Download
1 / 21
210 likes | 312 Views
Metoda backtraking. Proiect realizat de: Mascasan Anca; Profesor indrumator: Hozai Silvia.
E N D
Metoda backtraking Proiect realizat de: Mascasan Anca; Profesor indrumator: Hozai Silvia.
Metoda Backtracking se aplică problemelor în care soluţia poate fi reprezentată sub forma unui vector – x = (x1, x2, x3, …xk,… xn) € S, unde S este mulţimea soluţiilor problemei şi S = S1 x S2 x… x Sn, şi Si sunt mulţimi finite având s elemente si xi € si , (¥)i = 1..n. Metoda construieşte un vector soluţie în mod progresiv începând cu prima componentă a vectorului şi mergând spre ultima cu eventuale reveniri asupra atribuirilor anterioare. Ea se aplica astfel : 1) se alege prima valoare sin S1 si I se atribuie lui x1 ; 2)se presupun generate elementele x1…x[k-1], cu valori din S1..S[k-1]; pentru generarea lui x[k] se alege primul element din S[k] disponibil si pentru valoarea aleasa se testează îndeplinirea condiţiilor de continuare. Pot apărea următoarele situaţii : a)x[k] îndeplineşte condiţiile de continuare. Daca s-a ajuns la soluţia finală (k = n) atunci se afişează soluţia obţinută. Daca nu s-a ajuns la soluţia finală se trece la generarea elementului următor – x [k-1]; b)x[k] nu îndeplineşte condiţiile de continuare. Se încearcă următoarea valoare disponibila din S[k]. Daca nu se găseşte nici o valoare în S[k] care să îndeplinească condiţiile de continuare, se revine la elementul x[k-1] şi se reia algoritmul pentru o nouă valoare a acestuia. Algoritmul se încheie când au fost luate in considerare toate elementele lui S1. Urmeaza cateva probleme care se rezolva prin aceasta metoda:
Generarea permutărilor (interativ) Se citeşte un număr natural n. Să se genereze permutările de n elemente ale mulţimii {1,2,…,n}. Simulaţi executarea algoritmului pentru n=3. P3=3!=6 (1,2,3);(1,3,2);(2,1,3);(2,3,1);(3,1,2);(3,2,1) type vector=array [1..100] of integer; var st:vector; n.k:integer; as,ev:boolean; procedure init(k:integer;var st:vector); begin st[k]:=0; end; procedure successor(var as:boolean; var st:vector; k:integer); begin if st[k]<n then begin st[k]:=st[k]+1; as:=true; end else as:= false; end; procedure continuare(var ev:boolean; var st:vector; k:integer); var i :integer; begin ev:=true; for i:=1 to k-1 do if st[k]=st[i] then ev:=false end;
function solutie(k:integer):boolean; begin solutie:=(k=n); end; procedure tipar; var i:integer; begin for i:=1 to n do write (st[i]); writeln; end; Begin write(‘n=‘); readln(n); k:=1; init(k,st); while(k>0) do begin repeat successor(as,st,k); if as then continuare(ev,st,k); until (not as) or (as not ev); if as then if solutie(k) then tipar else begin k:=k+1; init(k,st); end; else k:=k-1; end; End.
Problema turelor (interativ) Să se determine toate posibilităţile de aranjare a n ture pe o tablă de şah de dimensiune nxn astfel încât turele să nu se atace reciproc. Tura atacă piesele aflate pe aceeaşi linie sau coloană. Obs: x[i] –reprezinta coloana pe care asezam tura de pe linia i. type vector=array [1..100] of integer; var x:vector; n:integer; procedure solutie ; var i.j :integer; begin for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do if x[i]=j then write(‘T’) else write (‘ ‘); writeln; end; end;
function continuare(k:integer): boolean; var i :integer; ok: boolean; begin ok:=true; if k=1 then continuare:=true else for i := 1 to k-1 do if x[k]=x[i] then ok :=false; contunuare:= ok; end; procedure back(k:integer); begin if (k=n+1) then solutie else begin for i:=1 to n do begin x[k]:=i; if continuare(k) then back(k+1); end; end; end; Begin write(‘n’); readln(n); back(1); readln; End.
