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Risco e sua diversificação

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Risco e sua diversificação . Introdução. Quando alguém empresta um capital, tem como objectivo receber mais tarde esse capital que emprestou acrescido dos juros Mas existe sempre uma probabilidade de não receber nem uma coisa nem outra (no todo ou em parte). Introdução.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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introdu o
Introdução
  • Quando alguém empresta um capital, tem como objectivo receber mais tarde esse capital que emprestou acrescido dos juros
  • Mas existe sempre uma probabilidade de não receber nem uma coisa nem outra (no todo ou em parte).
introdu o3
Introdução
  • Na análise de um investimento, porque é baseada em previsões quanto ao desempenho futuro do negócio
    • preços dos inputs, preços e quantidades dos outputs, depreciação do capital, falhas e descobertas tecnológicas
  • A medida calculada a priori na avaliação pode, a posteriori, vir a concretizar-se de forma menos favorável.
introdu o4
Introdução
  • No sentido de compreendermos o risco, controlá-lo e utilizá-lo na tomada de decisão, vamos neste capítulo apresentar a modelização estatística do risco.
exemplo seguro de vida
Exemplo: seguro de vida
  • Se a seguradora soubesse a priori quantos anos faltavam para o segurado morrer e a taxa de juro, calculava facilmente o prémio do seguro que lhe permitiria capitalizar a indemnização e ter algum lucro
  • Mas na data de assinatura do contrato essas grandezas não são conhecidas
exemplo seguro de vida6
Exemplo: seguro de vida
  • Ex.2.1- Num seguro de vida em que é paga a indemnização na data da morte.
  • A seguradora capitaliza os prémios pagos pelo segurado de forma a ter reservas para pagar a indemnização.
  • A seguradora tem uma margem de 10%
  • Qual o prémio anual por cada 1000€ de indemnização?
exemplo seguro de vida7
Exemplo: seguro de vida
  • Se a duração fosse N e a taxa de juro r tínhamos
exemplo seguro de vida8
Exemplo: seguro de vida
  • Se N=40 e r = 2% resultava:
  • Mais os 10%, seriam 17.86€/ano/1000€

= 1.786%/ano

exemplo seguro de vida9
Exemplo: seguro de vida
  • Mas sem conhecermos N nem r o melhor que pode ser feito é a construção de alguns cenários
  • Dividimos cada variável em cenários

Como exemplo, fazemos os cenários

M.Mau, Mau, Médio, Bom, M.Bom

M.Mau, Mau, Médio- , Médio+, Bom, M.Bom

exemplo seguro de vida10
Exemplo: seguro de vida
  • Cada cenário é uma combinação de valores possíveis para as variáveis relevantes
  • No caso de variáveis contínuas, esse valor é o representante de um intervalo, e.g., o valor do meio.
exemplo seguro de vida11
Exemplo: seguro de vida

F5: =$C$1*$E6/((1-(1+$E6)^-F$5)*(1+$E6)^(F$5+1))*(1+$C$2)

Área F6:K10 com formatação condicionada (se <17.86)

introdu o12
Introdução
  • Os cenários conseguem dar uma ideia dos potenciais perdas e ganhos mas não nos ajudam quantitativamente na decisão
  • Vamos necessitar de alguns conceitos estatísticos que permitam agregar a informação.
conceitos estat sticos b sicos14
Conceitos estatísticos básicos
  • A Estatística descreve, organiza e relaciona objectos e fenómenos demasiado difíceis de apreender com as ferramentas conceptuais da matemática clássica (i.e., funções reais de variáveis reais).
conceitos estat sticos b sicos15
Conceitos estatísticos básicos
  • A estatística reduz a dimensão do fenómeno considerando
  • Poucas variáveis (as mais relevantes) e
  • Conhecimento parcial dessas variáveis
conceitos estat sticos b sicos16
Conceitos estatísticos básicos
  • Por exemplo, quando se constrói um avião, é necessário colocar bancos adequados para acomodar Pessoas com Necessidades Especiais (PNE).
  • Com é impossível saber as necessidades nos voos futuros,
  • Vamos medir, na população, a percentagem de PNE,
  • Vamos supor que 3% são PNE.
conceitos estat sticos b sicos17
Conceitos estatísticos básicos
  • Partindo desta informação pouco pormenorizada
    • Calculada com os passageiros do passado
  • podemos calcular, com a ajuda da estatística, estimativas para as necessidades das viagens futuras
    • Supomos a estabilidade das características da população
conceitos estat sticos b sicos18
Conceitos estatísticos básicos

Sabendo-se que 3% dos indivíduos são PNE, em x% das viagens futuras (com 200 passageiros) haverá necessidade de N lugares

no o de vari vel estat stica20
Noção de variável estatística
  • Depois de construirmos um modelo que nos permite quantificar o impacto da nossa decisão em função das variáveis relevantes (e.g., taxa de juro, taxa de crescimento as vendas)
  • O risco resulta de não conhecermos os valores concretos que as variáveis vão assumir no futuro.
no o de vari vel estat stica21
Noção de variável estatística
  • Por exemplo, na construção de um automóvel não sei a altura nem o peso do futuro condutor.
    • Será um valor “sorteado” da população
  • Substituir a falta de informação assumindo que seráum valor retirado aleatoriamente da população da qual conheço estatísticas
    • e.g., o valor médio e a dispersão
no o de vari vel estat stica22
Noção de variável estatística
  • Numa extracção aleatória os indivíduos são obtidos sem ter em atenção nenhuma das suas características
    • e.g., a extracção de uma bola no Euromilhões não tem em atenção o número.
probabilidade
Probabilidade
  • A cada um dos valores possíveis (i.e., cada cenário) é atribuído uma probabilidade

e.g., atirando uma moeda ao ar, a probabilidade de sair cara é 50%.

