1 / 21

Metoda backtraking

Metoda backtraking. Proiect realizat de: Mascasan Anca; Profesor indrumator: Hozai Silvia.

primo
Download Presentation

Metoda backtraking

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Metoda backtraking Proiect realizat de: Mascasan Anca; Profesor indrumator: Hozai Silvia.

  2. Metoda Backtracking se aplică problemelor în care soluţia poate fi reprezentată sub forma unui vector – x = (x1, x2, x3, …xk,… xn) € S, unde S este mulţimea soluţiilor problemei şi S = S1 x S2 x… x Sn, şi Si sunt mulţimi finite având s elemente si xi € si , (¥)i = 1..n. Metoda construieşte un vector soluţie în mod progresiv începând cu prima componentă a vectorului şi mergând spre ultima cu eventuale reveniri asupra atribuirilor anterioare. Ea se aplica astfel : 1) se alege prima valoare sin S1 si I se atribuie lui x1 ; 2)se presupun generate elementele x1…x[k-1], cu valori din S1..S[k-1]; pentru generarea lui x[k] se alege primul element din S[k] disponibil si pentru valoarea aleasa se testează îndeplinirea condiţiilor de continuare. Pot apărea următoarele situaţii : a)x[k] îndeplineşte condiţiile de continuare. Daca s-a ajuns la soluţia finală (k = n) atunci se afişează soluţia obţinută. Daca nu s-a ajuns la soluţia finală se trece la generarea elementului următor – x [k-1]; b)x[k] nu îndeplineşte condiţiile de continuare. Se încearcă următoarea valoare disponibila din S[k]. Daca nu se găseşte nici o valoare în S[k] care să îndeplinească condiţiile de continuare, se revine la elementul x[k-1] şi se reia algoritmul pentru o nouă valoare a acestuia. Algoritmul se încheie când au fost luate in considerare toate elementele lui S1. Urmeaza cateva probleme care se rezolva prin aceasta metoda:

  3. Generarea permutărilor (interativ) Se citeşte un număr natural n. Să se genereze permutările de n elemente ale mulţimii {1,2,…,n}. Simulaţi executarea algoritmului pentru n=3. P3=3!=6 (1,2,3);(1,3,2);(2,1,3);(2,3,1);(3,1,2);(3,2,1) type vector=array [1..100] of integer; var st:vector; n.k:integer; as,ev:boolean; procedure init(k:integer;var st:vector); begin st[k]:=0; end; procedure successor(var as:boolean; var st:vector; k:integer); begin if st[k]<n then begin st[k]:=st[k]+1; as:=true; end else as:= false; end; procedure continuare(var ev:boolean; var st:vector; k:integer); var i :integer; begin ev:=true; for i:=1 to k-1 do if st[k]=st[i] then ev:=false end;

  4. function solutie(k:integer):boolean; begin solutie:=(k=n); end; procedure tipar; var i:integer; begin for i:=1 to n do write (st[i]); writeln; end; Begin write(‘n=‘); readln(n); k:=1; init(k,st); while(k>0) do begin repeat successor(as,st,k); if as then continuare(ev,st,k); until (not as) or (as not ev); if as then if solutie(k) then tipar else begin k:=k+1; init(k,st); end; else k:=k-1; end; End.

  5. Problema turelor (interativ) Să se determine toate posibilităţile de aranjare a n ture pe o tablă de şah de dimensiune nxn astfel încât turele să nu se atace reciproc. Tura atacă piesele aflate pe aceeaşi linie sau coloană. Obs: x[i] –reprezinta coloana pe care asezam tura de pe linia i. type vector=array [1..100] of integer; var x:vector; n:integer; procedure solutie ; var i.j :integer; begin for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do if x[i]=j then write(‘T’) else write (‘ ‘); writeln; end; end;

  6. function continuare(k:integer): boolean; var i :integer; ok: boolean; begin ok:=true; if k=1 then continuare:=true else for i := 1 to k-1 do if x[k]=x[i] then ok :=false; contunuare:= ok; end; procedure back(k:integer); begin if (k=n+1) then solutie else begin for i:=1 to n do begin x[k]:=i; if continuare(k) then back(k+1); end; end; end; Begin write(‘n’); readln(n); back(1); readln; End.

