Teorija verovatnoća - PowerPoint PPT Presentation

teorija verovatno a n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Teorija verovatnoća PowerPoint Presentation
Download Presentation
Teorija verovatnoća

play fullscreen
1 / 34
Teorija verovatnoća
418 Views
Download Presentation
konane
Download Presentation

Teorija verovatnoća

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Teorija verovatnoća

  2. Skupovi elementarnih ishoda i dogadjaji • Verovatnoće • Uslovne verovatnoće • Teorema potpunosti • Bajesova formula

  3. Skupovi elementarnih ishoda i dogadjaji • Skup svih mogućih ishoda predstavlja prostor elementarnih dogadjaja i obično se predstavlja sa Ω • Primer: Iz špila karata izvlačimo na slučajan način jednu kartu. Skup predstavljaju sve karte u tom špilu

  4. Dogadjaj predstavlja podskup nekog skupa i obično se predstavlja velikim štampanim slovom. • Primer: Dogadjaj može biti parna karta (sve karte sa parnim brojem), sve karte veće od 9 (10, žandar, dama...), svi žandari... • Dogadjaj se realizuje ili ostvaruje ako se realizuje neki ishod koji pripada tom podskupu (dogadjaju) • Primer: Ako smo iz špila izvukli 10ku u trefu realizovao se dogadjaj Tref. Takodje se realizovao dogadjaj Parna karta

  5. Ako neki dogadjaj C predstavlja realizaciju dogadjaja A i dogadjaja B to predstavljamo C = A ∩ B ili C=AB Primer: (Kralj u trefu) = (Kralj) ∩ (Tref) • Ako neki dogadjaj C predstavlja realizaciju dogadjaja A i/ili dogadjaja B C =A ∪ B Primer: (Karta sa crnim znakom) = (Tref) ∪ (Pik)

  6. Ukoliko realizacija jednog dogadjaja isključuje realizaciju drugog (nemaju zajednički presek) kažemo da su ti dogadjaji medjusobno isključivi

  7. Medjusobno neisključivi dogadjaji

  8. Verovatnoće slučajnih dogadjaja • Verovatnoća nekog slučajnog dogadjaja predstavlja stepen mogućnosti njegove realizacije • Verovatnoća dogadjaja A se predstavlja P(A) P(tref)=1/4 • Verovatnoća P(AB) jeste verovatnoća realizacije dogadjaja A i B P(kralj ∩ tref)=1/52

  9. Ako su neki dogadjaji A i B isključivi onda važi sledeće: • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) • P(žandar ∪ dama) = P(žandar) + P(dama) 8/52=4/52+4/52

  10. Uslovne verovatnoće • Ako smo izvukli kartu bez gledanja koja je verovatnoća da smo izvukli kralja u trefu? • 1/52 • Ako nam drug koji gleda u kartu da informaciju da je karta sa slikom (žandar,dama,kralj) koja je onda verovatnoća da je izvučena karta kralj u trefu? • 1/12

  11. Verovatnoća da će se realizovati neki dogadjaj A pod USLOVOM da se realizovao neki dogadjaj B se predstavlja P(A│B) • P(kralj u trefu│karta sa slikom)= 1/12 • P(kralj u trefu│neparna karta)=? • P(parna karta│10ka)=?

  12. Za uslovne verovatnoće važi sledeća jednakost • P(A│B)=P(AB)/P(B) ili • P(AB)=P(A│B)*P(B) • P(kralj ∩ tref)=P(kralj│tref)*P(tref) • 1/52=(1/13)*(1/4)

  13. Za dogadjaje A i B kažemo da su nezavisni ako • P(AB)=P(A)*P(B) odnosno • P(A│B)=P(A) • P(kralj│tref)=P(kralj)=1/13 Dogadjaji Kralj i Tref su medjusobno nezavisni

  14. Teorema potpunosti • Ako neki isključivi dogadjaji A i B čine ceo skup onda važi sledeće: • P(A∪B) = P(A)+P(B) = 1 • P(parne karte∪neparne)=P(parne)+P(neparne)

  15. Teorema potpunosti: • Ako medjusobno isključivi dogadjaji A i B čine ceo skup Ωi neka je dat neki dogadjaj C koji je takodje deo skupa Ωonda važi sledeće: • P(C)=P(C│A)*P(A)+P(C│B)*P(B)

  16. Bajesova formula • P(AB)=P(A│B)*P(B)=P(B│A)*P(A) • Odakle sledi: • P(A│B)=P(B│A)*P(A)/P(B) ili • P(B│A)=P(A│B)*P(B)/P(A)

  17. Bajesovo drvo odlučivanja

  18. Preduzeće “Majica trade” bavi se prodajom šaljivih majica • Menadzment preduzeća razmišlja da li da lansira nove proizvode na tržište • Na osnovu iskustva i intuicije rukovodećih ljudi svaki novi projekat majice ima verovatnoću uspeha realizacije na tržištu 0,5 ili P(U)=0,5 i P(N)=0,5

  19. Preduzeće ima pred sobom 3 mogućnosti • Da donese samo odluku o tome da li lansirati novi proizvod ili ne • Potražiti pomoć od agencije za istraživanje tržišta “Kleopatra d.o.o.” koja daje sa sigurnošću predvidja budućnost • Potražiti pomoć od agencije za istraživanje tržišta “Mo žea nem orabiti d.o.o.”