interpreta es de probabilidade
Interpretações de probabilidade
  • Probabilidade de se concretizar o valor x
  • Clássica: é a proporção de vezes em que observo o valor x se repetir a experiência de forma independente e muitas vezes
  • Bayesiana: é uma conjectura construída por peritos sobre o fenómeno ainda desconhecido se concretizar com o valor x
  • Em termos práticos, a perspectiva bayesiana é mais flexível mas não tem tanto suporte teórico
probabilidade25
Probabilidade
  • A probabilidade não garante qual o valor que se vai obter no concreto

e.g., eu saber que a probabilidade de numa viagem haver 6 PNE é de 15.8%

  • mas contém um certo grau de informação que me ajuda a avaliar a importância relativa dos cenários construídos
probabilidade26
Probabilidade
  • Ex.2.4. Foram identificados 8 cenários possíveis quanto ao comportamento do preço do Brent em dólares daqui a 10 anos e inquirida a opinião de 100 peritos, numa escala de 0 a 10, sobre a viabilidade relativa de ocorrência de cada cenário.
probabilidade27
Probabilidade
  • Com base na soma dos pontos atribuídos por todas as pessoas, determine a probabilidade assumida para que cada um dos cenários possa vir a acontecer.
slide30
Concluindo,
  • 1 - Eu tenho um modelo de cálculo das implicações financeiras da minha decisão onde me falta a informação sobre o cenário concreto que se vai realizar
slide32
2 - o melhor que posso fazer para ultrapassar a minha ignorância é substituir o valor desconhecido por uma variável aleatória de que eu tenho informação quanto à probabilidade de cada cenário se vir a concretizar.
slide34
Uso uma variável aleatória como modelo do risco
  • Esta substituição (do cenário futuro desconhecido pela variável aleatória) implica que tenha como resultado não um valor mas também uma variável aleatória (como se fosse toda uma população de resultados).
exemplo
Exemplo
  • Ex.2.5. Conhecida a probabilidade de o individuo durar determinados anos
  • retome o Ex.2.1 e calcule a probabilidade da seguradora ter uma margem das vendas abaixo dos 10% pretendidos
caracteriza o da v e
Caracterização da v.e.
  • População dividida em cenários
    • Intervalos
  • Pego nos indivíduos todos da população e calculo a proporção que cai dentro de cada classe
  • e.g., divido a longevidade de uma pessoa nos intervalos [0, 30]; ]30,60]; ]60,90] e ]90, 120]
caracteriza o da v e37
Caracterização da v.e.
  • Não podendo medir toda a população, utilizo uma amostra no cálculo da probabilidade
exemplo38
Exemplo
  • a probabilidade de cada cenário é determinada com informação passada e pela opinião de um painel de peritos
exemplo40
Exemplo
  • R. Como tenho informação quanto à probabilidade de cada um dos cenários poder ocorrer, olhando para o resultado de cada cenário (apresentado no Ex. 2.1) somo a probabilidade dos cenários em que o prémio deveria ser maior que o adoptado (1.786%/ano)
  • A probabilidade da margem das vendas ficar abaixo dos 10% pretendidos é 57.78%.
tabelas de sobreviv ncia
Tabelas de sobrevivência
  • As seguradoras têm tabelas que dão a probabilidade de uma pessoa estar viva decorridos x anos.
  • Quantificado em partes por 100000
  • Por exemplo, o INE estima que a probabilidade de um individuo nascido em 2007 estar vivo em 2040 é 98439/100000
exerc cio
Exercício
  • Ex.2.6. Uma empresa contrata um financiamento de 10M€ com 3 anos de diferimento e amortizado nos restantes 7 anos, pagamentos trimestrais postecipados.
  • TAE é a EURIBOR mais 2.5 p.p.
  • Usando um quadro de probabilidades conhecido, determine P(prest>750k€)
exerc cio44
Exercício

D6: =(A6+B6)/2 E6: =D6+E$1

F6: =B$3*E6/(1-(1+E6)^-E$2)

exerc cio45
Exercício
  • Ex.2.7. Uma família adquire um imóvel a crédito
  • 150k€ a 40 anos
  • Prestação mensal iguais em termos reais
  • Antecipada
exerc cio46
Exercício
  • Vamos fazer a análise a preços constantes e calcular a prestação anual paga no meio do ano da renda cujo valor actual é 150k€:
    • que evita saber a taxa de inflação
exerc cio47
Exercício
  • Podíamos fazer mensal mas a ideia é visualizar o efeito do pagamento ser a meio do período.
slide49

J5: =$B$1*$D5/(1-(1+$D5)^-$B$2)/(1+$D5)^0,5/E$4

O5: =IF(J5>$P$2;E5;0) P3: =SUM(O5:S9)

valor m dio
Valor médio
  • Na tomada de decisão é conveniente agregar todos os cenários em apenas algumas medidas.
  • Em termos económicos, o valor médio é a medida que contém mais informação
  • é a “componente sem risco” do fenómeno que estamos a analisar.
valor m dio51
Valor médio
  • Havendo n cenários caracterizado cada um por xn, com determinada probabilidade de ocorrência, pn, o valor médio será
    • Porque as probabilidades somam 1
valor m dio52
Valor médio
  • O valor médio já nos permite um critério quantitativo que nos ajuda a decidir numa situação com risco.
  • Mas é muito limitado porque não tem em atenção o risco (a variabilidade)
slide53
Ex.2.8. Um empresa fornece refeições a aviões.
  • Que confecciona durante a noite para responder às solicitações do dia seguinte que são incertas.
  • Por cada refeição que fornecer recebe 15€ (com um custo de produção de 5€) e tem uma penalização de 15€ por cada refeição que seja pedida e não possa ser fornecida.
  • As refeições que sobram são destruídas no fim do dia.
slide54
i) Determine, em média, a rentabilidade do fornecimento em função do número de refeições confeccionadas.
  • ii) Determine o número de refeições que maximiza a rentabilidade média.
slide55
A empresa constrói cenários em que a variável desconhecida é o número de refeições encomendadas
  • Calcula, para cada dia e com base na sua experiência, a probabilidade de cada um dos cenários se verificar.
  • Com essas probabilidades, a empresa determina o resultado médio do dia em função do número de refeições confeccionadas (que é a variável de decisão).
slide56

