Théorie de l’agrégation

1. Théorie de l’agrégation Principaux résultats

2. Plan • Contexte • Définitions • Résultats (+ exemples) • Possibilités et limites • Perspectives • Discussion

3. I.Contexte

4. Historique • Economie (Ijiri, 1971) • Conservation des flux (O’Neill & Rust, 79) • Ecologie (Luckyanov, 81) • Contrôle optimal (Sinha & Kuszta, 83)

5. Quelques exemples • Echelles spatiales différentes • Echelles temporelles différentes • Sous-groupes écosystème ~découplés

6. Exemple a d I2 I1 x1 x2 I1+I2 x1+x2 k Conditions d’agrégation parfaite : - a = d - x1(0)=x1() ou x2(0)=x2()

7. II.Définitions

8. Agrégation f • X = (X1, … ,Xn) • Y = (Y1, …, Ym) • =(g1(X1,…,Xn),…,gm(X1,…Xn)) m<n f(X) X ~ g g ? F F(Y) Y

9. Exemples • Système différentiel : • f(X)=dX/dt • F(Y)=dY/dt • Système dynamique : • f(X(0))=X(t) • F(Y(0))=Y(t)

10. Agrégation parfaite ? •  , F(Y)=F(g(X)) = (f(X))

11. III.Résultats

12. Cas linéaire • Modèle linéaire : • Y=g(X) =BX ; • X’=f(X)=AX ; • Y’= F(Y)= DY = BAX ?

13. Théorème •  AMn  Pm(AT), • B={Pm(i), i  I}  Mm,n • transformation linéaire agrégative • (système ordre n  système ordre m)

14. Séparabilité linéaire • Définition : (x1,..,xp)->y1 • Théorème : possible s’il existe des colonnes linéairement dépendants, de A.

15. Algor. de séparabilité linéaire • Trouver la matrice la plus ‘proche’ qui permette l’agrégation parfaite • Calcul itératif

16. Cas non linéaire • f, g “quelconques” (non linéaires) dérivables • Même principe • Théorème • Bjk = gj/ Xk ; Ajk=  [l Bjl fl] / xk • Cjl= Fj/ Yl ; •  agrégation parfaite ssi AB+B=A  X • Si (deg(B)=m)  ! C=AB+

17. Agrégation approchée • hj(X)= i (gj/ Xi)fi(X) • U={X, ||g(X)-Y||< } • = ||F(g(X))-Fm||2w(X)dX / • ||h(X)-hm||2w(X)dX • F(Y) = lim 0 U h(X)w(X)dX / U w(X)dX

18. Schéma F(Y) Y=g(X) F(g(X0)) h(X) x2 X0 x1

19. Agrégation approchée : erreur •  =  || dY/dt(X)agreg-dY/dt(X)micro||2w(X)dX •  =  || Y (t)agreg-Y (t)micro||2w(X0)dX0 •  =  || <Y> agreg-<Y >micro||2w(X0)dX0 •  = || Y (t)agreg-Y (t)micro||2p(t)dt w(X0) dX0

20. Espace des phases V1 (0) =(X(0),X’(0))1 V2 (0) V1 (15) V1 (10) V2 (10) V3 (10) V5(0) V5 (10) V3 (0) V4 (10) V4 (0)

21. Agrégation Approchée :limites • ~Valable pour le voisinage défini par la fonction de pondération • Peut modifier : • les points d’équilibre • la stabilité des points d’équilibre

22. Ajout d’un paramètre • dY/dt=F(Y(t),a) • But : • imposer les points d’équilibre • leur stabilité

23. Systèmes stochastiques • dXi=fi(X)dt+k=1..pgik(X)dWk • A(k)B+B= A(k) • C(k) =A(k)B+

24. IV.Perspectives

25. Avantages • Cadre rigoureux • Minimisation de l’erreur suivant un critère choisi

26. Limites • Dans quel cadre peut-il s’appliquer ? • Contraintes (limites de l’outil mathématique)

27. Prolongements possibles • Développer la partie mathématique • Autres domaines ? • Approche algorithmique ?

28. Références bibliographiques • LUCKYANOV, N.K. (1984). Linear aggregation and separability of models in ecology. Ecological Modelling, 21(1-2):1-12. • O’NEILL, R.V. & RUST, B. (1979). Aggregation error in ecological models. Ecological Modelling, 7(2):91-105. • IWASA, Y., ANDREASEN, V. & LEVIN, S. A. (1987) Aggregation in model ecosystems :I.Perfect aggregation. Ecological Modelling, 37(3-4):287-302. • IWASA, Y., LEVIN S. A. & ANDREASEN, V. (1989). Aggregation in model ecosystems : II. Approximate aggregation. IMA Journal of Mathematics Applied in Medicine & Biology, 6:1-23. • GARD, T.C. (1988). Aggregation in stochastic ecosystem models. Ecological Modelling, 44(1-2):153-164. • N. Picard, Passage d’un modèle individuel à un modèle de distribution de la dynamique forestière. Application à une forêt dense tropicale humide de Guyane française. Mémoire de thèse, 1999.

29. V. Discussion