Problema reginelor (interativ) Să se determine toate posibilităţile de aranjare a n regine pe o tablă de şah de dimensiune nxn astfel încât reginele să nu se atace reciproc. Regina atacă piesele aflate pe aceeaşi linie, coloană sau diagonală. Obs: st[i]- reprezinta coloana reginei de pe linia i. type vector=array [1..100] of integer; var st:vector; n.k:integer; as,ev:boolean; procedure init(k:integer;var st:vector); begin st[k]:=0; end; procedure successor(var as:boolean; var st:vector; k:integer); begin if st[k]<n then begin st[k]:=st[k]+1; as:=true; end else as:= false; end; procedure continuare(var ev:boolean; var st:vector; k:integer); var i :integer; begin ev:=true; for i:=1 to k-1 do if (st[k]=st[i]) or (abs(st[k]-st[i])=abs(k-i)) then ev:false; end; function solutie(k:integer):boolean; begin solutie:=(k=n); end;
procedure tipar; var i:integer; begin for i:=1 to n do write (st[i]); writeln; end; Begin write(‘n=‘); readln(n); k:=1; init(k,st); while(k>0) do begin repeat successor(as,st,k); if as then continuare(ev,st,k); until (not as) or (as not ev); if as then if solutie(k) then tipar else begin k:=k+1; init(k,st); end; else k:=k-1; end; End.
Generarea produsului cartezian (interativ) Se citesc numerele naturale n şi p. Să se genereze toate elementele produsului cartezian P=AxAx...xA=Ap, unde A={1,2,…,n}. type vector =array[1..25] of integer; var st,nr:vector; n:integer; procedure init; var i :integer; begin write (‘nr de multimi n=’);readln(n); for i:=1 to 25 do st[i]:=0; for i:=1 to n do begin write(‘cate elem are multimea’,i,’ : ‘); readln(nr[i]); end; end; procedure tipar(p:integer); var i :integer; begin for i:=1 to p do write(st[i] , ‘ ‘); writeln; end;
procedure back; var p:integer; begin p:=1; st[p]:=0; while p>0 do begin if st[p]<nr[p] then begin st[p]:=st[p]+1; if true then if p=n then tipar(p) else begin p:=p+1; st[p]:=0; end; end; else p:=p-1; end; end; Begin init; back; readln; End.
Plata unei sume cu bancnote de valori date (recursiv) Se dau suma S şi n tipuri de bancnote având valori a1,a2,…,an lei. Se cer toate modalităţile de plată a sumei S utilizând aceste bancnote. Se presupune că se dispune de un număr suficient din fiecare tip de bancnotă. type vector =array [1..9] of integer; var sol ,a,b:vector; n,i,s :integer; procedure tipar (k: integer); begin writeln(‘ solutie’); for i:=1 to k do if sol[i]<>0 then writeln(sol[i], ‘bancnote de ‘, a[i]); readln; end; procedure plata(k,s0:integer); begin while (sol[k]<b[k]) and (s0+a[k]<=s) do begin sol[k]:=sol[k]+1; if sol[k]>0 then s0:=s0+a[k]; if s0:=s then tipar(k) else if k<n then plata(k+1,s0); end; sol[k]:= -1; end; Begin write(‘cate tipuri de banknote avem? ‘); readln(n) write(‘suma=’); readln(s); for i:=1 to n do begin write(‘valoarea monedei de tipul ‘,i,’ ‘); readln(a[i]); b[i]:=s div a[i]; sol[i]:= -1; end; plata(1,0); End.