E6: =MÍNIMO(C6;$D$1) F6: =C6-E6

G6: =E6*E$4-D$1*D$2+F6*F$4

H6: =D6*G6 H15: =SOMA(H6:H14)

slide57
Alterando o valor da variável de decisão, D1, determino qual o número de refeições que maximiza o resultado médio, H15
optimiza o
Optimização
  • O Excel tem a ferramenta Solver que permite maximizar ou minimizar o resultado de um modelo. No Excel 2007:
  • Office Button+ Excel Options + Add-ins category +no Manage clickar em Go…,
  • +Solver Add In
  • Depois, aparece no Analysis
desvio padr o
Desvio padrão
  • Ao agregarmos os cenários no valor médio ficamos sem uma medida de risco
  • o desvio padrão, , é uma boa medida do risco de assumirmos o valor médio dos cenários possíveis como o valor do cenário que vai acontecer (e que é desconhecido)
desvio padr o61
Desvio padrão
  • Algebricamente é a raiz quadrada da
  • Média dos desvios ao quadrado
desvio padr o62
Desvio padrão
  • O desvio padrão é uma expressão derivável e que tem interpretação geométrica.
    • Se, e.g., uma população se agrega no valor médio 25€/dia e desvio padrão 5€/dia, é equivalente a ter metade dos indivíduos em 20€/dia e outra metade em 30€/dia.
desvio padr o63
Desvio padrão
  • Ex.2.9 - Uma empresa pretende internacionalizar-se e traçou vários cenários possíveis
  • Determine o valor médio e o desvio padrão do resultado financeiro que resulta da internacionalização.
slide64

D2: =$B2*C2 D10: =SUM(D2:D9)

E2: =(C2-$D$10)^2 F2: =$B2*E2

F10: =SUM(D2:D9) F11: =F10^0,5

slide65
Ex.2.10. Supondo que nos baralhos de 52 cartas uma figura vale 10 pontos.
  • Determine o valor médio e o desvio padrão dos pontos de uma carta retirada aleatoriamente.
  • Nesta população teórica eu posso calcular os valores da população
slide66
4 cartas valem 1 ponto,
  • 4 cartas valem 2 pontos
  • ….
  • 4 cartas valem 9 pontos
  • 16 cartas valem 10 pontos
slide68
Ex.2.11. Relativamente ao Ex. 2.8, determine o desvio padrão dos resultados.
  • Determine o número de refeições que maximiza o valor médio do resultado menos o seu desvio padrão.
slide69

I6: =(H6-$H$15)^2 J6: =I6*D6

J15: =SOMA(J6:J14) J16: =J15^0,5

fun o de distribui o
Função de distribuição
  • Quando a variável é contínua podemos partir o domínio em intervalos, cenários, e apontar uma probabilidade de o acontecimento vir a pertencer a cada um dos cenários.
  • Em cada cenário adoptamos como valor representativo o meio do intervalo
fun o de distribui o71
Função de distribuição
  • É aceitável pensar que os cenários vizinhos devem ter associadas probabilidade semelhantes.
  • A Estatística propõe o uso de uma função F(x) que quantifica a probabilidade de ser observado um valor menor que ou igual a dado valor x.
fun o de distribui o72
Função de distribuição
  • A função de distribuição é caracterizada por alguns parâmetros
  • No ex.2.1 usei a Distribuição de Poisson que se caracteriza por 1 parâmetro

Valor médio = Desvio Padrão

distribui o normal
Distribuição Normal
  • É caracterizada por dois parâmetros
    • O valor médio
    • O desvio padrão (ou a variância)
      • Variância = desvio padrão ao quadrado
  • Resulta como “distribuição limite” da soma de acontecimentos estatisticamente pouco dependentes
distribui o normal74
Distribuição Normal
  • A probabilidade de acontecer o cenário

] –;  + ] é de 68.3%  2/3;

] – 2;  +2] é de 95.5%  19/20

] – 3;  +3] é de 99.7%  997/1000.

distribui o normal75
Distribuição Normal

Ex. o QI -coeficiente de inteligência é uma variável aleatória com distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15

A probabilidade de encontrar aleatoriamente um indivíduo com QI > 145 é 0.13% (i.e., uma em cada 740 pessoas)

=1-DIST.NORM(145;100;15;VERDADEIRO)

Inglês: NORMDIST

distribui o normal76
Distribuição Normal

A Distribuição Normal concentra a maior probabilidade nos cenários em torno do valor médio

exerc cio77
Exercício
  • Ex.2.12. Comprei obrigações a 25 anos à taxa de juro nominal fixa de 4%/ano, sem possibilidade de mobilização antecipada.
  • A taxa de inflação média prevê-se seguir distribuição N(0.02, 0.01)/ano
  • Determine o valor real a receber no fim do prazo de aplicar 10000€ e a probabilidade de esse valor se menor que a quantia aplicada.
exerc cio78
Exercício
  • 1) Vou dividir o domínio da taxa de inflação em cenários e calcular o valor capitalizado para cada cenário
  • 2) Calculo o valor médio e o desvio padrão do V.F. em termos reais e a probabilidade de vir a ser recebido uma quantia menor que a aplicada.
slide80

A7: =G1-4,25*G2 B7: =A7+$G$2/2 A8: =B7 D7: =(A7+B7)/2

C7: =DIST.NORM(B7;G$1;G$2;true)-DIST.NORM(A7;G$1;G$2;true)

E7: =(1+C$1)/(1+D7)-1 F7: =C$2*(1+E7)^C$3

G7: =F7*C7 H7: =(F7-G$25)