  7. Problema reginelor (interativ) Să se determine toate posibilităţile de aranjare a n regine pe o tablă de şah de dimensiune nxn astfel încât reginele să nu se atace reciproc. Regina atacă piesele aflate pe aceeaşi linie, coloană sau diagonală. Obs: st[i]- reprezinta coloana reginei de pe linia i. type vector=array [1..100] of integer; var st:vector; n.k:integer; as,ev:boolean; procedure init(k:integer;var st:vector); begin st[k]:=0; end; procedure successor(var as:boolean; var st:vector; k:integer); begin if st[k]<n then begin st[k]:=st[k]+1; as:=true; end else as:= false; end; procedure continuare(var ev:boolean; var st:vector; k:integer); var i :integer; begin ev:=true; for i:=1 to k-1 do if (st[k]=st[i]) or (abs(st[k]-st[i])=abs(k-i)) then ev:false; end; function solutie(k:integer):boolean; begin solutie:=(k=n); end;

  8. procedure tipar; var i:integer; begin for i:=1 to n do write (st[i]); writeln; end; Begin write(‘n=‘); readln(n); k:=1; init(k,st); while(k>0) do begin repeat successor(as,st,k); if as then continuare(ev,st,k); until (not as) or (as not ev); if as then if solutie(k) then tipar else begin k:=k+1; init(k,st); end; else k:=k-1; end; End.

  9. Generarea produsului cartezian (interativ) Se citesc numerele naturale n şi p. Să se genereze toate elementele produsului cartezian P=AxAx...xA=Ap, unde A={1,2,…,n}. type vector =array[1..25] of integer; var st,nr:vector; n:integer; procedure init; var i :integer; begin write (‘nr de multimi n=’);readln(n); for i:=1 to 25 do st[i]:=0; for i:=1 to n do begin write(‘cate elem are multimea’,i,’ : ‘); readln(nr[i]); end; end; procedure tipar(p:integer); var i :integer; begin for i:=1 to p do write(st[i] , ‘ ‘); writeln; end;

  10. procedure back; var p:integer; begin p:=1; st[p]:=0; while p>0 do begin if st[p]<nr[p] then begin st[p]:=st[p]+1; if true then if p=n then tipar(p) else begin p:=p+1; st[p]:=0; end; end; else p:=p-1; end; end; Begin init; back; readln; End.

  11. Plata unei sume cu bancnote de valori date (recursiv) Se dau suma S şi n tipuri de bancnote având valori a1,a2,…,an lei. Se cer toate modalităţile de plată a sumei S utilizând aceste bancnote. Se presupune că se dispune de un număr suficient din fiecare tip de bancnotă. type vector =array [1..9] of integer; var sol ,a,b:vector; n,i,s :integer; procedure tipar (k: integer); begin writeln(‘ solutie’); for i:=1 to k do if sol[i]<>0 then writeln(sol[i], ‘bancnote de ‘, a[i]); readln; end; procedure plata(k,s0:integer); begin while (sol[k]<b[k]) and (s0+a[k]<=s) do begin sol[k]:=sol[k]+1; if sol[k]>0 then s0:=s0+a[k]; if s0:=s then tipar(k) else if k<n then plata(k+1,s0); end; sol[k]:= -1; end; Begin write(‘cate tipuri de banknote avem? ‘); readln(n) write(‘suma=’); readln(s); for i:=1 to n do begin write(‘valoarea monedei de tipul ‘,i,’ ‘); readln(a[i]); b[i]:=s div a[i]; sol[i]:= -1; end; plata(1,0); End.

