Algunas rarezas de los números

1. Algunas rarezas de los números De Fermat a nuestros días Esteban di Tada

2. Teoría de números • Los griegos fueron de los primeros en estudiar los números por sus características como objetos matemáticos y no por su capacidad para medir otros cosas • Los nombres más conocidos son Pitágoras (Escuela pitagórica), Euclides, Eratostenes, Diofanto de Alejandría, Apolonio de Perga, Thales de Mileto

3. Thales Pitágoras Arquímedes Euclides

5. Arquímedes

6. Euclides

7. Newton Euclides

8. De Pitágoras a nuestros días • Luego de Pitágoras (500 AC) , Euclides (300 AC), Diofanto (250 AC) recién en 1600 DC Fermat descubre una serie de teoremas y enuncia una serie de conjeturas. Entre ellos el mas famoso el ultimo teorema de Fermat recientemente demostrado y la conjetura de la suma de cuatro cuadrados. • La conjetura de Bachet (1581-1639) de la suma de cuatro cuadrados demostrada en 1770 por Lagrange • Conjetura de Goldbach (1742) de la descomposición de los pares como suma de dos primos (Carta a Euler) • La conjetura de Waring (1736-1738)como una generalización del teorema de Lagrange. Para todo n existe un k=g(n) tal que todo entero es la suma de k potencias enésimas demostrado por Hilbert en (1909) • A partir de comienzos del siglo XX y hasta nuestros días las investigaciones han sido muy numerosas. Los números y, en particular los números primos, tienen, además, importancia económica

10. Pitágoras: Los números perfectos y amigos • Números perfectos son aquellos que son iguales a la suma de sus divisores propiostales como • 6=1+2+3 • 28=1+2+4+7+14 • 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 • Números amigos son los pares de números tales que uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro y viceversa • Pythagoras (500 AC) • 220=2^2*5*11 • 284=2^2*71

11. Otros números Amigos

12. Otros ejemplos más grandes • Pedersen 2003 • 116627260273622426670704811950343103488332295458784464835242446315448286006716741401830901755615547162624= 2^16*65543*536929279*282066837170927*149497683300793879*1199196214338989844846588218221893481765892668493256559 • 116629039891540693588026406591556963915638136947981387755655217384623948147217326705121886548319891685376= 2^16*1484008956492907099828927704703093577919588799*1199196211370994579713255113164450533225918589610229759

13. El teorema de Lagrange • Fermat (1601-1665) y Bachet (1581-1638) enunciaron que todo número entero es la suma de cuatro cuadrados • 21=52+12+12+22 • 5343=12+22+32+732 • 5343127=12+22+492+23112 • 5343127=12+22+492+23112 • 534312723311=1352+2532+11612+7309662

14. Como se demuestra • El producto de la suma de dos o cuatro cuadrados es una suma de dos o cuatro cuadrados respectivamente

15. Consecuencia • Por lo tanto dado el teorema fundamental de la aritmética que todo numero es un producto de números primos es solo necesario demostrar que todo número primo puede representarse como a lo sumo la suma de cuatro cuadrados perfectos

16. Todo número primo puede representarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos • El teorema es más fácil si el primo es de la forma p=4n+1. En este caso será la suma de a lo sumo dos cuadrados. Ejemplo 41 = 52 + 42 • En ambos casos el mecanismo de la demostración es encontrar primero cuatro cuadrados cuya suma sea igual a un múltiplo del número primo y luego ir transformando la ecuación hasta encontrar una solución

17. Esquema de demostración • Dado un numero primo p encontrar a , b y n tal que Sea p=31. La siguiente ecuación satisface las condiciones establecidas 82+112+12=186=6*31 52+62+42+42=93=3*31 62+42+12+32=62=2*31. 52+12+22+12=31

19. En su libro Meditationes Algebraicae Waring propuso una generalización del teorema de Lagrange de la suma de cuatro cuadrados. Conjeturó que para todo n existe un número g(n) tal que todo natural es la suma de g(n) potencias enésimas de números enteros y donde g(n) es solamente función de n. Waring estimó que g(2)=4, g(3)=9 y g(4)=19. En 1909 Hilbert probó la conjetura empleando identidades de integrales múltiples en un espacio de 25 dimensiones. Lagrange demostró que g(2) = 4. En 1909, Wieferich probó que g(3)=9. El problema de Waring

20. Algunos valores de g(n)

21. Densidad de Schnirelmann (Siglo XX) • La densidad de Schnirelmann de una secuencia de números se emplea para medir cuan densa es en relación con los naturales. • Intuitivamente se podría conjeturar que hay más números impares que cuadrados perfectos. Sin embargo ambos conjuntos son enumerables y por lo tanto existe una función biyectiva que los pone en correspondencia. Este concepto fue el introducido por Cantor en la teoría de conjuntos. Sin embargo la densidad de Schnirelmann no es equivalente al concepto de equipolencia. La densidad del conjunto de los cuadrados de los naturales, si bien es equipolente al conjunto de los naturales, tiene densidad nula.