I7: =H7^2*C7 C24: =SOMA(C7:C23) G25: =SOMA(G7:G22)/C24

I24: =SOMA(I7:I22)/C24 I25: =H24^0,5

I26: =DIST.NORM(C2;G25;I25;true)

distribui o uniforme
Distribuição Uniforme
  • Na F.D. Uniforme os valores no domínio são todos igualmente prováveis.
  • Pode se caracterizada pelos extremos
    • valores mínimo e máximo
  • Pelo valor médio e amplitude
  • Pelo valor médio e desvio padrão
distribui o uniforme83
Distribuição Uniforme
  • Sendo dados

 = valor médio

 = desvio padrão

O Valor mínimo =  - 1.732 

O Valor máximo =  + 1.732 

distribui o uniforme84
Distribuição Uniforme
  • Sendo dados

Mx = valor máximo

Mn = valor mínimo

Valor médio = (Mn + Mx)/2

Desv. padrão = 0.2887(Mx - Mn)

distribui o uniforme85
Distribuição Uniforme
  • A probabilidade de um cenário é a sua proporção no domínio possível.
  • Ex., com a distribuição uniforme

U(Min,Mx) = U(5; 10)

A probabilidade do cenário [5;6] é 1/5

escolha da f distribui o
Escolha da F.Distribuição
  • A função distribuição não é conhecida sendo uma proposta da Teoria.
  • No entanto, em termos de decisão económica, a função distribuição não é um factor crítico (ver ex.2.13).
  • e.g., considerar uma função distribuição normal é idêntico a considerar uma função de distribuição uniforme.
distribui o n o sim trica
Distribuição não simétrica
  • No entanto, quando o fenómeno é caracterizado por uma função muito assimétrica,
    • Existe uma probabilidade mais elevada de alguns acontecimentos catastróficos
    • Mede-se com
    • m é zero nas F.D. simétricas
  • não posso utilizar uma função simétrica
distribui o n o sim trica88
Distribuição não simétrica
  • Exemplo de uma distribuição assimétrica é o caudal de um rio
  • É normal ter
    • m /  > 5
    • 80% dos dias um caudal  ao valor médio
    • 1 dia em cada 100 anos haver um caudal 30 vezes superior ao caudal médio
distribui o n o sim trica89
Distribuição não simétrica
  • Os caudais muito elevados (e.g., que ocorrem com a probabilidade de 1 dia em 100 anos) têm muito poder destrutivo
  • Os seguros contra danos de cheias têm que quantificar com rigor a probabilidade destes acontecimentos extremos
    • As barragens e pontes têm que ser feitos de forma a resistir a estes caudais extremos.
distribui o n o sim trica90
Distribuição não simétrica
  • O caudal médio do rio Douro no Porto é 714m3/s
  • A ponte de Entre-os-Rios caiu com o caudal no Porto de ~13500m3/s
    • A maior cheia conhecida no Porto ocorreu em 23 de Dezembro de 1909 (e 6 Dez. de 1739) com >20000m3/s
    • A barragem de Lever-Crestuma está dimensionada para 26000m3/s

http://www.wikienergia.pt/~edp/index.php?title=Central_de_Crestuma_-_Lever

opera es alg bricas simples
Operações algébricas simples
  • Se somarmos uma constante a uma variável aleatória
    • O valor médio vem aumentado
    • O desvio padrão mantêm-se
opera es alg bricas simples94
Operações algébricas simples

Ex. A altura das pessoas é N(1.75, 0.15)

Supondo-as em cima de uma cadeira com 0.5m, a altura total será N(2.25, 0.15)

opera es alg bricas simples97
Operações algébricas simples
  • Se multiplicarmos uma constante por uma variável aleatória
    • O valor médio vem multiplicado
    • O desvio padrão vem multiplicado pelo valor absoluto da constante
opera es alg bricas simples100
Operações algébricas simples
  • Ex.2.14. Um marceneiro tem 1000€/mês de despesas fixas e tem de margem das vendas, em média, 15€ por cada móvel que produz. Supondo que projecta produzir este mês 100 móveis, qual será a sua remuneração em termos médios?
  • R. Atendendo às propriedades, teremos

100 – 1000 = 100 15 – 1000 = 500€

ex 2 15
Ex.2.15
  • Um empresário está a avaliar o aluguer de um barco de pesca pelo qual paga 3mil€/dia.
  • Demora um dia de viagem para cada lado e pesca, durante 5 dias, 2500kg/dia
  • O preço de venda segue distribuição N(2,1)€/kg
  • Quanto será o lucro?
  • Qual a probabilidade de ter prejuízo?
ex 2 15102
Ex.2.15
  • O lucro será

52500N(2; 1) – 30007

=12500N(2; 1) – 21000

= N(25000; 12500) – 21000

= N(4000; 12500)

  • Em média 4mil€ com desvio padrão de 12.5mil€
  • A probabilidade de ter prejuízo será 37.45%, =NORMDIST(0;4000;12500;TRUE).
exerc cio103
Exercício
  • Compro os legumes a 0.50€/kg, pago 75€ pelo transporte e o preço de venda é desconhecido tendo distribuição N0.60; 0.15)€/kg.
  • i) Determine qual vai ser o meu lucro de intermediar 1000kg de legumes.
  • ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo.
exerc cio104
Exercício

i) Lucro = V.(Pvenda – Pcompra) – Ctransporte

= 1000[N(0.60, 0.15) – 0.50] – 75

Lucro = N(600, 0.15x1000) – 575 = N(25, 150)

