Soluções Numéricas de EDO’s

1. Soluções Numéricas de EDO’s

2. Equações Diferenciais Ordinárias • Equações contendo derivadas são equações diferenciais. • Necessário conhecer equações diferenciais para: • Compreender e investigar problemas envolvendo o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmica, o aumento ou diminuição de populações, entre outros. • Note que toda a parte do cálculo chamado de cálculo de primitivas compreende a determinação de soluções de uma equação diferencial.

3. Equações Diferenciais Ordinárias • Ao estudar alguns fenômenos, é difícil estabelecer diretamente a relação de dependência entre uma variável independente x e uma dependente y. • Todavia, é mais fácil estabelecer a relação entre x, y e as derivadas y’(x), y’’(x), …, Y(n)(x). • Esta relação constitui uma equação diferencial. • Note que a grande maioria dos fenômenos físicos é modelada através de equações diferenciais.

4. Equações Diferenciais Ordinárias • Equação diferencial: • é uma equação envolvendo um função desconhecida e algumas de suas derivadas. • Equação diferencial ordinária de ordem n: • equação que envolve derivadas até a ordem n da forma • Y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x)) (1) • a ≤ x ≤b.

5. Equações Diferenciais Ordinárias • A solução de (1’) : • Y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x)) (1) • a ≤ x ≤b. • é qualquer função y = F(x) que é definida em [1, b] e tem n derivadas neste intervalo e que satisfaz (1). • Se a função é de uma só variável, então a equação se chama ordinária. • As equações que estabelecem relações entre uma variável e depende de duas ou mais variáveis independentes e as derivadas (agora parciais), são chamadas de equações diferenciais parciais.

6. Solução de uma EDO • Na solução de uma EDO, dois caminhos podem ser seguidos: • Método analítico - O que tenta levar à uma solução exata do problema • Método numérico - O que encontra uma solução aproximada. • Do ponto de vista analítico, resolver uma EDO do tipo y’ = f(x,y) é encontrar uma função y = F(x) que satisfaça a equação dada. • Por exemplo, dada equação diferencial y’ = f(x,y) = 2x + 3, sua solução é obtida por: • y = ∫(2x+3)dx = x2 + 3x + C • Na verdade, temos uma família de soluções (para cada C  R tem uma solução particular). A figura 1 (próximo slide) mostra algumas soluções para C = 0, C = 2 e C = 4.

7. Representações de soluções particulares, para alguns valores de C, da função y= x 2 + 3 x + C. Figura 1 y C = 4 C = 2 C = 0 x Solução de uma EDO Note que à medida que C varia, tem-se uma família de soluções.

8. Solução de uma EDO

9. Definindo as condições iniciais • Para especificar uma das curvas que formam a família de soluções, é preciso impor condições adicioinais na função y. Essas condições são da forma: • y(a) = 1 , y’(a) = 2 , y’’(a) = 3 ,… , y(n-1)(a) = n (2) • Que são chamadas de condições iniciais. • O problema (1) com as condições iniciais (2) é chamado de problema de valor inicial ou problema de condições iniciais. • Y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y(n-1)(x)) com a ≤ x ≤b (1)

10. Definindo as condições iniciais • O problema geral de primeira ordem é escrito como: • Y’(x) = f(x, y(x)), y(a) =  com a ≤ x ≤ b (3) • OU • dy/dt = f(t, y(t)), y(a) =  com a ≤ t ≤ b • Um problema de valor inicial de ordem n é escrito como: • Y(n)(x) = f(x, y’, y’’, …, Y(n-1)), a ≤ x ≤b (4a) • y(a) = 1 , y’(a) = 2 , y’’(a) = 3 ,… , y(n-1)(a) = n (4b)

11. Condições de contorno • Juntamente com o problema de valor inicial, podemos ter problemas com condições de contorno, isto é: • Além da condição no início do fenômeno, temos também um condição a atingir no fim do fenômeno. • EXEMPLO: condição de contorno de segunda ordem é escrito como • Y’’(x) = f(x, y, y’’) , a ≤ x ≤ b (5) • com • y(a) = 1 , y(b) = 2

