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IL TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO

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IL TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO - PowerPoint PPT Presentation


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A.Martini. IL TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO. Consideriamo un triangolo scaleno. Consideriamo un triangolo scaleno. Consideriamo un triangolo scaleno. C. . a. b. . . B. A. H. c. Adesso scomodiamo la matematica per fare una serie di operazioni su questo triangolo scaleno.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

A.Martini

IL TEOREMA DI

PITAGORA GENERALIZZATO

slide5

Adesso scomodiamo la matematica per fare una serie di operazioni su questo triangolo scaleno

slide6

Non chiedertene il motivo.

Lo so che sembrano operazioni inutili o comunque gratuite

slide7

Ne capirai il significato solo alla fine della dimostrazione.

Abbi pazienza: è così che si procede di solito.

slide9

i passaggi che non comprendi segnateli sul quaderno delle domande e poi chiedi spiegazione al prof.

slide10

C

a

b

B

A

H

c

slide11

C

a

b

B

A

H

c

AB =AH + HB

slide12

C

a

b

B

A

H

c

AB =AH + HB

AH = b cos

slide13

C

a

b

B

A

H

c

AB =AH + HB

AH = b cos

HB = a cos

slide14

C

a

b

B

A

H

c

AB =AH + HB

AH = b cos

HB = a cos

AB = c

slide15

C

a

b

B

A

H

c

c = b cos + a cos

AB =AH + HB

AH = b cos

HB = a cos

AB = c

slide16

C

a

b

B

A

H

c

c = b cos + a cos

slide17

C

E’ possibile, come ci insegna la trigonometria, passare da questa ad altre formule corrette sostituendo ad ogni lettera quella corrispondente successiva, seguendo una rotazione in senso antiorario (o orario).

a

b

B

A

H

c

c = b cos + a cos

slide18

C

a

b

B

A

H

c

c = b cos + a cos

a =

slide19

C

a

b

B

A

H

c

c = b cos + a cos

a = c

slide20

C

a

b

B

A

H

c

c = b cos + a cos

a = c cos

slide21

C

a

b

B

A

H

c

c = b cos + a cos

a = c cos+ b

slide22

C

a

b

B

A

H

c

c = b cos + a cos

a = c cos+ b cos

slide23

C

a

b

B

A

H

c

c = b cos + a cos

a = c cos+ b cos

b = a cos+ c cos

slide24

C

a

b

B

A

H

c

c = b cos + a cos

a = c cos+ b cos

b = a cos+ c cos

slide25

C

a

b

B

A

moltiplichiamo

ambo i membri per:

H

c

c

c = b cos + a cos

-a

a = c cos+ b cos

b

b = a cos+ c cos

slide26

C

a

b

B

A

moltiplichiamo

ambo i membri per:

H

c

c

c2 = bc cos + ac cos

-a

a = c cos+ b cos

b

b = a cos+ c cos

slide27

C

a

b

B

A

moltiplichiamo

ambo i membri per:

H

c

c

c2 = bc cos + ac cos

-a

-a2 = -ac cos- ab cos

b

b = a cos+ c cos

slide28

C

a

b

B

A

moltiplichiamo

ambo i membri per:

H

c

c

c2 = bc cos + ac cos

-a

-a2 = -ac cos- ab cos

b

b2 = ab cos+ bc cos

slide29

C

a

b

B

A

sommiamo

membro a membro:

H

c

c2 = bc cos + ac cos

-a2 = -ac cos- ab cos

b2 = ab cos+ bc cos

slide30

C

a

b

B

A

sommiamo

membro a membro:

H

c

c2 = bc cos + ac cos

-a2 = -ac cos- ab cos

b2 = ab cos+ bc cos

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos-ac cos-ab cosab cos+ bc cos

slide31

C

a

b

B

A

sommiamo

membro a membro:

H

c

c2 = bc cos + ac cos

-a2 = -ac cos- ab cos

b2 = ab cos+ bc cos

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos-ac cos-ab cosab cos+ bc cos

slide32

C

a

b

B

A

semplifichiamo:

H

c

c2 = bc cos + ac cos

-a2 = -ac cos- ab cos

b2 = ab cos+ bc cos

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos-ac cos-ab cosab cos+ bc cos

slide33

C

a

b

B

A

semplifichiamo:

H

c

c2 = bc cos + ac cos

-a2 = -ac cos- ab cos

b2 = ab cos+ bc cos

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos-ac cos-ab cosab cos+ bc cos

slide34

C

a

b

B

A

semplifichiamo:

H

c

c2 = bc cos + ac cos

-a2 = -ac cos- ab cos

b2 = ab cos+ bc cos

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos-ac cos-ab cosab cos+ bc cos

slide35

C

a

b

B

A

semplifichiamo:

H

c

c2 = bc cos + ac cos

-a2 = -ac cos- ab cos

b2 = ab cos+ bc cos

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos-ac cos-ab cosab cos+ bc cos

slide36

C

a

b

B

A

semplifichiamo:

H

c

c2 = bc cos + ac cos

-a2 = -ac cos- ab cos

b2 = ab cos+ bc cos

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos-ac cos-ab cosab cos+ bc cos

slide37

C

a

b

B

A

semplifichiamo:

H

c

c2 = bc cos + ac cos

-a2 = -ac cos- ab cos

b2 = ab cos+ bc cos

c2 -a2 + b2 = bc cos + bc cos

slide38

C

a

b

B

A

semplifichiamo:

H

c

c2 = bc cos + ac cos

-a2 = -ac cos- ab cos

b2 = ab cos+ bc cos

c2 -a2 + b2 = bc cos + bc cos= 2bc cos

slide39

C

a

b

B

A

H

c

c2 -a2 + b2 = 2bc cos

slide40

C

a

b

B

A

H

c

c2 -a2 + b2 = 2bc cos

-a2 = - b2 -c2 + 2bc cos

slide41

C

a

b

B

A

H

c

c2 -a2 + b2 = 2bc cos

-a2 = - b2 -c2 + 2bc cos

a2 = b2 +c2 - 2bc cos

slide42

C

a

b

B

A

H

c

a2 = b2 +c2 -2bc cos

slide43

C

a

b

B

A

H

c

a2 = b2 +c2 -2bc cos

slide44

C

a

b

B

A

H

c

a2 = b2 +c2 -2bc cos

slide45

C

a

b

B

A

c

H

a2 = b2 +c2 -2bc cos

slide46

C

a

b

B

A

c

H

a2 = b2 +c2 -2bc cos

slide47

C

a

b

B

A

c

H

a2 = b2 +c2 -2bc cos

slide48

C

a

b

B

A

c

H

a2 = b2 +c2 -2bc cos

Teorema di Pitagora generalizzato:

Il quadrato costruito su un lato di un triangolo scaleno è uguale alla somma dei quadrati costruiti su gli altri due lati, meno il doppio prodotto di questi per il coseno dell’angolo fra essi compreso.

slide50

La

SOMMA DI DUE VETTORI

con il teorema di Pitagora generalizzato

slide52

Consideriamo due vettori qualsiasi e sommiamoli graficamente, come sappiamo già fare.

slide53

n

m

slide54

n

m

slide55

n

m

slide56

V

n

m

slide57

V

n

h

m

slide58

V

n

h

m

slide59

V

n

h

h

m

slide60

V

n

h

n

h

m

slide61

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V

n

h

n

h

m

slide62

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V

n

h

n

h

m

V2 = m2 + n2 - 2mn cos

slide63

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V

n

h

n

h

m

V2 = m2 + n2 - 2mn cos



poiché è:

slide64

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V

n

h

n

h

m

V2 = m2 + n2 - 2mn cos



poiché è:

coscos

si ha:

slide65

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V

n

h

n

h

m

V2 = m2 + n2 + 2mn cos



poiché è:

coscos

si ha:

slide66

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V

n

m

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

slide67

Come vedi, si può calcolare l’intensità del vettore risultante tra due vettori senza fare disegni

slide68

conoscendo

l’intensità dei due vettori e

l’angolo fra essi compreso

slide69

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V

n

m

V = m2 + n2+ 2mn cos

slide70

Determiniamo la direzione di V

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

V

n

h

n

h

m

slide71

Determiniamo la direzione di V

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

V

n

h

n

h

m

h = n sen

slide72

Determiniamo la direzione di V

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

V

n

h

n

h

m

h = n sen

h = V sen

slide73

Determiniamo la direzione di V

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

V

n

h

n

h

m

h = n sen

h = V sen

n sen= V sen

slide74

V

n

h

n

h

m

Determiniamo la direzione di V

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

h = n sen

h = V sen

n sen= V sen

sen= (n/V) sen

slide75

Come vedi, si può determinare la direzione del vettore risultante, calcolando l’angolo fra la sua direzione e quella di uno dei due vettori componenti

slide76

Come vedi, si può determinare la direzione del vettore risultante, calcolando l’angolo fra la sua direzione e quella di uno dei due vettori componenti

V

n

m

sen= (n/V) sen

slide77

Esercizio

Esperienze

slide78

Teoria:

la reazione vincolare

La 1^ condizione di equilibrio

Come pesare un carrello “senza” bilancia

slide80

S2=30m

70°

S1=46m

slide81

Il nostro amico sa che in uno di questi sacchi c’è un tesoro, mentre negli altri ci sono solamente serpenti. Sa anche che per raggiungere il sacco potrebbe avanzare per 46 metri nella direzione rossa e poi per 30 metri in quella blu, che forma con la rossa un angolo di 70°.

Però può raggiungere il sacco con il tesoro procedendo in una sola direzione e non fermandosi mai se non per raccogliere il sacco.

Sapresti indicargli che cosa fare?

S2=30m

70°

S1=46m

slide82

S2=30m

70°

S1=46m