ii) No Excel teríamos

A1: =Dist.Norm(0; 25; 150; Verdadeiro)  43.38%

exerc cio105
Exercício
  • Ex.2.16. O empresário A fez uma descoberta que lhe permite desenvolver um negócio cujo q de Tobin é N(1.5, 0.25) e onde é necessário investir 1M€.
  • Sendo que o empresário A vendeu ao empresário B metade do negócio por 625k€,
  • qual será o q de Tobin de A e de B?
exerc cio106
Exercício
  • R. A investe 375k€ que terá
  • B investe 625k€ que terá
ac es obriga es
Acções - obrigações
  • O Ex.2.16 ilustra porque é vantajoso o empreendedor emitir acções da sua empresa.
  • Uma acção é uma parte do capital próprio da empresa tendo, em termos contabilísticos, um certo valor nominal, normalmente 1€.
ac es obriga es109
Acções - obrigações
  • Por exemplo, uma empresa com um capital social de 10M€ divide-se em 10M de acções com valor nominal de 1€ cada.
  • A acção dá direitos de voto na condução dos destinos da empresa e é remunerada com uma parte dos lucros, o dividendo, que é incerto.
ac es obriga es110
Acções - obrigações
  • As acções têm maior risco que as obrigações porque, em caso de insolvência, os activos da empresa pagam primeiro as obrigações e apenas o que sobrar (i.e., nada) é que é dividido pelas acções.
  • Além disso, no contrato de emissão o resultado das obrigações é conhecido (o cupão e o valor de remissão) enquanto que o lucro da empresa é variável.
ac es obriga es111
Acções - obrigações
  • Interessa ao empresário dispersar o capital da empresa porque, normalmente, a empresa emite as acções, numa operação denominada por OPV (mercado primário), a um preço superior ao valor contabilístico.
  • As acções são depois transaccionadas entre investidores (mercado secundário) sendo o seu preço, denominado por cotação, determinado pela expectativa que os agentes económicos têm da evolução futura do negócio (i.e., dos dividendos e da cotação).
opera es alg bricas n o simples
Operações algébricas não simples
  • Se quisermos calcular um prémio de um seguro de vida em que a duração do individuo é uma variável aleatória, as operações algébrica não são simples:
opera es alg bricas n o simples113
Operações algébricas não simples
  • Cálculo expedito. Sendo que temos y = g(x), obtemos um valor aproximado da distribuição usando os dois pontos notáveis

x1 =  -  e x2 =  + 

  • Calculamos y1 = g(-) e y2 = g(+)
  • Valor médio = (y1 + y2)/2
  • Desv. padrão = (y2 - y1)/2
opera es alg bricas n o simples114
Operações algébricas não simples
  • Nas distribuições simétrica é indiferente usar
  • Valor médio = (g(-) + g(+))/2  g()
  • Nas distribuições assimétricas é melhor usar
  • Valor médio =(g(-) + g(+))/2
exerc cio115
Exercício
  • Ex.2.17. O prémio de um seguro de vida com r = 2%/ano, L ~ N(50, 10)
  • i) Determine qual devem ser as reservas Y/1000€ de forma a ter Y = (P) +(P).
  • ii) Se a seguradora propõe um prémio antecipado de 15€/ano por 1000€ seguros, qual será o seu lucro?
exerc cio116
Exercício
  • P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.
  • a seguradora precisará reservas com média (16.23+8.60)/2 = 12.42€/ano e desvio padrão |6.40+1.23|/2 = 3.82€/ano aconselhando a prudência a que as reservas sejam 12.42+3.82 = 16.23€/ano.
exerc cio117
Exercício
  • P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano.
  • Lucro(40) = 15–16.23 = –1.23€/ano;
  • Lucro (60) = 15–8.60 = 6.40€/ano.
  • Para uma longevidade genérica, o lucro do seguro terá
  • valor médio = (–1.23 + 6.40)/2 = 2.59€/ano
  • desvio padrão = (6.40+1.23)/2 = 3.82€/ano.
opera es alg bricas n o simples118
Operações algébricas não simples
  • Divisão em cenários. Já utilizamos esta abordagem (ex.2.8 + ex.2.11).
  • Divide-se o domínio da variável em cenários sendo conveniente utilizar a folha de cálculo.
  • Ao considerarmos intervalos mais pequenos, estamos a diminuir o “erro de cálculo”.
opera es alg bricas n o simples120
Operações algébricas não simples
  • C7: =NORMDIST(B7;C$2;C$3;TRUE)- NORMDIST(A7;C$2;C$3;TRUE)
  • D7: =(A7+B7)/2+0,5
  • E7: =F$1-H$1*F$2/(1-(1+F$2)^-D7)/(1+F$2)^(D7+1)
  • F7: =C7*E7
  • G7: =E7-F$40
  • H7: =G7^2*C7
  • C39: =SUM(C7:C38)
  • F40: =SUM(F7:F38)/$C39
  • H39: =SUM(H7:H38)/$C39
  • H40: =H39^0,5
m todo de monte carlo
Método de Monte Carlo
  • Método de Monte Carlo.
  • 1) Sorteamos vários valores para a variável de acordo com a sua função distribuição.
  • 2) Aplica-se o modelo aos “dados” e determina-se uma população de resultados possíveis.
  • Calcula-se o valor médio, o desvio padrão, faz-se um histograma, etc., dos resultados.