Problema colorării hărţilor (interativ) Fiind data o hartă cu n ţări, se cere toate soluţiile de colorare a hărţii, utilizând cel mult 4 culori, astfel încât două ţări cu frontieră comună să fie colorate diferit. Obs: -harta este furnizata programului cu ajutorul unei matrice An,n. type vector=array[1..100] of integer; var st:vector; i,j,n,k:integer; as,ev:boolean; a:array[1..20,1..20] of integer; procedure init(k:integer; var st:vector); begin st[k]:=0; end; procedure succesor(var as:boolean; var st:vector; k:integer); begin if st[k]<4 then begin st[k]:=st[k]+1; as:=true; end else as:=false; end; procedure continuare(var ev:boolean; st:vector; k:integer); var i:integer; begin ev:=true; for i:=1 to k-1 do if (st[i]=st[k])and(a[i,k]=1) then ev:=false; end;
function solutie(k:integer):boolean; begin solutie :=(k=n); end; procedure tipar; var i:integer; begin for i:= 1 to n do writeln(‘tara =’,i,’;’culoarea=’,st[i]); writeln(‘--------------‘); end; Begin write(‘nr. de tari=’); readln(n); for i:=1 to n do for j:=1 to i-1 do begin write(‘a[‘,i,’,’,j,’]=’);readln(a[i,j]); a[j,i]:=a[i,j]; end; k:=1;init(k,st); while k>0 do begin repeat succesor(as,st,k); if as then continuare(ev,st,k); until (not as) or (as and ev); if as then if solutie (k) then tipar else begin k:=k+1; init(k,st); end else k:=k-1; end; End.
Generarea aranjamentelor de n elemente luate câte p ale unui vector Se citesc cele n elemente ale unui vector şi numărul natural p. Să se genereze toate aranjamentele de n elemente luate câte p ale mulţimii {a1,a2,…,an}. Simulaţi executarea algoritmului pentru n=4 şi p=2. =n!/(n-p)!= 4!/2!=24/2=12 (1,2); (1,3); (1;4); (2,1); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,4); (4,1); (4,2),(4,3). type vector=array[1..20] of integer; var x:vector; n,p:integer; procedure solutie; var i:integer ; begin for i:=1 to p do write (x[i],’ ‘) ; end; function continuare (k : integer) : boolean ; var i: integer; begin continuare : =true ; for i: =1 to k-1 do if x [i] = x[k] then continuare: = false ; end ; procedure back (k : integer) ; var i: integer ; begin if (k=p+1) then solutie else for i:=1 to n do begin x[k] : = i; if continuare [k] then back (k+1); end; end; Begin write(‘n=’);readln(n); write(‘p=’);readln(p); back(1); End.
Generarea combinărilor de n elemente luate câte p ale unui vector Se citesc cele n elemente ale unui vector şi numărul natural p. Să se genereze toate combinările de n elemente luate câte p ale mulţimii {a1,a2,…,an}. Simulaţi executarea algoritmului pentru n=4 şi p=2. =n! /((n-p)!*p!)= 4!/(2!*2!)=(3*4)/2=6 (1,2); (1,3); (1,4);(2,3); (2,4); (3,4). Obs: -functia de continuare lipseste, deoarece luam elementele in ordine crescatoare. type vector=array[1..20] of integer; var x:vector; n,p:integer; procedure solutie; var i:integer ; begin for i:=1 to p do write (x[i],’ ‘) ; end; procedure back (k : integer) ; var i: integer ; begin if (k=p+1) then solutie else for i:=x[k-1]+1 to n do begin x[k] : = i; back (k+1); end; end; Begin write(‘n=’);readln(n); write(‘p=’);readln(p); back(1); End.