  12. Problema colorării hărţilor (interativ) Fiind data o hartă cu n ţări, se cere toate soluţiile de colorare a hărţii, utilizând cel mult 4 culori, astfel încât două ţări cu frontieră comună să fie colorate diferit. Obs: -harta este furnizata programului cu ajutorul unei matrice An,n. type vector=array[1..100] of integer; var st:vector; i,j,n,k:integer; as,ev:boolean; a:array[1..20,1..20] of integer; procedure init(k:integer; var st:vector); begin st[k]:=0; end; procedure succesor(var as:boolean; var st:vector; k:integer); begin if st[k]<4 then begin st[k]:=st[k]+1; as:=true; end else as:=false; end; procedure continuare(var ev:boolean; st:vector; k:integer); var i:integer; begin ev:=true; for i:=1 to k-1 do if (st[i]=st[k])and(a[i,k]=1) then ev:=false; end;

  13. function solutie(k:integer):boolean; begin solutie :=(k=n); end; procedure tipar; var i:integer; begin for i:= 1 to n do writeln(‘tara =’,i,’;’culoarea=’,st[i]); writeln(‘--------------‘); end; Begin write(‘nr. de tari=’); readln(n); for i:=1 to n do for j:=1 to i-1 do begin write(‘a[‘,i,’,’,j,’]=’);readln(a[i,j]); a[j,i]:=a[i,j]; end; k:=1;init(k,st); while k>0 do begin repeat succesor(as,st,k); if as then continuare(ev,st,k); until (not as) or (as and ev); if as then if solutie (k) then tipar else begin k:=k+1; init(k,st); end else k:=k-1; end; End.

  14. Generarea aranjamentelor de n elemente luate câte p ale unui vector Se citesc cele n elemente ale unui vector şi numărul natural p. Să se genereze toate aranjamentele de n elemente luate câte p ale mulţimii {a1,a2,…,an}. Simulaţi executarea algoritmului pentru n=4 şi p=2. =n!/(n-p)!= 4!/2!=24/2=12 (1,2); (1,3); (1;4); (2,1); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,4); (4,1); (4,2),(4,3). type vector=array[1..20] of integer; var x:vector; n,p:integer; procedure solutie; var i:integer ; begin for i:=1 to p do write (x[i],’ ‘) ; end; function continuare (k : integer) : boolean ; var i: integer; begin continuare : =true ; for i: =1 to k-1 do if x [i] = x[k] then continuare: = false ; end ; procedure back (k : integer) ; var i: integer ; begin if (k=p+1) then solutie else for i:=1 to n do begin x[k] : = i; if continuare [k] then back (k+1); end; end; Begin write(‘n=’);readln(n); write(‘p=’);readln(p); back(1); End.

  15. Generarea combinărilor de n elemente luate câte p ale unui vector Se citesc cele n elemente ale unui vector şi numărul natural p. Să se genereze toate combinările de n elemente luate câte p ale mulţimii {a1,a2,…,an}. Simulaţi executarea algoritmului pentru n=4 şi p=2. =n! /((n-p)!*p!)= 4!/(2!*2!)=(3*4)/2=6 (1,2); (1,3); (1,4);(2,3); (2,4); (3,4). Obs: -functia de continuare lipseste, deoarece luam elementele in ordine crescatoare. type vector=array[1..20] of integer; var x:vector; n,p:integer; procedure solutie; var i:integer ; begin for i:=1 to p do write (x[i],’ ‘) ; end; procedure back (k : integer) ; var i: integer ; begin if (k=p+1) then solutie else for i:=x[k-1]+1 to n do begin x[k] : = i; back (k+1); end; end; Begin write(‘n=’);readln(n); write(‘p=’);readln(p); back(1); End.