Tools + Data Analyses + Random Number Generation **

m todo de monte carlo122
Método de Monte Carlo

**Excel 2007

Instalamos o Data Analyses

Office Button + Excel Options

+ Add Ins + Excel Add Ins Go…

Depois, aparece em Data o Data Analysis

m todo de monte carlo125
Método de Monte Carlo
  • Quando dermos o R, veremos que o Método de Monte Carlo é de simples implementação
  • É muito flexível e poderoso
  • Permite determinar o “erro de cálculo”
compara o dos m todos
Comparação dos métodos
  • O método expedito, por usar apenas dois pontos notáveis, será o de menor grau de confiança
  • A divisão em cenários está dependente do detalhe dos cenários
  • O método de monte carlo está dependente do número de elementos extraídos
compara o dos m todos127
Comparação dos métodos
  • No caso do Ex.2.17
diversifica o do risco129
Diversificação do risco
  • O modelo estatístico ajuda a decidir num problema com risco
  • Podemos diminuir o risco juntando actividades – diversificando
  • Em termos estatísticos, são operações de soma de variáveis aleatórias.
diversifica o do risco130
Diversificação do risco
  • Em termos económicos trata-se de construir uma carteira de activos
  • “Não pôr os ovos todos no mesmo cesto”
  • Uma concretização negativa de um activo será estatisticamente compensada por uma concretização positiva de outro activo
diversifica o do risco131
Diversificação do risco
  • Por exemplo, na praia podemos vender gelados e gabardines.
  • Quando faz calor, a venda de gabardines dá prejuízo e a de gelados dá lucro
  • Quando chove, a venda de gabardines dá lucro e a de gelados dá prejuízo
  • Vender de ambos diminui o risco
duas vari veis
Duas variáveis
  • Divisão das variáveis em cenários
    • Probabilidades cruzadas
  • Já utilizamos no ex.2.5
  • O método é semelhante à situação em que temos uma variável estatística, mas agora serão cenários que envolvem a concretização de vários contingências.
exerc cio134
Exercício
  • Ex.2.18. Um pescador precisa decidir se vai pescar ou não.
  • Não sabe a quantidade que vai pescar nem o preço a que vai vender.
  • A intuição permite-lhe construir cenários e atribuir-lhes probabilidades.
  • De, em simultâneo, se verificar uma quantidade pescada (em kg) e um preço (em €/kg).
exerc cio136
Exercício
  • O pescador pode agora calcular a receita (em termos médios e desvio padrão) multiplicando a quantidade (do meio do intervalo) pelo preço (do meio do intervalo) e decidir ir pescar se, e.g., a receita média menos o desvio padrão for maior que os custos variáveis
exerc cio138
Exercício
  • B8: =$A8*B$7
  • F2: =B8*B2
  • H6: =SUM(F2:H5)
  • F8: =(B8-$H$6)^2*B2
  • H12: =SUM(F8:H11)
  • H13: =H12^0,5
decis o
Decisão
  • Depende agora dos custos fixos necessários para poder pescar. Se fossem, por exemplo, 500€ ficaria
  • Lucro médio = 61,50€
  • Des.Pa.lucro = 270,76€
  • Se a função objectivo fosse LM-DP = 61.50-270.76, não ia pescar por ser <0.
exerc cio141
Exercício
  • Ex.2.19. Uma empresa com 1000 trabalhadores pretende contratar um seguro de trabalho que dura 5 anos
  • O seguro, em caso de morte, paga 60 meses de salário à viúva.
  • Quanto deve ser o prémio mensal, antecipado?
exerc cio142
Exercício
  • R. Temos 3 variáveis desconhecidas,
  • a taxa de juro, a longevidade e o salário
  • Vamos supor que a seguradora assumiu 45 cenários, calculou as probabilidades de cada um e construiu um modelo no Excel.
  • Assume-se que a probabilidade de nos 5 anos o trabalhador morrer é 0,140%
exerc cio145
Exercício
  • K3: =I3*$O$2*H3/(1-(1+H3)^-G3)/(1+H3)
  • L3: =K3*J3
  • M3: =(K3-$L$52)^2*J3
  • L51: =SOMA(L3:L49)
  • M50: =SOMA(M3:M49)
  • M51: =M50^0,5
exerc cio146
Exercício
  • As reservas médias são de 4.91€ pelo que a seguradora tem lucro médio positivo com um prémio baixo, 6€/mês
  • Mas, este negócio tem um risco tão elevado (d.p.=166.85€/mês) para a seguradora que é inviável.
  • Apenas será possível se a seguradora conseguir diversificar este seguro.
    • Segurar os 1000 trabalhadores?
associa o entre vari veis fd
Associação entre variáveis - FD
  • No caso de termos duas variáveis aleatórias, além da F. Distribuição e dos parâmetros (valor médio e desvio padrão) que caracterizam cada uma das variáveis,
  • haverá um parâmetro para quantificar o grau de associação estatística entre as variáveis.
associa o entre vari veis fd148
Associação entre variáveis - FD
  • Por exemplo, nas calças são importantes a largura da cintura e a altura de perna do cliente que, na hora de fabrico, são desconhecidas.
  • Mas, num cliente aleatório, em média, quanto maior for a sua cintura, maior será a sua altura de perna.
  •  As calças de número maior são mais compridas
associa o entre vari veis fd149
Associação entre variáveis -FD
  • Covariância: é um parâmetro que condensa a associação entre duas variáveis estatísticas.
associa o entre vari veis
Associação entre variáveis
  • A covariância pode ser negativa, zero ou positiva.
  • É crescente com os desvios padrão das variáveis
  • A variância é um caso particular da covariância
associa o entre vari veis151
Associação entre variáveis
  • Coeficiente de correlação linear de Pearson,(x, y)
  • Retira à covariância o efeito dos desvios padrão
associa o entre vari veis152
Associação entre variáveis
  • Coeficiente de correlação linear está no intervalo [–1; 1]
  • Se for zero, as variáveis não estão associadas (linearmente).
  • Se for –1 ou 1, estão perfeitamente associados em sentido contrário ou no mesmo sentido, respectivamente.
associa o entre vari veis153
Associação entre variáveis
  • Propriedades da covariância e do coeficiente de correlação linear

i) A covariância (e o coeficiente de correlação linear) entre duas constantes ou entre uma variável e uma constante é zero

 (a, b) = 0; (a,X) = 0

associa o entre vari veis154
Associação entre variáveis

ii) Somando uma constante a uma das variáveis, a covariância e o coeficiente de correlação linear mantêm-se:

 (a+X,Y) = (X,Y);

(a+X,Y) = (X,Y)

associa o entre vari veis155
Associação entre variáveis

iii) Multiplicando uma das variáveis por uma constante, a covariância vem multiplicada e o coeficiente de correlação linear mantém-se (a menos do sinal e de ser zero):

 (a.X,Y) = a.(X,Y);