1.Utilizând metoda backtracking se generează permutările cuvântului info. Dacă primele trei soluţii generate sunt: fino, fion, fniocare este cea de-a cincea soluţie? a. foin b. fnoi c. foni d. ifon info =>1234fino=>3124 fion=>3142 varianta corecta: b.fnoi fnio=>3214 fnoi=>3241 2.Câte numere cu exact două cifre pot fi construite folosind doar cifre pare distincte? a. 12 b. 14 c. 20 d. 25 A =5!/(5-2)! =5!/3! =4*5=20 varianta corecta: c.20 3.Un algoritm generează în ordine descrescătoare toate numerele de 5 cifre, fiecare dintre ele având cifrele în ordine strict crescătoare. Ştiind că primele 5soluţii generate sunt 56789, 46789, 45789, 45689, 45679, precizaţi care sunt ultimele 3soluţii generate, în ordinea generării. raspuns: 12347; 12346; 12345. 4. Un algoritm generează în ordine descrescătoare, toate numerele de n cifre (n<9), cu cifrele în ordine strict crescătoare, care nu au două cifre pare alăturate. Dacă pentru n=5, primele 5 soluţii generate sunt 56789, 45789, 45679, 45678, 36789, precizaţi care sunt următoarele 3soluţii generate, în ordinea obţinerii lor. raspuns:35789, 35678, 356789. 5.Generând şirurile de maximum 3 caractere distincte din mulţimea {A,B,C,D,E}, ordonate lexicografic, obţinem succesiv: A, AB, ABC, ABD,…. Ce şir va fi generat imediat după BAE? a. BCA b. CAB c. BC d. BEA 215=> BAE 231=> BCA varianta corecta: a.BCA A
6. Un program citeşte o valoare naturală nenulă impară pentru n şi apoi generează şi afişează în ordine crescătoare lexicografic toate combinaţiile formate din n cifre care îndeplinesc următoarele proprietăţi: - încep şi se termină cu 0; - modulul diferenţei între oricare două cifre alăturate dintr-o combinaţie este 1. Astfel, pentru n=5, combinaţiile afişate sunt, în ordine, următoarele: 01010, 01210. Dacă se rulează acest program şi se citeşte pentru n valoarea 7, imediat după combinaţia 0101210 va fi afişată combinaţia: 0121210 b. 0123210 c. 0111210 d. 0121010 varianta corecta: d.0121010. 7. Pentru generarea numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,2,9} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele 20,22,29,90,92,99. Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, care este numărul generat imediat după numărul 2009? a. 2002 b. 2020 c. 2090 d. 2010 varianta corecta: b.2020. 8. Pentru generarea în ordine crescătoare a numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,2,8} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele 20,22,28,80,82,88. Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, precizaţi câte numere generate sunt divizibile cu 100? 8 b. 90 c. 6 d. 10 2000; 8000; 2800; 8200; 2200; 8800. varianta corecta: c.6 9. În câte dintre permutările elementelor mulţimii {‘I’,’N’,’F’,’O’} vocalele apar pe poziţii consecutive? a. 24 b. 6 c. 12 d. 4 IOFN; IONF; FION;NIOF; NFIO; FNIO; OIFN; OINF; FOIN; NOIF; FNOI; NFOI. varianta corecta: c.12 10. Pentru generarea numerelor cu n cifre formate cu elementele mulţimii {0,4,8} se utilizează un algoritm backtracking care, pentru n=2, generează, în ordine, numerele 40,44,48,80,84,88. Dacă n=4 şi se utilizează acelaşi algoritm, care este numărul generat imediat după numărul 4008 ? a. 4040 b. 4004 c. 4080 d. 8004 varianta corecta: a.4040