22. Definición Sea . Se definirá donde el símbolo # denota la cardinalidad de un conjunto. Coloquialmente A(n) es la cantidad de elementos del conjunto A no mayores que n. La densidad de Schnirelmann se define como Nótese que se emplea ínfimo para garantizar la existencia de la densidad independientemente de la sucesión que se considere.

23. Ejemplo • A={1,2,3,6,7,8,9………… (A)=0.6

24. Otro ejemplo • A={1,5,9,13,…… (A)=0.25

25. Propiedades La densidad de Schnirelmann tiene las siguientes propiedades para

26. Suma directa A={1,3,4,7} B={2,3,8,9} Se define como suma directa al conjunto que se obtiene de sumar un numero de A con uno de B AB={3,4,5, 6,7,9,10, 11,12,13,15,16} Formalmente:

27. Teorema de Schnirelmann y Mann

28. Ejemplo Sea un conjunto A tal que (A)=0,17 Aplicando Por lo tanto Aplicando A es una base aditiva de orden 8

29. Bases Aditivas • El subconjunto A  N se llama base aditiva si satisface la condición • El menor valor de k se llama grado de la base. El teorema de Lagrange se puede enunciar: “El conjunto de los cuadrados de los enteros es una base aditiva de orden 4”

30. Ejemplos

31. Densidad de los Primos y sumas

32. Densidad de primos y suma de dos primos

33. La conjetura de Goldbach • La conjetura original de Goldbach, también llamada la conjetura de Goldbach ternaria, fue establecida en el año 1742 en una carta que le envió a Euler y en la que decía que “parece que todo número mayor que 2 es la suma de tres números primos”. Es de recalcar que Goldbach consideraba que el 1 era primo, convención que no se emplea actualmente. Posteriormente fue reestablecida por Euler esta conjetura por una más fuerte llamada “conjetura fuerte de Goldbach” que establece que todos los números positivos mayores o iguales a cuatro pueden ser representados como la suma de dos primos. En otras palabras dado un entero positivo n existen dos primos p,q tal que p+q=2n. Formalmente sería • El par (p,q) se lo conoce como la partición de Goldbach. • La editorial Faber and Faber ofreció un premio de 1.000.000 de dólares a quien demostrara la conjetura de Goldbach. Pero no hay que ponerse contento porque el plazo venció el 20 de marzo del 2002.

34. Las Particiones de Goldbach Si se definen los conjuntos Ra Dado que 20 = 1 + 19 = 3 + 17 = 7 + 13, los pares R20 ={(1,19),(3,17),(7,13)} Estos conjuntos constituyen una partición del conjunto de los primos y reciben el nombre de particiones de Goldbach. La función mide la cardinalidad de estos conjuntos

35. Justificación de la conjetura de Goldbach La función que mide la cantidad de números primos menores o iguales que n tiene una aproximación asintótica Si p+q=n entonces p=n-q. Si n es par ¿cuál es la probabilidad que n y q sean primos? Dada la expresión de sería

36. Justificación de la conjetura de Goldbach Si bien desde el punto de vista riguroso hay muchas fallas como por ejemplo suponer que el hecho que p y n-p sean primos son eventos estadísticamente independientes (Por ejemplo si n es impar luego n-p es impar y los números impares tienen más probabilidades de ser primos) da algo de luz sobre el problema. Puede demostrarse que el promedio de las diferentes formas en que se pueden sumar dos primos para dar n será que tiende a infinito para n tendiendo a infinito

37. Algunos comentarios • Es razonable pensar que las particiones de Goldbach son menos numerosas para los números impares ya que la suma de dos primos impares es un número par. Solo serán impares aquellos números primos en cuya suma aparezca un dos como sumando (único primo par). Esto nos lleva a otro de las curiosidades de los números: los primos gemelos y su conjetura

38. La conjetura de los números primos gemelos • Un par de números primos (p,q) tales que q =p+2 reciben el nombre de primos gemelos. • Se conjetura que existen infinitos primos gemelos pero no se ha podido demostrar aun. • Se conjetura que la función que los cuenta es

39. ( Números gemelos

40. Representación gráfica para n par

42. Que pasa con tres primos

46. Suma de cuatro primos

47. Suma de cuatro primos

48. FIN