METODA TANGENTE (NEWTONOVA METODA) i METODA JEDNOSTAVNE ITERACIJE

1. METODA TANGENTE (NEWTONOVA METODA)i METODA JEDNOSTAVNE ITERACIJE Mr. sc. Tatjana Stanivuk Pomorski fakultet u Splitu

2. Ako graf funkcije f umjesto sekantom aproksimiramo tangentom, dobili smo metodu tangente ili Newtonovu metodu. Slično kao i kod sekante, time smo izgubili svojstvo sigurne konvergencije, ali se nadamo da će metoda brzo konvergirati. • Pretpostavimo da je zadana početna točka . Ideja metode je povući tangentu u točki • i definirati novu aproksimaciju u točki gdje ona siječe os x.

3. Geometrijski izvod je jednostavan. U točki napiše se jednadžba tangente i pogleda se gdje siječe os x. Jednadžba tangente je: odakle izlazi da je nova aproksimacija

4. Do Newtonove metode može se doći i na drugačiji način. Pretpostavimo li da je funkcija f dva puta neprekidno derivabilna (na nekom području oko α), onda je možemo razviti u Taylorov red oko do uključivo prvog člana. Dobivamo: pri čemu se nalazi između i . Uvrštavanjem dobivamo

5. Premještanjem, uz pretpostavku da je , slijedi • Iz gornje relacije možemo primijetiti kako prva dva člana s desna daju pa dobivamo • Iz ove relacije odmah očitamo da je Newtonova metoda, kada konvergira, kvadratično konvergentna. Međutim, takav zaključak vrijedi samo ako ne teži k nuli tijekom cijelog procesa, odnosno ako je dakle ako je nultočka jednostruka.

6. Teorem 1. Neka su neprekidne za sve x u nekom intervalu koji sadrži jednostruku nultočku . Ako je početna aproksimacija izabrana dovoljno blizu nultočke , niz iteracija konvergirat će prema s redom konvergencije . Čak štoviše, vrijedi: • Ovaj teorem daje dovoljne uvjete za takozvanu lokalnu konvergenciju Newtonove metode prema jednostrukoj nultočki. Lokalnost se odnosi na to da početna aproksimacija mora biti dovoljno blizu nultočke .

7. Pretpostavimo da smo locirali nultočku funkcije u segmentu [a,b] i znamo da je klase na tom segmentu. Neka je: • Funkcija je strogo monotona na [a,b] onda i samo onda ako je . Naime, funcija je neprekidna na segmentu [a,b] pa poprima svoj minimum i maksimum u nekoj točki segmenta. Ako je monotono rastuća (padajuća), tada je za sve iz segmenta [a,b], pa je .

8. Veličine m1iM2daju i lokalne ocjene grešaka iteracija u Newtonovoj metodi, uz uvjet da su sve iteracije unutar segmenta [a,b]. Iz ranije relacije imamo: gdje se nalazi između i , odmah slijedi: • Ova ocjena nije naročito korisna za praktičnu primjenu jer ne znamo veličinu .

9. Da bismo izveli za praksu pogodniju ocjenu greške, iskoristiti ćemo Taylorov teorem. Za dvije susjedne iteracije u Newtonovoj metodi vrijedi: pri čemu se nalazi između i .Također vrijedi i: pa je .

10. Koristeći pretpostavku i , dobivamo Ako je , slijedi ocjena: . Kombinacijom ovih ocjena greške dobivamo: što se može koristiti u praksi.

11. Ako je gornja ograda za apsolutnu grešku (uobičajeno se to kaže samo tražena točnost), onda test ili napisan u formi u kojoj se uobičajeno koristi: garantira da je .

12. Ako osim pretpostavke da je funkcija strogo monotona na [a,b], ili da prva derivacija ima isti predznak na cijelom intervalu koristimo i pretpostavku da i druga derivacija ima fiksni predznak na istom intervalu, onda možemo dobiti i globalnu konvergenciju Newtonove metode.

13. Teorem 2. Neka je i neka i nemaju nultočke u [a,b](odnosno, i imaju fiksni predznak na [a,b]). Ako polazna iteracija iz intervala [a,b]zadovoljava uvjet onda niz iteracija dobiven Newtonovom metodom konvergira prema (jedinstvenoj jednostrukoj) nultočki funkcije .

14. Napomena 1. Primijetimo da ako je i za tada je i i . Analogno, za , i . Tada, ako je i i i da bi bio ispunjen uvjet možemo pri rješavanju zadataka uzeti da je , a kada je i , .

15. PRIMJERI • Primjer 1. Newtonovom metodom s točnošću većom od 10-6 naći nultočku jednadžbe . Rješenje: Prvo trebamo odrediti interval izoliranosti pa crtamo grafove funkcija i i tražimo točku u kojoj se ove dvije funkcije sijeku. Iz slike vidimo da je nultočka unutar intervala [-1,0].

16. na intervalu [-1,0]

17. Izborom dobivamo slijedeće aproksimacije εn

18. a to je < od o.oo764853, pa je približno rješenje jednadžbe

19. . • Primjer 2. Newtonovom metodom s točnošću većom od 10-3naći nultočke jednadžbe . Rješenje: Prvo trebamo odrediti interval izoliranosti pa crtamo grafove funkcija i te tražimo točku u kojoj se ove funkcije sijeku. Iz slike možemo zaključiti da se nultočka nalazi u intervalu [1, ].

