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ME623A Planejamento e Pesquisa. Experimentos com Efeitos Aleatórios. Até agora vimos experimentos com fatores fixos, isto é, os níveis dos fatores são especificamente escolhidos como sendo os únicos de interesse

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Me623a planejamento e pesquisa

ME623APlanejamentoePesquisa


Experimentos com efeitos aleat rios
Experimentos com Efeitos Aleatórios

  • Até agora vimos experimentos com fatores fixos, isto é, os níveis dos fatores são especificamente escolhidos como sendo os únicos de interesse

  • No entanto, quando temos fatores que são quantitativos é comum pensar que os níveis escolhidos são, na verdade, uma amostra de um número infinito de possíveis níveis

  • Nesse caso dizemos que o fator é aleatório


Efeito fixo ou aleat rio
Efeito Fixo ou Aleatório?

Para um Fator A com a níveis:

Efeito Fixo: os a tratamentos foram especi-ficamente escolhidos.

Conclusões aplicam-se APENAS aos trata-mentos considerados na análise

Efeito Aleatório: os a tratamentos são uma amostra aleatória de uma população de tratamentos.

Conclusões podem ser estendidas à população de tratamentos



Efeito fixo ou aleat rio2
Efeito Fixo ou Aleatório?

Exemplos?

Uma empresa tem 100 lojas, escolhe 7 delas e fazemos um leventamento da satisfação dos clientes

Não estamos apenas interessados na satisfação das 7 lojas, mas de todas


Efeito fixo ou aleat rio3
Efeito Fixo ou Aleatório?

Exemplos?

Dos vários possíveis operadores de uma certa máquina, escolhemos 10 operários e medimos a produtividade

Estamos interessados na produtividade geral, portanto podemos colocar os operários como fator aleatório


Modelo com um fator fixo
Modelo com Um Fator Fixo

  • O modelo é escrito como:

    com i = 1, ..., a e j = 1, ..., n

  • Assumimos que constante

  • Restrição:

  • Note que

  • Hipóteses:


Modelo com um fator aleat rio cell means
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

  • O modelo é escrito como:

    com i = 1, ..., a e j = 1, ..., n (ni = n)

  • Assumimos que

  • são indep.

  • são indep.

  • e são indep.

  • , constantes

  • i = 1...a

  • j = 1...n


Modelo com um fator aleat rio cell means1
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

  • O modelo é escrito como:

  • Note que:


Modelo com um fator aleat rio cell means2
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

  • O modelo é escrito como:

  • Importante: Diferentemente da ANOVA de fatores fixos, onde todas observações Yijsão independentes, para o modelo de fator aleatório Yijsão apenas independentes se pertencem a diferentes níveis de fator:

  • Isto é, a cov. entre duas respostas no mesmo nível de fator é constante para todos os níveis de fator


Modelo com um fator aleat rio cell means3
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

  • Seja

  • então


Modelo com um fator aleat rio cell means4
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

  • Perguntas de Interesse:

  • Geralmente não queremos saber detalhes de um específico

  • Mas sim, fazer inferência da população toda

  • Ou seja, queremos investigar e


Modelo com um fator aleat rio cell means5
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

  • É uma medida de variabilidade de

  • O efeito dessa variabilidade é medido relativo a variabilidade total

  • Esta razão mede a proporção da variabilidade total de Y que é “explicada” por

  • Obvio: vai de 0 à 1


Modelo com um fator aleat rio cell means6
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

  • Exercício:

  • Mostrar que

  • É chamado coeficiente de correlação intraclasse


Modelo com um fator aleat rio cell means7
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

  • Teste de Hipótese:

  • Para testar se todos os são iguais, temos

  • E claro que H0 implica que para todo i


Modelo com um fator aleat rio cell means8
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

  • A análise de variânciapara um fatoraleatórioé da mesma forma quepara um fatorfixo, a diferençaestánaesperança do quadradomédio

  • Se H0é verdadeira, então MSE e MSTR tem a mesma esperança

  • Se não, E(MSTR) > E(MSE) já que n > 0 sempre

  • Assim, valores altos da estatística nos levam a rejeitar H0


Modelo com um fator aleat rio cell means9
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)


Modelo com um fator aleat rio cell means10
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

Exemplo:

  • Cincogeneraisforamescolhidosaleatoriamente do exércitobrasileiro, e 4 candidatosforamassinaladosaleatoriamenteparacada um dos generaisparaseremavaliados, recebendonotas.

  • Como explicar o modelo?


Modelo com um fator aleat rio cell means11
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

Exemplo:

F0 = 5.39


Modelo com um fator aleat rio cell means12
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

Como estimar ?

Um estimador não viesado é

Exercício:

Mostrar que

Um estimador não viesado é


Modelo com um fator aleat rio cell means13
Modelo com Um Fator Aleatório(CellMeans)

Assim temos que

tem distribuição t(a-1)

E um intervalo de confiança para é

Exercício: Calcular do exemplo dos generais


Modelo com um fator aleat rio
Modelo com Um Fator Aleatório

  • O modelo é escrito da mesma forma:

    com i = 1, ..., a e j = 1, ..., n

  • Assumimos que constante

  • A diferença é que τi’s também são v.a., independentes dos erros, tal que

  • Então

  • O modelo acima é chamado de componentes de variância ou modelo de efeitos aleatórios


Modelo com um fator aleat rio1
Modelo com Um Fator Aleatório

  • A decomposição das SS ainda é valida,

  • A variabilidade total é particionada em duas compo-nentes: uma que mede a variabilidade entre os tratamentos (SSA) e uma que mede a variabilidade dentre tratamentos (SSE)

  • Testar hipóteses sobre os efeitos dos tratamentos individuais não faz sentido. Em vez disso, testamos:

  • Se H0 é verdadeira, todos os tratamentos são iguais. Caso contrário, existe variabilidade entre tratamentos


Valor esperado dos ms
Valor Esperado dos MS

  • Para elaborar o teste para testar a hipótese, temos que avaliar a esperança dos MS

  • Sob H0 ,

  • Exercício: Mostre o valor esperado de MSA


Modelo de efeito fixo
Modelo de Efeito Fixo

  • O cálculo da tabela ANOVA para efeitos aleatório é idêntico ao da ANOVA para efeitos fixos

  • No entanto, as conclusões são bem diferentes

  • Nos efeitos aleatórios, as conclusões aplicam-se a população inteira de tratamentos

  • Como estimar as variâncias do modelo?

  • Proporção da variância de uma observação devido à diferença entre tratamentos


Modelo efeito aleat rio exemplo fibra sint tica aula 4
Modelo Efeito AleatórioExemplo Fibra Sintética (Aula 4)

  • Aqui nesse exemplo, com a porcentagem de algodão sendo fator aleatório, rejeitamos a hipótese de que a variância dos efeitos é nula

  • A maior parte da variabilidade de uma observação é atribuída à variabilidade entre tratamentos


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