12. Sistema de Equações Diferenciais • Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem tem a seguinte forma geral: • Y’1(x) = f1(x, y1, y2, y3, … yn) • Y’2(x) = f2(x, y1, y2, y3, … yn) • … a ≤ x ≤ b • Y’n(x) = fn(x, y1, y2, y3, … yn) • Sujeito a yk(a) = k , k = 1(1)n (6b) • Onde f1, f2, … f1n são funções de n + 1 variáveis. • Nota: se o problema (6a) tem solução, então ele tem, em geral, várias soluções (uma família de soluções). Com as condições (6b), temos o problema do valor inicial. (6a)

13. Sistema de Equações Diferenciais • As soluções do problema (6a) são derivadas da solução de uma única equação. Resolvendo o problema (6), podemos resolver o problema (4), utilizando mudanças de variáveis. Assim, basta definir um conjunto de n funções Y1, Y2, …, Yn, da seguinte forma: • Y1(x) = y(x) • Y2(x) = y’(x) • … • Yn(x) = y(n-1)(x) • Então (4a) pode ser escrita como: • Y(n)(x) = f(x, y1, y2, … yn). (8a) (7)

14. Sistema de Equações Diferenciais • Diferenciando (7), obtemos: • Y’1(x) = Y2(x) • Y’2(x) = Y3(x) • … • Yn-1(x) = Yn(x) • De onde obtermos para (4) um sistema de equações diferenciais. As condições iniciais de (4b) tornam-se as condições iniciais do sistema. (8b)

15. Sistema de Equações Diferenciais • EXEMPLO: • y’’’(x) = xy’(x) + exy(x) + x2 + 1 0 ≤ x ≤ 1 • y(0) = 1 , y’(0) = 0 , y’’(0) = -1 • Fazendo a mudança de variáveis, obtemos: • y’1(x) = y2(x) • y’2(x) = y3(x) 0 ≤ x ≤ 1 • y’3(x) = xy2(x) + ex y1(x) + x2 + 1 • y1(0) = 1, y2(0) = 0, y1(0) = -1

16. Uso de computadores na solução de EDO • Um computador pode ser uma ferramenta extremamente útil no estudo de equações diferenciais. • Algoritmos já estão sendo usados há muito tempo para solucioná-las como, por exemplo: o método de Euler e o de Runge-Kutta. • Além disso, há excelentes pacotes (software) de solução numérica que podem ser aplicados a diversos problemas matemáticos. Exemplo: Matlab.

17. Equações Diferenciais de Primeira Ordem A forma geral das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é dy/dx = f (x,y) (i) Qualquer função diferencial y = (t) que satisfaça essa equação para todo t em um dado intervalo é uma solução desta equação. Exemplo: y` = 2y + 3e t

18. Equações Lineares Se a função f em (1) depende linearmente de y, então ela é chamada de uma equação linear de primeira ordem. Um exemplo com coeficientes constantes é dy/dt = - ay + b, onde a e b são constantes dadas. Substituindo os coeficientes a e b por funções em t, temos a forma geral da equação linear de primeira ordem dy/dt +p(t)y = g(t), onde p e g são funções dadas da variável independente t.

19. Exemplo: Considere a equação diferencial dy/dt + 2y = 3. Encontre sua solução. Solução: Temos que dy/dt = -2y + 3 ou dy/dt = -2 y - 3/2 ln |y - 3/2 | = -2t + c Logo, y = 3/2 + ce - 2t Se g(t) = 0, então a equação é dita equação linear homogênea.

20. Referências • HOPCROFT, J. E.; ULLMAN, J. D. Introdução à Teoria de Autômatos, Linguagens e Computação. Rio de Janeiro: Campus, 2002. • MENEZES, P. F.; DIVÉRIO, T. A. Linguagens Formais e Autômatos, Porto Alegre: Sagra-Luzzatto, 2001. • PAPADIMITRIOU, C. H.; LEWIS, H. F. Elementos de Teoria da Computação. Porto Alegre: Bookman, 2000. • GERSTING, J. L.Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação, Rio de Janeiro: LTC, 1995.