html5-img
1 / 76

PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?. Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? Co si o tom myslel Aristoteles Descartes Newton Poincaré Mandelbrot Kdo ví. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?. Jak je ve fysice definována dimense prostoru ?.

orrin
Download Presentation

PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

  2. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? • Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? • Co si o tom myslel • Aristoteles • Descartes • Newton • Poincaré • Mandelbrot • Kdo ví . . .

  3. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? • Který prostor máme na mysli? • náš přirozený prostor, ve kterém žijeme • od toho odvozený prostor jako filosofická kategorie • prostor ve fysice • … vlastně prostoročas je 3 + 1 • … nesmí nás omýlit formální přístup k prostorům všeho druhu v analyt. mechanice, statistice, kvantové fysice • … prostorové souřadnice jsou privilegované i v kvantovém kontextu: tvar Lagrangiánu, pozorovatelných; kalibrační pole

  4. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? • A je vůbec trojrozměrný ? • Nebo je 3 + X? • Možnosti: • vnoření do vyšší dimense • "svinuté dimense" • opravdu jiná kartézská dimense • Který prostor máme na mysli? • náš přirozený prostor, ve kterém žijeme • od toho odvozený prostor jako filosofická kategorie • prostor ve fysice • … vlastně prostoročas je 3 + 1 • … nesmí nás omýlit formální přístup k prostorům všeho druhu v analyt. mechanice, statistice, kvantové fysice • … prostorové souřadnice jsou privilegované i v kvantovém kontextu: tvar Lagrangiánu, pozorovatelných; kalibrační pole

  5. ve fysice otázka nejtěžší, špatně definovaná PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? • Který prostor máme na mysli? • náš přirozený prostor, ve kterém žijeme • od toho odvozený prostor jako filosofická kategorie • prostor ve fysice • … vlastně prostoročas je 3 + 1 • … nesmí nás omýlit formální přístup k prostorům všeho druhu v analyt. mechanice, statistice, kvantové fysice • … prostorové souřadnice jsou privilegované i v kvantovém kontextu: tvar Lagrangiánu, pozorovatelných; kalibrační pole • A je vůbec trojrozměrný ? • Nebo je 3 + X? • Možnosti: • vnoření do vyšší dimense • "svinuté dimense" • opravdu jiná kartézská dimense

  6. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

  7. CO KDYBY NEBYLPROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

  8. CO KDYBY NEBYLPROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? NEWTONŮV

  9. ČÁST I.VYMEZENÍ NAŠÍ OTÁZKY • Přirozený pojem prostorové dimense • Různé geometrické definice dimense používané ve fysice • Newtonův prostor jako limita v (c G) schématu • Newtonův prostor jako strukturní rámec meso světa • Kaluza – Klein a dál • Vnoření do vícerozměrného prostoru • Flatlandy všeho druhu

  10. Přirozený pojem prostorové dimense • Přirozený svět je trojrozměrný • Žijeme na Zemi: jdu na čtyři světové strany, nad sebou mám zenit, pod nohama nadir. • Tak i v knize Genese: Původní chaos se rozdělí na Zemi a Nebe. Abelův dým stoupá vzhůru, Kainův se rozlévá při zemi. • Jak se Dasein vztahuje ke světu: Od sebe postupuje k horizontu (radiálně), přitom volí směr vpravo-vlevo a nahoru-dolů. • Rozumíme čarám a plochám: uzavřená plocha má vnitřek a vnějšek, jako měchy na víno. • Tělesným smyslem ovládáme tři rotační osy: Valentovy vruty na snowboardu. • Vestavitelství: prostor k prodlévání vymezen rovinami stěn průčelních a bočních, stropů a podlah. Jejich průnik vytváří kouty … předobraz Descartova trojhranu . • Co do přirozeného světa nepatří • Homogenita prostoru, která znamená nekonečnost – opak prostoru k pobývání. • Isotropie prostoru: náš přirozený prostor má privilegovaný směr – vertikálu. • Tomu nás naučil až Newton

  11. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

  12. } ve čtverci DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense • Běžná představa o fysice i mezi fysiky: • úsečka x interval [0,1] • čtverec [x,y] kartézský součin • [0,1][0,1] • Škoda, že to tak není • [0,1] [0,1]  [0,1]Cantor • POSTUP NA PŘÍKLADU • x = 0.7391564428… • y = 0.1564873921… • x1= 0.71359614586743492281… na úsečce Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

  13. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense • Běžná představa o fysice i mezi fysiky: • úsečka x interval [0,1] • čtverec [x,y] kartézský součin • [0,1][0,1] • Škoda, že to tak není • [0,1] [0,1]  [0,1]Cantor • Spojitá křivka vyplní čtverec Peano Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

