Métodos numéricos para resolver uma EDO

1. Métodos numéricos para resolver uma EDO Neste texto serão estudados métodos de passos simples e passos múltiplos para resolver equação de primeira ordem. Nos de passos simples necessitamos apenas dos resultados de yk ,do passo anterior, para determinarmos a aproximação de yk+1. Enquanto que nos de passos múltiplos para determinarmos a aproximação y k+1 dependemos dos valores de y k, y k - 1 . . . .

2. Método de Euler O método de Euler para resolver EDO com condições iniciais é o método numérico mais simples. Ele consiste em aproximar a solução y ( x ), no sentido de uma linearização, por meio de suas tangentes, Figura 1. Considere o problema ou seja, são dados um ponto de partida, (x 0 , y 0), e uma direção a ser tomada, f ( x, y ) . Desejamos determinar y ( z ).

3. A interpretação geométrica da Figura 1 nos permite escrever a equação: F ’(x 0 ) = y’ (x0) = f (x0 , y 0) Fazendo x1 – x0 = h, vamos ter y1 = y0 + h f (x0 , y 0) ou Interpretação geométrica do Método de Euler Figura 1 y y1 y ( x )  y0  x h x0 z = x1 F(x 1) F(x 0) + F ’(x 0) (x1 – x0 ) (Taylor). Diremos, portanto, que y1F(x 1) = F( z ) Em verdade, estamos substituindo a função desconhecida y ( x ) por, simplesmente uma reta em todo intervalo [x0 ; z ] e calculando a imagem de z sobre ela o que pode ser uma aproximação ruim para y ( z ).

4. Método de Euler considerando dois subintervalos Figura 2 y y ( x ) y2 y1 y0 x h h z = x2 x0 x1 Podemos, porém, melhorar esta aproximação se subdividirmos o intervalo [x0 ; z ] em subintervalos de amplitude constante, genericamente chamada h, e como sabemos calcular a direção da função incógnita y ( x ) em cada ponto, substituiremos tal função por um segmento de reta, em cada um destes subintervalos. Estes segmentos terão a direção que ela (função) tem no início de cada dos subintervalos, Figura 2. Obtemos então: y i + 1 = yi + h f (xi , y i ), i = 0, 1, ... que vem a ser o método de Euler.

15. Métodos de passos Múltiplos Um método de passos simples determina a aproximação yk+1 em xk+1 = xk + h usando apenas o ponto de aproximação (xk , yk). Diferentemente deste, um método de passo múltiplo usa as informações de valores anteriores xk-1, xk-2, . . . , xk-m que são assumidos ser equidistantes para computar yk+1. O Método de Adams-Bashforth / Adams-Moulton é um método preditor - corretor como a fórmula modificada de Euler. A fórmula de Adams-Bashforth é dada por

16. yn+1 = yn + h / 24 (55yn’ - 59yn -1’ + 37yn -2’ - 9yn -3’), onde yn’ = f(xn , yn) Note que para calcular y4 yn -1’ = f(xn -1 , yn -1) precisamos conhecer y0 , y1, yn -2’ = f(xn -2 , yn -2) y2 e y3 . O valor de y0 é a yn-3’ = f(xn -3 , yn -3) condição inicial e os valores y1, y2 e y3 são calculados por um método como a fórmula de Runge-Kutta. Para n  3, como preditor, podemos levar o valor de yn+1 no corretor de Adams - Moulton e assim, obtermos

17. yn+1 = yn + h / 24 (9yn +1’ + 19yn ’ - 5yn -1’ + yn -2’), com yn+1’ = f (xn+1, yn+1*) Exemplo: Aplique o método de Adams-Bashforth / Adams-Moulton com h = 0,2 para obter uma aproximação de y(0,8) para a solução de y’ = x + y -1, y(0) = 1. Solução: Com um passo h = 0,2, y(0,8) será aproximado por y4. Inicialmente, aplicando o método de Runge-Kutta com x0 = 0, . y0 = 1 e h = 0,2 para obtermos: y1 = 1,0214; y2 = 1,0918 e y3 = 1,2221.

18. Como f (x,y) = x + y -1, temos y0’ = f (x0, y0) = f (0, 1) = ) + 1 - 1 = 0 y1’ = f (x1, y1) = 0,2 + 1,0214 - 1 = 0,2214 y2’ = f (x2, y2) = 0,4 + 1,0918 - 1 = 0,4918 y3’ = f (x3, y3) = 0,6 + 1,2221 - 1 = 0,8221 E assim, aplicando a fórmula de Adams-Bashforth, obtemos: y4 = y3 + 0,2 / 24 (55y3’ - 59y2 ’ + 37y1’ - 9y0’) = 1,4254. E para y4’ = f (x4, y4*) = 0,8 + 1,4254 -1 = 1,2254 Finalmente, y4 = y3 + 0,2 / 24 (9y4’ +19y3 ’ - 5y2’ + y1’) = 1,4255. (Valor exato é 1,4255)