21. Odabirom da je dobivamo slijedeće aproksimacije:

22. Kako je , približno rješenje jednadžbe je

23. Primjer 3. Newtonovom metodom s točnošću većom od 10-6 naći nultočku funkcije . Rješenje:Jednadžbu pišemo u obliku , a zatim određujemo interval izoliranosti pa crtamo grafove funkcija i te tražimo točku u kojoj se ove funkcije sijeku . Iz slike možemo zaključiti da se nultočka nalazi unutar intervala [2,3].

25. Izborom dobivamo slijedeće aproksimacije:

26. Kako je , približno rješenje jednadžbe je .

27. ZAKLJUČAK • Računanje korištenjem Newtonove metode može trajati dulje nego računanje upotrebom metode sekante (uz upotrebu istog kriterija zaustavljanja), jer se za svaki korak Newtonove metode mora izračunati i vrijednost funkcije i vrijednost derivacije u točki. Ako je izračun derivacije kompliciran, tada će metoda sekante biti brža. • Teoremi 1. i 2. daju samo dovoljne uvjete konvergencije pojedinih iterativnih metoda. U praktičnom računu često se pojavljuje samo interval [a,b] u kojem je locirana nultočka funkcije, a nemamo dodatne informacije o funkciji iz kojih bi se mogao izvući zaključak o konvergenciji bržih iterativnih metoda. Zbog toga se Newtonova metoda katkada kombinira s metodom bisekcije tako da se prvo izračuna nova iteracija po bržoj metodi koja se prihvaća ako iteracija ostaje u trenutnom intervalu te s njom nastavljaju iteracije i skraćuje se interval.

28. METODA JEDNOSTAVNE ITERACIJE

29. NAPOMENA. Metoda rješavanja se sastoji od 6 koraka, za razliku od Newtonove metode koja se provodila u 3. i 4. koraka. Ako uočimo da aproksimacija “bježi” izvan izabranog intervala izoliranosti, interval treba suziti, ili, ako to ne pomaže, prijeći na inverznu funkciju, kako ćemo i pokazati u slijedećem primjeru.

30. Primjer 4. Metodom jednostavne iteracije s točnošću većom od 10-3 riješiti jednadžbu . Rješenje:(1.KORAK) trebamo odrediti interval izoliranosti pa crtamo grafove funkcija i te tražimo točku u kojoj se ove funkcije sijeku. Iz slike možemo zaključiti da se krivulje sijeku u dvjema točkama pa jednadžba ima dva rješenja. Prvo se nalazi u intervalu [-2,-1] , a drugo u [1,2].

31. (2.KORAK) Zapisujemo jednadžbu u oblik To se posebno radi za svaki od intervala jer se može dogoditi da za svaki bude posebna funkcija . Biranje te funkcije povezano je sa zahtjevom na tom intervalu. Interval [1,2] Pokušaj da se jednadžba napiše u obliku tj.biranje propada jer bi tada bilo što je >1 za sve x>0, posebice za x iz zadanog intervala. Zato Interval [-2,-1] Tu je dobro tj. jer je <1 za x iz zadanog intervala.

32. Zato treba pokušati s inverznom funkcijom tj. sa zapisom iz kojega dobijemo tj. . Sada je što je <1 na zadanom intervalu. • (3.KORAK) Provjeravamo da preslikava interval u interval; posebno za svaki od intervala. Za to je dovoljno ispitati monotonost na intervalu; tako što će biti dovoljno provjeriti uvjet u rubovima (ako bude potrebno, početni interval možemo i smanjiti).

33. Interval [1,2] Kako je ln rastuća funkcija, i je rastuća funkcija. Provjerimo je li i . Kako je i to je ispunjeno. Interval [-2,-1] Kako je rastuća funkcija, i je rastuća. Posebice i na tom intervalu gledamo: i Uvjet je zadovoljen. (4.KORAK) Određivanje broja r, tako da bude za sve x iz intervala. Taj je korak povezan s drugim i posebno se radi za svaki od intervala. Za to je dovoljno ispitati monotonost na svakom od intervala (pa se provjera vrši samo u rubnim točkama).

34. Ako bude bilo potrebno, možemo smanjiti početni interval (naravno, pazeći da rješenje ostane u njemu i da uvjet iz prethodnog koraka ne bude narušen. Interval [-2,-1] Kako je rastuća i pozitivna funkcija na tom intervalu, dovoljno je gledati tj. , pa možemo uzeti Interval [1,2] Kako je padajuća i pozitivna funkcija na tom intervalu, dovoljno je gledati tj. , pa možemo uzeti

35. (5.KORAK) Određujemo uvijet točnosti za svaki interval To radimo koristeći se ocjenom odakle se dobije da je dovoljno da bude Interval [1,2] Dobijemo (biramo manji broj od stvarno izračunatog). Interval [-2,-1] Smisao je ovih ocjena u tome da prestajemo za onaj n kad one budu ispunjene, a za dobru aproksimaciju uzimamo .

36. (6.KORAK) Računamo aproksimacije prema formuli za svaki od intervala. Nultu aproksimaciju biramo po volji u početnom intervalu (obično neku od rubnih točaka). Interval [1,2] Formula je (mogli smo izabrati bilo koji broj intervala )

37. Interval [1,2] Kako je razlika 5. i 4. aproksimacije <0.0019, dobra je 6. aproksimacija za zadanu točnost, tj. rješenje jednadžbe je .

38. Interval [-2,-1] Formula je Analogno zaključujemo da je rješenje jednadžbe

39. HVALANAPAŽNJI 