  14. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense Běžná představa o fysice i mezi fysiky: úsečka x interval [0,1] jeden vektor base jedna dimense čtverec [x,y] kartézský součin [0,1][0,1] dva vektory base dimense = 2 e xe Menger – Urysohn metrické prostory xe + ye' EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE e' Fraktální dimense e

  15. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense Běžná představa o fysice i mezi fysiky: úsečka x interval [0,1] jeden vektor base jedna dimense čtverec [x,y] kartézský součin [0,1][0,1] dva vektory base dimense = 2 e xe Menger – Urysohn metrické prostory xe + ye' EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE … toto funguje e' Fraktální dimense e

  16. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

  17. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense Bohužel nemáme na ni čas Ta je z přirozeného světa Používané pojmy: sousedství, překryv a pokrytí oddělení, hranice souvislost, spojitost, cesta Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

  18. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Menger – Urysohn metrické prostory Různé cesty k definici dimense se sejdou Eukleidovská dimense n n ineárně nezávislých vektorů (vektorový prostor) n ortogonálních směrů (definován skalární součin) n kartézských složek + Pythagorova věta (Eukleidova metrika indukov. skalár. souč.) n (+ 1) nadkoulí se protíná v bodě ("methoda GPS") EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

  19. Newtonův prostor jako limita Otázku o úloze dimense pojímám ve smyslu ANTROPICKÉHO PRINCIPU Ptáme se, zdaby n-rozměrný svět byl pro nás obyvatelný. Proto stačí pohled na svět přístupný naší zkušenosti. G TOE OTR STR c-1 QMQFT  3 + 1 prostoro-čas v (cG )schématuse jedná o nerelativistickou limitu

  20. Newtonův mesosvět • NEWTONOVA KOSMOLOGIE (sekularisovaná varianta) • Vykročení do kosmu: universální gravitační zákon jablko • Most mezi "nebem" a Zemí - jeden ze svorníků novověké vědy • Ptačí perspektiva vede k Newtonově koncepci prostoru • Aplikována na Solární systém (empirická oblast astronauti ) • Vnější horizont Newtonova kosmu • "Oblast vzdálených hvězd" … ty fixují absolutní prostor • Vnitřní horizont Newtonova kosmu • Struktura a nemechanické vlastnosti hmoty • Jemný dech pronikající částicemi látek • … et hypotheses non fingo. Newton alchymista • Pro dnešního člověka je to součást přirozeného světa

  21. Jak přidávat prostorové dimense • JE NĚKOLIK MOŽNOSTÍ • Kaluza – Klein a dál (submikrosvět) • Přidané dimense jsou skryté, svinuté • Od Kaluzy přes Rumera po dnešní superstringy • Otázka: proč se na rozlehlé chtějí rozvinout zrovna 3? • Vnoření do vícerozměrného prostoru (megasvět) • Zakřivené prostory, červí díry a jiné exoty •  za horizontem Newtonova kosmu

  22. Jak přidávat prostorové dimense • JE NĚKOLIK MOŽNOSTÍ • Vnoření do vícerozměrného prostoru (megasvět) • Zakřivené prostory, červí díry a jiné exoty • Kaluza – Klein a dál (submikrosvět) • Přidané dimense jsou skryté, svinuté • Od Kaluzy přes Rumera po dnešní superstringy • Otázka: proč se na rozlehlé chtějí rozvinout zrovna 3? • Vnoření do vícerozměrného prostoru (mesosvět) • Čtvrtá dimense velmi populární kolem r. 1900 (Hinton) • Náš prostor je 3D nadrovinou, kterou nemůžeme opustit. • Zato nadpřirozené bytosti snadno intervenují "zvenku". • Jejich lidští spřeženci triviálně vykrádají 3D tresory. • Prosté přidání Eukleidovské dimense V "lidských" měřítcích Newtonova kosmu

  23. Jak přidávat prostorové dimense • JE NĚKOLIK MOŽNOSTÍ • Kaluza – Klein a dál (submikrosvět) • Přidané dimense jsou skryté, svinuté • Od Kaluzy přes Rumera po dnešní superstringy • Otázka: proč se na rozlehlé chtějí rozvinout zrovna 3? • Vnoření do vícerozměrného prostoru (megasvět) • Zakřivené prostory, červí díry a jiné exoty • Vnoření do vícerozměrného prostoru (mesosvět) • Čtvrtá dimense velmi populární kolem r. 1900 (Hinton) • Náš prostor je 3D nadrovinou, kterou nemůžeme opustit. • Zato nadpřirozené bytosti snadno intervenují "zvenku". • Jejich lidští spřeženci triviálně vykrádají 3D tresory. • Prosté přidání Eukleidovské dimense •  naše cesta

  24. ČÁST II.FYSIKA V PROSTORU En Rn • Geometrie Rn. Tvar fysikálních zákonů v Rn. • Gravitační zákon • Pohyby planet – Keplerova úloha • Coulombův zákon. Fundamentální konstanty c G e' , rozměrová analysa • Vodíkupodobný atom – Bohrova teorie • Vodíkupodobný atom – nerelativistická kvantová teorie • Vlnové šíření a Huyghensův princip Rekapitulace. Privilegované postavení dimense 3.

