un point n’appartenant pas à D. Tracer la droite D’ passant par A et perpendiculaire à la droite D. D’ D A D D’ Quel est l’intérêt de ces deux questions??

  30. Droites parallèles Qu’est-ce que des droites parallèles ? Des droites qui ont même direction. Des droites qui ne se coupent pas. Des droites avec une distance mutuelle constante. Des définitions mathématiquement équivalentes mais qui ne le sont pas nécessairement pour les élèves de cycle 3… La première est souvent liée aux images prototypiques avec des parallèles horizontales ou verticales. Et le mot « direction » n’a pas la même signification qu’en français courant. La deuxième est pratique pour montrer que des droites ne sont pas parallèles en nécessitant toutefois une bonne compréhension de ce qu’est une droite car le point d’intersection peut-être hors du tableau ou de la feuille…et puis elle n’est valable qu’en géométrie plane! La troisième est sans doute assez naturelle et peut s’appuyer sur des images concrètes : bords de la règle, rails de chemin de fer, traces laissées par un véhicule, etc.

  31. Droites parallèles Tracer la droite parallèle à une droite donnée passant par un point. Exercice très technique… Les élèves peuvent tracer deux perpendiculaires…

  32. Propriétés des droites parallèles Le travail mené en fin de cycle 3 doit préparer aux propriétés étudiées en sixième : Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elle sont parallèles entre elles. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elle sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

  33. Les angles Les angles On peut essayer de visualiser concrètement un angle à l’aide de l’ouverture d’une porte ou de l’écartement d’un compas. Au cycle 3, les élèves doivent travailler avec des angles comme « grandeur », une unité et donc une mesure ne seront introduites qu’en sixième (le degré), les élèves apprendront alors à utiliser le rapporteur, cette unité sera abandonnée au lycée pour le radian. Comparaison d’angles : plus grand, plus petit, plus grand qu’un angle droit, etc. Utilisation de gabarit pour comparer des angles ou en construire : angle trois fois plus grand qu’un autre, etc. Comprendre qu’un angle ne dépend pas de la longueur des côtés tracés.

  34. Les angles Les angles Rappel du vocabulaire associé : Les angles saillants : Il n’y a pas d’exigences explicites relativement à ce vocabulaire, mais les élèves peuvent le rencontrer (voir évaluation nationale de fin de CM2 en 2012).

  35. « ça se voit ! » C’est assurément un challenge important entre le cycle 2 et le cycle 3. On affirmait qu’il s’agissait d’un carré, que des angles étaient droits, que des points étaient alignés car cela se voyait. Au cycle 3, on peut toujours affirmer que des angles ne sont pas droits ou que des points ne sont pas alignés, cela peut « se voir » : A B C

  36. « ça se voit ! » Par contre, on ne peut plus affirmer le contraire en prétextant que cela se voit, il faut le vérifier avec les outils ad hoc. Pour que cela prenne tout son sens et pour que les élèves en prennent conscience, il faut présenter des situations ou la perception peut prêter à confusion… Les points A, B et C sont-ils alignés ? Le quadrilatère RSTU est-il un rectangle ? R S U T A B C

  37. Des figures planes Carré, triangle, rectangle, rond, triangle rectangle, losange, cercle, triangle isocèle, triangle équilatéral, quadrilatère, polygone, parallélogramme, trapèze, trapèze rectangle, trapèze isocèle, pentagone, hexagone

  38. Ce que disent les programmes Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le cercle. Description, reproduction, construction ; vocabulaire spécifique relatif à ces figures : côté, sommet, angle, diagonale, axe de symétrie, centre, rayon, diamètre. CP : Reconnaître et nommer un carré, un rectangle, un triangle. S’initier au vocabulaire géométrique. CE1 : Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle. Connaître et utiliser un vocabulaire géométrique élémentaire approprié. CE2 : Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques: carré, rectangle, losange, triangle rectangle. Vérifier la nature d’une figure plane en utilisant la règle graduée et l’équerre. Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle. CM1 : Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas. CM2 : Vérifier la nature d’une figure en ayant recours aux instruments.

  39. Placer quatre points C, D, E et F à 4 cm du point A. Définir un cercle : activité C A F E D En placer dix. Peut-on en trouver plus ? Combien ?

  40. Dessiner le cercle de centre A et de rayon 4 cm. Dessiner un cercle ou un disque A La définition nous amène à utiliser le compas.

  41. Dessiner le cercle de centre A et de rayon 4 cm. Dessiner un cercle ou un disque A

  42. Le cercle et le disque Le vocabulaire du cercle Le cycle 3 doit permettre le passage du rond (forme) au cercle objet théorique, ensemble des points équidistants d’un point appelé centre (cercle de centre A et de rayon R). Même si un travail particulier peut être mené à un moment donné, l’acquisition du vocabulaire ne peut se faire que par une rencontre régulière des mots spécifique en contexte, et surtout par une utilisation fréquente, à l’écrit et à l’oral, par les élèves. Quelques obstacles : Différence entre cercle et disque (périmètre du … = longueur du …) ; Différence entre LE rayon et UN rayon ([OA] est … rayon du cercle, OA est … rayon du cercle, LE rayon [OA] et UN rayon [OA]), être rigoureux sans « noyer » les élèves… Utilisation correcte de centre, milieu ou moitié (centre d’une figure (cercle, disque, rectangle, losange, etc.), milieu d’un segment, moitié d’un nombre ou d’une longueur) ;

  43. Le matériel ? Cahier de mathématiques Cahier du jour Ardoise Cahier de brouillon Feuille volante Cahier pour les problèmes Fichier Manuel Règle Équerre Compas Gabarits

  44. Entre cycle 2 et cycle 3 des changements Qu’est-ce qu’un rectangle ? Au cycle 2 ? On reconnaît un rectangle parce qu’on voit que c’est un rectangle. Un carré n’est pas un rectangle car, visuellement, il n’a pas la même forme…. Au cycle 3 ? La figure n’est plus globale, c’est un ensemble de points et on a des côtés, des sommets et des angles. On va pouvoir le définir

  45. Des définitions du rectangle???? Qu’est-ce qu’un rectangle ? Au cycle 3 ?

  46. Définir un rectangle Qu’est-ce qu’un rectangle ? Utiliser le verbe « être » pour définir : Ainsi : « Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits » (cela pourra être remplacé par 3 en sixième) Le quadrilatère RSTU est-il un rectangle ? R S U T

  47. Des propriétés du rectangle Par ailleurs on utilise le verbe avoir pour les « propriétés » : « Un rectangle a ses côtés opposés de même longueur. » « Un rectangle a ses côtés opposés parallèles. » « Un rectangle a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu. »

  48. Est-ce ou n’est-ce pas un rectangle ?

  49. Construire un rectangle Construire un rectangle de longueur 8 cm et largeur 3 cm.

  50. Vérifier qu’on a un rectangle Tracer un cercle de rayon 5 cm. Construire deux diamètres [AB] et [RS]. Que peut-on dire du quadrilatère ARBS ? A R S B