  20. Pretpostavimo da preduzeće hoće da lansira 100 novih majica i da za svaku važe isti uslovi neizvesnosti P(U)=0,5 i P(N)=0,5

  21. Uspeh 0,5 2 $ Lansirati Neuspeh 0,5 -1 $ Slučaj 1) Ne lansirati 0 $ Drvo odlučivanja – preduzeće samo odlučuje

  22. Očekivana vrednost profita ukoliko lansiramo sve majice (vrednost koja će se u proseku realizovati) za svaku pojedinačnu majicu je: • OV = Pfu·P(U)+Pfn·P(N) = = 2$·0,5 + -1$·0,5 = = 0,5$ • Svaka druga majica će doživeti uspeh dok će ostale zabeležiti gubitak što znači da ćemo u proseku imati profit od 0,5$ po majici ukoliko lansiramo sve majice

  23. Ukoliko se odlučimo da uopšte ne lansiramo majice očekivani profit je 0$ • Stoga će se preduzeće odlučiti da lansira majice i ostvari pozitivan profit od 0,5$ po majici

  24. Agencija Kleopatra d.o.o. • Ukoliko bi izbacili na tržište samo one majice za koje znamo 100% da će doživeti uspeh koliko smo spremni da platimo za tu/te informaciju/je • Preduzeće zna da će 50% majica doživeti uspeh ali ne zna kojih 50% i tu nastupa Agencija Kleopatra

  25. Budući da bi izbacili na tržište samo uspešne majice imali bismo 50 majica koje bi ostvarile dobitak od po 2$ dok ostalih 50 ne bi izašle na tržište pa stoga bi donosile profit 0$ • Očekivani profit za pojedinačnu majicu: • 0,5*2$+0,5*0$=1$

  26. U odnosu na situaciju kada preduzeće samo odlučuje (lansira proizvod) imamo razliku od 0,5$=1$(Kleopatra)-0,5$(Sami odlučujemo) • To je ujedno i maksimalna suma koju bi preduzeće trebalo da plati ovoj agenciji

  27. Agencija za istraživanje tržišta “Mo žea nem orabiti d.o.o.” • Na osnovu iskustva znamo da ova agencija u slučaju uspešnih proizvoda donosi pozitivnu odluku o lansiranju sa verovatnoćom 0,8 • P(Poz│U)=0,8 iz toga sledi • P(Neg│U)=0,2

  28. Takodje kod neuspešnih proizvoda preduzeće to konstatuje u 0,9 slučajeva. Dakle • P(Neg│N)=0,9 iz toga sledi • P(Poz│N)=0,1

  29. 0,5 U 2 $ Lansirati OV = 0,5 $ N 0,5 -1 $ ??? U 2 $ Lansirati OV = ??? N ??? -1 $ ??? poz. OV =??? Ne lansirati 0 $ Test koncepta OV = ??? ??? U 2 $ Lansirati OV = ??? N ??? -1 $ ??? neg. OV = ??? Ne lansirati 0 $ Ne lansirati 0 $

  30. Verovatnoće pozitivnog i negativnog testa koncepta P(Poz) = = P(PozU) · P(U) + P(PozN) · P(N) = = 0,8 · 0,5 + 0,1 · 0,5 = 0,45 P(Neg) = = P(NegU) · P(U) + P(NegN) · P(N) = 0,55

  31. Verovatnoće uspeha i neuspeha sa testom • Bajesova teorema (Bajesova teorija odluč.) P(UPoz) = P(PozU) · P(U) /P(Poz) = = 0,8 · 0,5 / 0,45 = 0,89 P(NPoz)= P(PozN) · P(N) /P(Poz) = 0,11 P(UNeg) = P(NegU) · P(U) /P(Neg) = = 0,2 · 0,5 / 0,55 = 0,18 P(NNeg) = P(NegN) · P(N) /P(Neg) = 0,82

  32. 0,5 U 2 $ Lansirati OV = 0,5 $ N 0,5 -1 $ 0,89 U 2 $ Lansirati OV = 1,67 $ N 0,11 -1 $ 0,45 poz. OV = 1,67 $ Ne lansirati 0 $ Test koncepta OV = 0,75 $ 0,18 U 2 $ Lansirati OV = -0,46 $ N 0,82 -1 $ 0,55neg. OV = 0 $ Ne lansirati 0 $ Ne lansirati 0 $

  33. Kolika je vrednost testa koncepta? • Očekivana vrednost alternative “sa testom koncepta” iznosi: OV = 0,75 $ • Očekivana vrednost alternative “lansirati” iznosi: OV = 0,5 $ • Razlika iznosi 0,25 $ • To je vrednost koju najviše treba da platimo agenciji “Mo žea nem orabiti d.o.o.”