  25. Geometrická struktura Rn toto budeme zkoumat • malé celočíselné dimense • homogenní a isotropní: dvě odlišné vlastnosti • homogenita  translační invariance • translační grupa … • isotropie  rotační invariance • rotační grupa … • objem a povrch koule • parita vůči prostorové inversi Flatlandy jednotlivé 1D směry, komutativní, jednorozměrné representace } Rozdílnost sudých a lichých dimensí

  26. Geometrická struktura Rn Rozdílnost sudých a lichých dimensí • objem a povrch koule • parita vůči prostorové inversi Jen pro n lichá mění orientaci prostoru

  27. Od prázdného Rnk prostoru fysikálnímu PODSTATA CELÉHO POSTUPU: • Sama geometrie nemůže rozhodnout • Do prostoru vneseme hmotu a necháme ji „žít“ • Konstruujeme universum rozšířením dimense z 3 na n • Fysikální jevy se řídí zákonitostmi, které jsou obecné, tj. • společné všem dimensím • Jejich tvar někdy na dimensi nezávisí, někdy ano • Pro každou dimensi tak předpovíme konkrétní podobu jevů, ovlivněnou geometrickou strukturou Rn • To porovnáme s empirií a s obecnými antropickými kriterii

  28. Fysikální zákony v Rn VYBEREME KLÍČOVÉ FYSIKÁLNÍ PROCESY A JEVY • Galileiho relativita • Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám • konservativní síly: ZZE v potenciálním poli • Pole a zdroje • Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice • Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti

  29. Fysikální zákony v Rn • Galileiho relativita • Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám • konservativní síly: ZZE v potenciálním poli • Pole a zdroje • Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice • Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti

  30. Fysikální zákony v Rn • Galileiho relativita • Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám • konservativní síly: ZZE v potenciálním poli • Pole a zdroje • Silové pole vyvěrá z "nábojů", v prázdnu se počet siločar nemění • (Faraday); Laplaceova a Poissonova rovnice • Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice • Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti

  31. Fysikální zákony v Rn • Galileiho relativita • Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám • konservativní síly: ZZE v potenciálním poli • Pole a zdroje • Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice • Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti Monochrom. rovinná vlna má vlnový vektor a frekvenci. Předpokládáme bezdispersní vlny Připojíme princip superposice a dostáváme vlnovou rovnici

  32. Fysikální zákony v Rn • Galileiho relativita • Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám • Konservativní síly: ZZE v potenciálním poli • Pole a zdroje • Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice • Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti • Kvantování po složkách nezávisí na dimensi. • Buď z homogenity prostoru rovnou • Nebo předepíšeme kanonické komutační relace Odtud Hamiltonián

  33. Gravitační zákon v Rn • Tento problém je • výchozí pro ostatní úlohy • historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) • Převezmeme z 3D: • Náboje jsou hmotnosti • Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) • Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální • Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. • Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: • Pro hmotný bod v počátku dostáváme

  34. Gravitační zákon v Rn • Tento problém je • výchozí pro ostatní úlohy • historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) • Převezmeme z 3D: • Náboje jsou hmotnosti • Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) • Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální • Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. • Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: • Pro hmotný bod v počátku dostáváme

  35. Gravitační zákon v Rn • Tento problém je • výchozí pro ostatní úlohy • historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) • Převezmeme z 3D: • Náboje jsou hmotnosti • Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) • Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální • Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. • Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: • Pro hmotný bod v počátku dostáváme

  36. Gravitační zákon v Rn • Tento problém je • výchozí pro ostatní úlohy • historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) • Převezmeme z 3D: • Náboje jsou hmotnosti • Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) • Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální • Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. • Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: • Pro hmotný bod v počátku dostáváme

  37. Gravitační zákon v Rn • Tento problém je • výchozí pro ostatní úlohy • historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) • Převezmeme z 3D: • Náboje jsou hmotnosti • Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) • Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální • Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. • Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: • Pro hmotný bod v počátku dostáváme

  38. Gravitační zákon v Rn

  39. Gravitační zákon v Rn • Máme • Z toho dostaneme • Zavádí se tu gravitační konstanta G, která závisí rozměrově na dimensi n. • Newton zápolil se dvěma problémy: gravitační síla vně sférické • slupky a uvnitř slupky. První měla být stejná jako od hmotného • bodu, druhá nulová. Z Gaussovy věty dostaneme obojí okamžitě. • Tím jsou vyloučeny jiné interakční potenciály (skoro). Rozhodně • potenciál 1/r pro n>3. zavedení hmotného bodu nulový gravitační účinek sféry vzdálených hvězd