  16. Grile

  17. 1.Utilizând metoda backtracking se generează permutările cuvântului info. Dacă primele trei soluţii generate sunt: fino, fion, fniocare este cea de-a cincea soluţie? a. foin b. fnoi c. foni d. ifon info =>1234fino=>3124 fion=>3142 varianta corecta: b.fnoi fnio=>3214 fnoi=>3241 2.Câte numere cu exact două cifre pot fi construite folosind doar cifre pare distincte? a. 12 b. 14 c. 20 d. 25 A =5!/(5-2)! =5!/3! =4*5=20 varianta corecta: c.20 3.Un algoritm generează în ordine descrescătoare toate numerele de 5 cifre, fiecare dintre ele având cifrele în ordine strict crescătoare. Ştiind că primele 5soluţii generate sunt 56789, 46789, 45789, 45689, 45679, precizaţi care sunt ultimele 3soluţii generate, în ordinea generării. raspuns: 12347; 12346; 12345. 4. Un algoritm generează în ordine descrescătoare, toate numerele de n cifre (n<9), cu cifrele în ordine strict crescătoare, care nu au două cifre pare alăturate. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţii generate sunt 56789, 45789, 45679, 45678, 36789, precizaţi care sunt următoarele 3soluţii generate, în ordinea obţinerii lor. raspuns:35789, 35678, 356789. 5.Generând şirurile de maximum 3 caractere distincte din mulţimea {A,B,C,D,E}, ordonate lexicografic, obţinem succesiv: A, AB, ABC, ABD,…. Ce şir va fi generat imediat după BAE? a. BCA b. CAB c. BC d. BEA 215=> BAE 231=> BCA varianta corecta: a.BCA A

  18. 6. Un program citeşte o valoare naturală nenulă impară pentru n şi apoi generează şi afişează în ordine crescătoare lexicografic toate combinaţiile formate din n cifre care îndeplinesc următoarele proprietăţi: - încep şi se termină cu 0; - modulul diferenţei între oricare două cifre alăturate dintr-o combinaţie este 1. Astfel, pentru n=5, combinaţiile afişate sunt, în ordine, următoarele: 01010, 01210. Dacă se rulează acest program şi se citeşte pentru n valoarea 7, imediat după combinaţia 0101210 va fi afişată combinaţia: 0121210 b. 0123210 c. 0111210 d. 0121010 varianta corecta: d.0121010. 7. Pentru generarea numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,2,9} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele 20,22,29,90,92,99. Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, care este numărul generat imediat după numărul 2009? a. 2002 b. 2020 c. 2090 d. 2010 varianta corecta: b.2020. 8. Pentru generarea în ordine crescătoare a numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,2,8} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele 20,22,28,80,82,88. Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, precizaţi câte numere generate sunt divizibile cu 100? 8 b. 90 c. 6 d. 10 2000; 8000; 2800; 8200; 2200; 8800. varianta corecta: c.6 9. În câte dintre permutările elementelor mulţimii {‘I’,’N’,’F’,’O’} vocalele apar pe poziţii consecutive? a. 24 b. 6 c. 12 d. 4 IOFN; IONF; FION;NIOF; NFIO; FNIO; OIFN; OINF; FOIN; NOIF; FNOI; NFOI. varianta corecta: c.12 10. Pentru generarea numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,4,8} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele 40,44,48,80,84,88. Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, care este numărul generat imediat după numărul 4008 ? a. 4040 b. 4004 c. 4080 d. 8004 varianta corecta: a.4040