(a.X,Y) = sig(a). (X,Y)

associa o entre vari veis156
Associação entre variáveis

iv) A covariância e o coeficiente de correlação são comutativos:

 (X,Y) = (Y,X);

(X,Y) = (Y,X)

exerc cio157
Exercício

X~N(10;5), Y~N(-1;3), (X; Y) = 0.7

Determine

a)  (3X; 2Y) e (3X;2Y)

b)  (-X; 2Y) e (-X;2Y)

c)  (5-5X;-2-Y) e (5+5X;-2+Y)

exerc cio158
Exercício

 (X; Y) = 0.7*5*3 = 10.5

a)  (3X; 2Y)=3*2*10.5 = 63, (3X;2Y)=0.7

b)  (-X; 2Y)= -1*2*10.5 = -21,(-X;2Y)=-0.7

c)(5-5X;-2-Y) = -5*-1*10.5 = 52.5,

(5-5X;-2-Y) = -1*-1*0.7=0.7

soma de vari veis estat sticas
Soma de variáveis estatísticas
  • Até agora apenas somamos constantes com variáveis
  • É muito relevante no contexto da M.F. porque modeliza o comportamento estatístico das carteiras de activos partindo-se das propriedades individuais dos activos que a constituem.
soma de vari veis estat sticas161
Soma de variáveis estatísticas
  • Distribuição da soma de duas V.A.
  • Se as variáveis tiverem distribuição normal, então a soma também terá distribuição normal.
  • Se não tiverem, a soma será mais próxima da distribuição normal que as distribuições das parcelas.
  • A soma de + 30 variáveis aleatórias com distribuição desconhecida que sejam pouco correlacionadas, pode assumir-se que tem distribuição normal.
soma de vari veis estat sticas162
Soma de variáveis estatísticas
  • Média da soma.
  • Sendo que existem duas variáveis, X e Y,
  • a soma Z = X + Y terá como valor médio a soma dos valores médios de cada variável estatística.
soma de vari veis estat sticas163
Soma de variáveis estatísticas
  • Variância e desvio padrão da soma.
  • Sendo que existem duas variáveis, X e Y,
  • a soma Z = X + Y terá como variância a soma das variâncias de cada variável mais duas vezes a covariância.
nota sobre o planeamento do tempo lectivo
Nota sobre o planeamento do tempo lectivo
  • Faltou-me esta matéria que obrigou a usar a aula 7.
  • Para o ano será necessário reduzir um pouco a exposição para caber tudo nas 6 aulas
exerc cio165
Exercício
  • Ex.2.22. Um intermediário de legumes, quando encomenda desconhece o preço de aquisição e de venda dos legumes PC ~ N(0.50€/kg, 0.10€/kg).
  • PV ~ N(0.60€/kg, 0.15€/kg).
  • Tem que pagar 75€ pelo transporte.
  • A correlação linear entre o preço de compra e de venda é de 0.5
  • i) Determine qual vai ser o lucro de intermediar 1000kg de legumes.
  • ii) Determine a probabilidade de ter prejuízo.
exerc cio166
Exercício
  • Trata-se de operações algébricas com variáveis aleatórias.
  • Lucro = 1000(PV – PC) –75.

PV – PC = N(0.60, 0.15) – N(0.50, 0.10)

= N(0.10, (0.152+2(– 0.5)0.150.10+0.102))

= N(0.10, 0.1323)

Troca o sinal da correlação porque está a subtrair = *(-1)

exerc cio167
Exercício
  • 1000 N(0.10, 0.132) = N(100, 132.3)

N(100, 132.3) –75 = N(25, 132.3)

No Excel, =NORMDIST(0; 25; 132.3;TRUE)

Tem 42.5% de probabilidade de ter prejuízo

exerc cio168
Exercício
  • Ex.2.23. Duas acções, com rentabilidades X ~ N(5%; 5%)/ano e Y ~ N(10%, 7%)/ano e com correlação linear de 0.25.
  • Determine a rentabilidade de uma carteira com a proporção 0.5 de X e 0.5 de Y.
exerc cio169
Exercício
  • Z = 0.5X+0.5Y
  • (Z) = (0.5X)+ (0.5Y)

= 0.5(X)+ 0.5(Y)

= 0.5x5%+ 0.5x10%

= 7.5%/ano

exerc cio170
Exercício
  • Z = 0.5X + 0.5Y
  • 2(Z) = 2(0.5X)

+ 2 (0.5X, 0.5Y)

+ 2(0.5Y)

= (0.5x5%)2

+ 2x0.25x0.5x(0.5x5%)x(0.5x7%)

+ (0.5x7%)2

=0,0022875  (Z) = 4.78%

extens o soma de n vari veis
Extensão à soma de N variáveis
  • Se eu somar três variáveis, posso fazer
  • X+(Y+Z)
  • E retiro que
  • 2(X+Y+Z) =

= 2(X)+ 2(Y)+ 2(Z)

+ 2(X,Y)+2(X,Z) +2(Y,Z)

Facilmente estendo para N

extens o soma de n vari veis172
Extensão à soma de N variáveis
  • Ex.2.24. Uma empresa pretende lançar o seu produto em novos mercados.
  • Moscovo tem custo Cm  N(3, 0.5) e resultado actualizado das vendas Vm  N(7, 1)
  • São Petersburgo tem custo Csp  N(2, 0.6) e resultado actualizado das vendas Vsp  N(6, 2).
  • O lucro resulta de subtrair os custos ao resultado actualizado das vendas,
extens o soma de n vari veis173
Extensão à soma de N variáveis
  • Os coeficiente de correlação linear são
extens o soma de n vari veis174
Extensão à soma de N variáveis
  • i) Determine o lucro da representação de Moscovo e de São Petersburgo (separadas).
  • ii) Determine o lucro de abertura das duas representações (em conjunto).
extens o soma de n vari veis175
Extensão à soma de N variáveis
  • i) Lucro da representação (separadas).