11.Având la dispoziţie cifrele 0, 1 şi 2 putem genera, în ordine crescătoare, numere care au suma cifrelor egală cu 2 astfel încât primele 6 numere generate sunt, în această ordine: 2, 11, 20, 101, 110, 200. Folosind acelaşi algoritm se generează numere cu cifrele 0, 1, 2 şi 3 care au suma cifrelor egală cu 4. Care va fi al 7-lea număr din această generare ? a. 103 b. 301 c. 220 d. 130 Sc=4 =>13; 22; 31; 103; 112; 121; 130. varianta corecta: d.130 12. În vederea participării la un concurs, elevii de la liceul sportiv au dat o probă de selecţie, în urma căreia primii 6 au obţinut punctaje egale. În câte moduri poate fi formată echipa selecţionată ştiind că poate avea doar 4 membri, aleşi dintre cei 6, şi că ordinea acestora în cadrul echipei nu contează? a. 24 b. 30 c. 15 d. 4 C = 6!/(4!*2!)= (5*6)/2=15 varianta corecta: c.15. 13.Folosind un algoritm de generare putem obţine numere naturale de k cifre care au suma cifrelor egală cu un număr natural s. Astfel, pentru valorile k=2 şi s=6 se generează, în ordine, numerele: 15, 24, 33, 42, 51, 60. Care va fi al treilea număr generat pentru k=4 şi s=5? a. 1301 b. 1022 c. 2201 d. 1031 1013; 1031; 1022varianta corecta: b.1022. 14.Se utilizează un algoritm pentru a genera în ordine lexicografică inversă toate permutările mulţimii {1,2,3,4,5}. Primele patru permutări generate sunt: 54321, 54312, 54231, 54213. A cincea permutare este: a. 53421 b. 54321 c. 54132 d. 54123 varianta corecta: a.53421. 15. Utilizând metoda backtracking se generează toate permutările mulţimii {1,2,3,4}. Dacă primele trei permutări generate sunt, în acestă ordine: 1234, 1243, 1324 precizaţi care este permutarea generată imediat după 3412. a. 3214 b. 3413 c. 4123 d. 3421. varianta corecta: d.3421.
16. Utilizând metoda backtracking se generează numerele formate din câte 3 cifre distincte din mulţimea {1,3,5,7}. Dacă primele trei numere generate sunt, în acestă ordine: 135, 137, 153 care este cel de-al patrulea număr generat? a. 315 b. 173 c. 157 d. 357. varianta corecta: c.157. 17. Utilizând metoda backtracking se generează toate cuvintele de câte 3 litere din mulţimea {a,b,c}. Dacă primele patru cuvinte generate sunt, în acestă ordine: aaa, aab, aac, aba, care este cel de-al optulea cuvânt generat? a. acb b. acc c. aca d. bca. aaa, aab, aac, aba, abb, abc, aca, acb. varianta corecta: a.acb. 18. Se generează în ordine strict crescătoare numerele de câte şase cifre care conţin: cifra 1 o singură dată, cifra 2 de două ori şi cifra 3 de trei ori. Se obţin, în această ordine, numerele: 122333, 123233, 123323, …, 333221. Câte numere generate prin această metodă au prima cifră 1 şi ultima cifră 2? a. 1 b. 3 c. 4 d. 8 123332; 132332; 133232; 133322 varianta corecta: c.4. 19. Utilizând metoda backtracking, se generează în ordine lexicografică toate anagramele cuvântului caiet (cuvinte formate din aceleaşi litere, eventual în altă ordine). Câte cuvinte care încep cu litera t vor fi generate? a. 1 b. 6 c. 12 d. 24 c a i e t => 1 2 3 4 5 51234; 51243; 51324; 51342; 51432; 51423 => sunt 6 numere care dupa 5 au cifra 1 =>6*4(cate nr. pot fi puse dupa 5)=24 varianta corecta: d.24. 20. Utilizăm metoda backtracking pentru generarea tuturor modalităţilor de a scrie numărul 6 ca sumă a cel puţin două numere naturale nenule. Termenii fiecărei sume sunt în ordine crescătoare. Soluţiile se generează în ordinea: 1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+2, 1+1+1+3, 1+1+4, 1+5, 2+2+2, 2+4 şi 3+3. Se aplică exact aceeaşi metodă pentru scrierea lui 9.Câte soluţii de forma 2+... vor fi generate? a. 2 b. 3 c. 4 d. 5. n=9 => 2+2+2+2+1 2+2+2+3 2+2+5 2+7 varianta corecta : c.4.