  19. 11.Având la dispoziţie cifrele 0, 1 şi 2 putem genera, în ordine crescătoare, numere care au suma cifrelor egală cu 2 astfel încât primele 6 numere generate sunt, în această ordine: 2, 11, 20, 101, 110, 200. Folosind acelaşi algoritm se generează numere cu cifrele 0, 1, 2 şi 3 care au suma cifrelor egală cu 4. Care va fi al 7-lea număr din această generare ? a. 103 b. 301 c. 220 d. 130 Sc=4 =>13; 22; 31; 103; 112; 121; 130. varianta corecta: d.130 12. În vederea participării la un concurs, elevii de la liceul sportiv au dat o probă de selecţie, în urma căreia primii 6 au obţinut punctaje egale. În câte moduri poate fi formată echipa selecţionată ştiind că poate avea doar 4 membri, aleşi dintre cei 6, şi că ordinea acestora în cadrul echipei nu contează? a. 24 b. 30 c. 15 d. 4 C = 6!/(4!*2!)= (5*6)/2=15 varianta corecta: c.15. 13.Folosind un algoritm de generare putem obţine numere naturale de k cifre care au suma cifrelor egală cu un număr natural s. Astfel, pentru valorile k=2 şi s=6 se generează, în ordine, numerele: 15, 24, 33, 42, 51, 60. Care va fi al treilea număr generat pentru k=4 şi s=5? a. 1301 b. 1022 c. 2201 d. 1031 1013; 1031; 1022varianta corecta: b.1022. 14.Se utilizează un algoritm pentru a genera în ordine lexicografică inversă toate permutările mulţimii {1,2,3,4,5}. Primele patru permutări generate sunt: 54321, 54312, 54231, 54213. A cincea permutare este: a. 53421 b. 54321 c. 54132 d. 54123 varianta corecta: a.53421. 15. Utilizând metoda backtracking se generează toate permutările mulţimii {1,2,3,4}. Dacă primele trei permutări generate sunt, în acestă ordine: 1234, 1243, 1324 precizaţi care este permutarea generată imediat după 3412. a. 3214 b. 3413 c. 4123 d. 3421. varianta corecta: d.3421.

  20. 16. Utilizând metoda backtracking se generează numerele formate din câte 3 cifre distincte din mulţimea {1,3,5,7}. Dacă primele trei numere generate sunt, în acestă ordine: 135, 137, 153 care este cel de-al patrulea număr generat? a. 315 b. 173 c. 157 d. 357. varianta corecta: c.157. 17. Utilizând metoda backtracking se generează toate cuvintele de câte 3 litere din mulţimea {a,b,c}. Dacă primele patru cuvinte generate sunt, în acestă ordine: aaa, aab, aac, aba, care este cel de-al optulea cuvânt generat? a. acb b. acc c. aca d. bca. aaa, aab, aac, aba, abb, abc, aca, acb. varianta corecta: a.acb. 18. Se generează în ordine strict crescătoare numerele de câte şase cifre care conţin: cifra 1 o singură dată, cifra 2 de două ori şi cifra 3 de trei ori. Se obţin, în această ordine, numerele: 122333, 123233, 123323, …, 333221. Câte numere generate prin această metodă au prima cifră 1 şi ultima cifră 2? a. 1 b. 3 c. 4 d. 8 123332; 132332; 133232; 133322 varianta corecta: c.4. 19. Utilizând metoda backtracking, se generează în ordine lexicografică toate anagramele cuvântului caiet (cuvinte formate din aceleaşi litere, eventual în altă ordine). Câte cuvinte care încep cu litera t vor fi generate? a. 1 b. 6 c. 12 d. 24 c a i e t => 1 2 3 4 5 51234; 51243; 51324; 51342; 51432; 51423 => sunt 6 numere care dupa 5 au cifra 1 =>6*4(cate nr. pot fi puse dupa 5)=24 varianta corecta: d.24. 20. Utilizăm metoda backtracking pentru generarea tuturor modalităţilor de a scrie numărul 6 ca sumă a cel puţin două numere naturale nenule. Termenii fiecărei sume sunt în ordine crescătoare. Soluţiile se generează în ordinea: 1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+2, 1+1+1+3, 1+1+4, 1+5, 2+2+2, 2+4 şi 3+3. Se aplică exact aceeaşi metodă pentru scrierea lui 9.Câte soluţii de forma 2+... vor fi generate? a. 2 b. 3 c. 4 d. 5. n=9 => 2+2+2+2+1 2+2+2+3 2+2+5 2+7 varianta corecta : c.4.

  21. Sfarsit

More Related