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IL TEOREMA DI PITAGORA La prima dimostrazione di questo teorema è stata attribuita al matematico greco Pitagora di Samo (570-500 a. C.). Non si sa, però, come Pitagora abbia condotto la sua dimostrazione perchè nulla è rimasto delle sue opere. La prima dimostrazione che conosciamo fu data da Euclide (300 a. C.) nei suoi Elementi . Da quel momento molti matematici e non matematici, sono stati così attratti da questo teorema che hanno sentito il bisogno di elaborare un ingegnoso e alternativo modo per dimostrarlo. Elisha Scott Loomis nel suo libro The Pythagorean Proposition pubblicato nel 1940, riporta ben 370 diverse dimostrazioni di questo teorema. Nessun altro teorema ha ricevuto tanta attenzione e tante dimostrazioni, nonostante ciò ogni anno vengono pubblicate, dalle riviste matematiche, nuove dimostrazioni.
Perché c'è stato tanto interesse su questo teorema? Ha un enunciato semplice e una facile dimostrazione e può essere pienamente compreso da un ragazzo di tredici anni. Ha numerose applicazioni e spesso è indispensabile per risolvere molti tipi di problemi. Eppure questo teorema così comprensibile ha cambiato radicalmente il corso della matematica. Grazie a questo teorema la matematica, che era nata per soddisfare esigenze concrete legate alla realtà pratica, si è trasformata in una scienza che abitua a ragionare. Nella geometria euclidea, questo teorema, è fondamentale. Ha permesso di scoprire l'esistenza di segmenti incommensurabili. Questa conoscenza ha fatto capire che gli oggetti geometrici non possono essere identificati come degli oggetti concreti e che il punto geometrico non può avere dimensioni. E' un teorema geometrico, eppure ha permesso di scoprire i numeri irrazionali. Da questa conoscenza si è capito che i numeri naturali sono adatti a rappresentare solo grandezze discrete. Per rappresentare grandezze continue occorrono oltre ai numeri razionali anche i numeri "irrazionali". Gli egiziani hanno usato questo teorema per costruire un angolo retto, i greci l'hanno utilizzato per costruire una vasta rete di idee matematiche. Nel corso dei secoli è stato utilizzato per costruire alcune branche della matematica moderna. E' stato il suggeritore di proficue ricerche nel campo della teoria dei numeri.
Verifichiamo il Teorema di Pitagora Enunciato Enunciato: In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti
IL TRIANGOLO RETTANGOLO IPOTENUSA i CATETO MINORE C 2 C 1 CATETO MAGGIORE
Quadrato costruito sull’ipotenusa Quadrato costruito sul cateto minore Quadrato costruito sul cateto maggiore
c 1 c 2 G R V l= c l= c l= i 1 2 i Costruiamo 3 quadrati :
G G V V R R Sistemiamo al loro posto i quadrati
G V Q R e infine il GIALLO Prima il ROSSO Poi il VERDE Scomponiamo i quadrati per mezzo del quadratino Q
Q G V R Riportiamo i quadratini uno per uno su quello GIALLO
Q G V R prima i ROSSI
Q G V R
Q G Q R V
Q G Q R V poi i VERDI
Q G R V
G V Q R il quadrato GIALLO è stato riempito totalmente dal ROSSO e dal VERDE
Pertanto: GIALLO VERDE GIALLO = ROSSO + VERDE ROSSO
Ma GIALLO VERDE 2 GIALLO = i 2 ROSSO = c 1 ROSSO 2 VERDE = c 2
Allora GIALLO 2 2 2 i = c + c VERDE 1 2 Da cui: ROSSO
i = c + c 2 Allora GIALLO VERDE 2 2 1 2 2 2 c = i - c 1 2 c c = 2 2 2 - i c i c 2 2 1 ROSSO
Teorema di Pitagora applicato ad un problema Problema In un triangolo rettangolo i cateti misurano rispettivamente cm 4 e cm 3. Trova il perimetro.
= cm 25 = cm 16 +9 = cm 42 +32 i = c21 + c2 2 c1= cm 4 Dati: c2= cm 3 i c1 Richiesta: P = c1+c2+i c2 incognita Soluzione =cm 5 P = c1+c2+i= cm(3+4+5)= cm12
Applicazione del teorema alle figure piane
Applicazione del teorema alle figure piane
Altra applicazione del T. di Pitagora Problema In un triangolo isoscele la base e l’altezza misurano rispettivamente cm 10 e cm 12. Trova il perimetro.
l = (b/2)2+ h2 = cm 52 +122 = cm 169 = cm 25 +144 b= cm 10 cateto Dati: h= cm 12 l l ipotenusa h Richiesta: P = 2l+b b/2 incognita b cateto Soluzione =cm 13 P = 2l+b= cm(13x2+10)= cm36