  40. Planetární pohyby v Rn • Pro libovolné n je pohyb v poli silového centra řešen stejně: • je planární (síla působí v rovině dané průvodičem a okamžitou rychlostí) • zachovává moment hybnosti (2. Keplerův zákon) • zachovává energii • V rovině pohybu … polární souřadnice . Pak Všechno závisí na , jeho prostřednictvím vstupuje i dimense. Pro n= 1, 2 jsou všechny pohyby finitní. Pro n= 3, 4, 5 … zajímavé chování

  41. Planetární pohyby v Rn • Dvě cesty • A. Úplné řešení kvadraturami (jako v učebnici) • Dovoluje podrobně charakterisovat finitní trajektorie: • jsou periodické? (jak to známe z obyč. 3D Keplerovu úlohy) • nebo vícenásobně periodické, nebo chaotické? • nebo mají ráz „pádu na centrum“? B. Kvalitativní diskuse radiálního pohybu (efektivní 1D úloha) Efektivní potenciál

  42. Planetární pohyby v Rn • Dvě cesty • A. Úplné řešení kvadraturami (jako v učebnici) • Dovoluje podrobně charakterisovat finitní trajektorie: • jsou periodické (jak to známe z obyč. 3D Keplerovu úlohy) • nebo vícenásobně periodické, nebo chaotické • nebo mají ráz „pádu na centrum“? B. Kvalitativní diskuse radiálního pohybu (efektivní 1D úloha) Efektivní potenciál

  43. Planetární pohyby v Rn Příklady Ueff a klasicky dostupných oblastí n=3 n=4 n=5 r0 nulový bod Ueff

  44. Planetární pohyby v Rn Jak dopadnou trajektorie n=3 n=4 n=5 r0 nulový bod Ueff ? ? ? Pád na centrum pro záporné kladné podbariérové nadbariérové energie Keplerovy elipsy hyperboly

  45. Planetární pohyby v Rn Výsledek pro Keplerovu úlohu v Rn Dimense 3 „normální situace“ Rozptylové trajektorie pro E>0, finitní trajektorie pro 0>E>min(Ueff); kruhová při minimu. Dimense 4 Mezní, podivná. Nemá char. délku. Ueffje monotonní. Buď kladný, ryze repulsivní; trajektorie doletí do perihelu a odrážejí se zpět do nekonečna. Nebo všude záporný a klesající. Rozptylové i vázané traj. odpovídají nárazu na centrum nekonečnou rychlostí. Dimense 5 Kruhová trajektorie při maximu Ueffje nestabilní; má kladnou energii. Finitní dráhy mají ráz „pádu na centrum“. Podobně i vyšší dimense. Zhoubné důsledky pro lidstvo v takových podmínkách.

  46. Coulombův zákon v Rn Elektrostatika vs. gravitace v Rn Jen dimense n=3, 4, 5 … Stejné Silové pole a jeho zdroje (původní Faradayovy siločáry byly elst.) Jiné Náboje Q nejsou úměrné hmotnostem m. Zavedu přímo veličiny jim úměrné, Q’, jak vystupují v silovém zákonu (poučení ze soustavy SI). Fysikální rozměr těchto nábojů závisí na prostorové dimensi Coulombův zákon Elementární náboj vRn Směřujeme k atomistice; postulujeme elementární náboj elektronu e’.Také jeho fysikální rozměr závisí na prostorové dimensi. O jeho hodnotě nemáme jak uvažovat.

  47. Fundamentální konstanty. Rozměrová úvaha v Rn Fundamentální konstanty v Rn Bezrozměrná konstanta v Rn • Jsou nutné všechny 4 • Pro n≤4 vždy jedna vypadne • Pro n≥5 naopak všechno propojeno • Náš svět n=3 • gravitace odpojena od ostatních jevů • QED:

  48. Přirozené jednotky v Rn Přirozené soustavy jednotek v Rn Atomové jednotky v Rn • Inspirace od Bohra(1913) Rozměrová úvaha  relevantní veličiny • Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii • Výsledek

  49. Přirozené jednotky v Rn Přirozené soustavy jednotek v Rn • n=3 ... známý výsledek • n=4 ... postup neplatný: • neexistuje charak- • teristická délka • n≥5 ... „opačná“ závislost • na Planckově • konstantě, ... Atomové jednotky v Rn • Inspirace od Bohra(1913) • Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii • Výsledek

  50. Bohrova teorie vodíku v Rn • Postup podle Bohra použit Ehrenfestem • Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii Klasická podmínka odstř. síla= dostř. síla

More Related