Lm = Cm – Vm = N(7; 1) – N(3; 0.5)

= N(4, (12 +210.5(-0.5) + 0.52))

= N(4, 0.866)

Lsp = Csp–Vsp = N(6; 2) – N(2; 0.6)

= N(4, (22 +220.6(-0.5) + 0.62))

= N(4, 1.778)

extens o soma de n vari veis176
Extensão à soma de N variáveis
  • i) Lucro das representações juntas.

Lm = Cm – Vm + Csp–Vsp

= N(7; 1) – N(3; 0.5) + N(6; 2) – N(2; 0.6)

= N(8, (12 + 0.52 + 22 + 0.62 +

210.5-0.5+ 220.6-0.5 + 21 20.60.7))

= N(8, 2.59)

Para simplificar, só tenho 3 correlações diferentes de zero.

exerc cio177
Exercício
  • Ex.2.25. Um seguro de trabalho cobra um prémio de 6€/ano e obriga a seguradora a constituir como reservas F(4.91; 166.65)€/ano.
  • i) Supondo que os acidentes não estão correlacionados, determine o lucro por trabalhador de segurar 1, 100 trabalhadores e 1000trabalhadores.
exerc cio178
Exercício
  • L1 = P-R = 6- F(4.91; 166.65)

= F(1.09; 166.65)€/ano

  • L100 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/100 =

= N(109;  (100*166.652))/100

= N(1.09;16,67) €/ano

  • L1000 /100 = (L1 +L1 + … + L1)/1000 =

= N(1090;  (1000*166.652))/1000

= N(1.09;5,27) €/ano

exerc cio179
Exercício
  • ii) Supondo que quando há um acidente é provável que morra mais que um trabalhador. Assim, recalcule o lucro por trabalhador com a correlação entre as fatalidades assumida como 0.1
exerc cio181
Exercício
  • Quanto menos correlacionados estiverem os acontecimentos e maior número de acontecimentos misturarmos,
  • maior será a diminuição do risco e
  • mais a função distribuição resultante se aproxima da função distribuição normal.
exerc cio182
Exercício
  • Ex.2.26. O “Seguro de Invalidez”, ex.2.21, obriga a F(7.27, 351.65)€/mês de reservas por cada 500€/mês de indemnização. O prémio será o valor médio das reservas mais o desvio padrão.
  • Supondo que a invalidez dos trabalhadores não está correlacionada, determine o prémio em função do tamanho da carteira de seguros.
exerc cio183
Exercício

n = 100 P = 42.44€/mês;

n = 1000 P = 18.39€/mês;

n = 10000 P = 10.79€/mês.

diversifica o do risco e avalia o de projectos
Diversificação do risco e avaliação de projectos
  • A diversificação do risco pode tornar aceitáveis investimentos que avaliados de forma independente não seriam rentáveis (e.g., terem um VAL negativo).
  • Isso acontece quando o investimento tem uma correlação negativa com outros investimentos o que permite diminuir o risco do conjunto dos investimentos.
diversifica o do risco e avalia o de projectos185
Diversificação do risco e avaliação de projectos
  • Ex.2.27. Uma investidora tem a possibilidade de adquirir uma participação

1. C. de golfe com q =N(1.2; 0.2)

2. Emp. agrícola com q = N(0.9; 0.45).

Dá prejuízo

  • A correlação entre os negócios é de –0.9
  • Qual a proporção do investimento que minimiza a probabilidade de ter prejuízo.
exerc cio186
Exercício
  • D2: =DIST.NORM(1; B2; C2; VERDADEIRO)
  • E3: =1-E2
  • C5: =(E2*C2)^2+2*C2*E2*C3*E3*C4+(C3*E3)^2
  • B6: =E2*B2+E3*B3 D6: =C5^0,5
diversifica o do risco e avalia o de projectos187
Diversificação do risco e avaliação de projectos
  • Fiz um modelo no Excel e utilizei o solver para minimizar o risco.
  • Contra a lógica da análise individual, aplicando 27% do investimento na empresa não rentável e com risco elevado o meu risco de ter prejuízo diminui de 18.87% para 3.22%.
  • Reparar nas duas restrições do solver.
alavancagem
Alavancagem
  • Em termos patrimoniais, uma empresa pode ser dividida num
  • conjunto de destinos financeiros (os activos da empresa que têm determinada rentabilidade e podem ser recuperados) e
  • um conjugo de origens financeiras (os passivos da empresa que têm que ser remunerados e devolvidos).
alavancagem189
Alavancagem
  • Em termos contabilísticos, o valor de cada unidade de participação (i.e., cada acção ou cota) será a soma dos activos menos a soma dos passivos alheios (o capital alheio) a dividir pelo número de acções ou cotas que representam a empresa.
alavancagem191
Alavancagem
  • A diversificação do risco trata da gestão do risco na parte do activo (e.g., das aplicações financeiras)
  • A alavancagem trata da gestão do risco na parte do passivo (i.e., das origens dos recursos financeiros).
    • A proporção entre capitais próprios e alheios.
alavancagem192
Alavancagem
  • Os capitais próprios têm voto na condução da empresa enquanto que os capitais alheios não.
  • Em tese, as obrigações não têm risco porque, na liquidação, são pagas antes dos capitais próprios
  • Se a proporção de capitais próprios for pequena, as obrigações vêm o risco aumentado, exigindo o “mercado” uma taxa de juro maior.
exerc cio193
Exercício
  • Um projecto de investimento a 10 anos necessita de 10M€ de financiamento num projecto com TIR ~ N(15%, 15%)/ano.
  • Para uma relação de alavancagem de 4 para 1 (i.e., detém 2.5M€ de acções e emite 7.5M€ de obrigações a uma taxa de juro fixa de 10%/ano)
  • Determine o efeito da alavancagem na rentabilidade e risco dos capitais próprios.
exerc cio194
Exercício

A rentabilidade média e o risco dos capitais próprios aumentam.