slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 627

2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk - PowerPoint PPT Presentation


  • 235 Views
  • Uploaded on

2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk. 2.1. Koordináta-rendszereink 2.2. Az egyenes és sík egyenlete 2.3. Affin transzformációk 2.4. Projektív transzformációk. Mire jó nekünk az analitikus geometria?. Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek – testek

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk' - muriel


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1
2. Koordináta-rendszerek és transzformációk

2.1. Koordináta-rendszereink2.2. Az egyenes és sík egyenlete2.3. Affin transzformációk2.4. Projektív transzformációk

mire j nek nk az analitikus geometria
Mire jó nekünk az analitikus geometria?

Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek – testek

Átalakítások: geometriai számítások transzformációk

Rajzolás: geometrikus képek; vetületek - transzformációk

API

2009.08

602

slide603
2.1. Koordináta-rendszereink
  • A Descartes-féle derékszögű koordináták
  • Polár-koordináták
  • Gömbkoordináták, henger-koordináták
  • Baricentrikus koordináták
  • Homogén koordináták
slide604
a Descartes-féle (ferdeszögű) KR
  • Egy KR-t meghatároz:- egy pont (origó, kezdőpont)- a rajta átmenő 3 (2) irányított egyenes (tengelyek), amelyek kifeszítik a teret (a síkot),- és a tengelyeken kijelölt egység
  • Egy pont helyének megadása: 3(2) koordinátájával: P = (x, y, z)T // vagy (x, y, z) a pont vetülete egy tengelyre a másik két tengely síkjával párhuzamosan
slide605
DKR (a Descartes-féle, derékszögű KR)
  • Kijelöli 5 „pont”:O, X, Y, Z, E
  • Pontok: P = (x, y, z)T = ⌠ x|│ y││ z│
  • kétféle irányítás: jobbsodrású (jobbos, jobbkezes), +Z felől nézve: X Y: „CCLW”balsodrású (balos, balkezes)
slide606
A síkban:
  • Kijelöli 4 „pont”: O, X, Y, E
  • Pontok: P = (x, y)T = │x││y│
  • kétféle irányítása: jobbsodrású (jobbos, jobbkezes), X tengely  Y tengely: „CCLW” balsodrású (balos, balkezes)
slide608
Síkbeli polárkoordináták (ti)
  • kezdőpont, a polár-tengely, a pozitív elfordulás iránya.P = ( r,  ); ( 0 r ), ( 0 < 2).
slide609
Síkbeli polárkoordináták (ti)
  • PK  DK

x = r  cos , y = r  sin 

  • DK  PK

r = x2+y2 és = arctan( y / x ), ha x 0 és x0 = 0, ha y = 0 és x > 0 = , ha y = 0 és x < 0 = /2, ha x = 0 és y > 0, ill.y<0= meghatározatlan, ha x=y=0 (a kezdőpont).

slide610
Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti)

alapsík, benne PKR és aZ tengely,

gömbkoordináták: P = (r, , ); r: 0 r : polárszög; <2 az alapsíkban)azimut; 0 vagy -/2 /2

slide611
Gömbkoordináták, henger-koordináták (ti)

henger-koordináták: ( r, , z )

PK  DK

x = cos  = r  sin  cos ; y =  sin  = r  sin  sin , z = r  cos   = r  sin = x2+y2, (az alapsíkban)

DK  PK : . . .

slide612
Pontrendszer súlypontja (olv)

M

p2,m2

p1,m1

p1,m1

M

p2,m2

p3,m3

  • i = 1,2,…,n; tömegpontok Pi pont, pi, helyvektor, mitömeg
  • A pontrendszer súlypontja: a pontok súlyozott összege;M = (  mi·pi) / miM =  (i·pi );i = mi/ mi ; 0 < i < 1; i = 1
  • Adott pi alappontok esetén más-más mi súlyokhoz, más-más súlypont
  • A i súlyok arányosan változtathatók !
slide613
Baricentrikus koordináták
  • a0, a1, a2 , a3E 3 ; 4 pont kifeszíti az 3 dimenziós teret
  • E 3 –ben mindenxponthoz egyértelműen: {0, 1, 2, 3} valósak:x = 0a0 +1a1 + 2a2+ 3a3; i=1
  • Súlyozott összeg, a súlyok összege 1. (lehetnek negatívok is)
  • {i}: az x-nek {ai}-re vonatkozó baricentrikus koordinátái
slide614
Baricentrikus koordináták
  • x = 0a0 +1a1 +…+ nan; i=1
      • Súlyozott összeg, a súlyok összege 1.
      • {i} homogén jellegű koordináták: {'i}  {h i} ;h  0 ugyanaz a pont
      • Ha egy P pont baricentrikus koordinátái pozitívak, P az alappontok konvex burkán belül van.
      • Tömegpontok súlypontja is
slide615
Homogén koordináták
  • Az E 2 egy „inhomogenitása”
  • Az euklideszi tér kibővítése
  • Homogén koordináták
  • „Homogén terünk” szerkezete
  • Homogén  Descartes koordinátákDescartes  Homogén koordináták
  • A sík homogén koordinátás egyenlete
  • Miért használunk homogén koordinátákat?
slide616
Az E2 egy „inhomogenitása”
  • Az a egyenes pontjait K-ból vetítjük az x egyenesre.
  • F’ = ?
  • Legyen !! Az E2 kibővítése:- minden egyenesnek legyen még egy pontja,- neve: „az egyenes ideális pontja”, (fernpunkt)- párhuzamosok ideális pontja megegyezik: az egyenesek állása,- egy sík ideális pontjai a sík ideális egyenesén vannak.
slide617
A kibővített euklideszi sík
  • Az E 2projektív lezárása (a „kibővített sík”); (projektív sík egy kitüntetett egyenessel.)
  • „a homogén sík”: H 2 = E 2 I 2 [„homogén sík” és „ H 2” jelölés csak KG]
  • A projektív síkban: bármely két pont meghatároz egy egyenest bármely két egyenes meghatároz egy pontot …
slide618
A kibővített euklideszi tér
  • Az E 3projektív lezárása (a „kibővített tér”); „a homogén tér”: H 3 = E 3 I 3. („homogén tér”, „ H 3” csak KG)
  • H 3 : P 3 (projektív tér) egy kitüntetett ideális síkkal
  • A projektív térben: bármely 3 pont meghatároz egy síkot bármely 3 sík meghatároz egy pontot . . .
slide619
A kibővített euklideszi tér
  • Egyenes: közönséges pontjai + 1 ideális pontegy egyenes ideális pontja: az egyenes „állása”: ,
  • úgy, hogy: párhuzamosok ideális pontja (állása) megegyezik; egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak, ez „a sík ideális egyenese”, (a sík „állása”) párhuzamos síkok ideális egyenese (állása)megegyezik, a tér ideális elemei (pontok, egyenesek, síkok) egy síkban vannak; „a tér ideális síkja”
slide620
Homogén koordináták
  • A tér (közönséges részének) egy derékszögű KR-ébenO : közönséges pont; belőle X, X, Z tengelyek
  • P = (x, y, z)„homogén koordináták” :P = (x, y, z)  [x, y, z, 1]  h  [x, y, z, 1] = [ h  x, h  y, h  z, h ]; h0
  • Arányos számnégyesek ekvivalencia-osztálya (!)
  • Figyelem: [ x, y, z, w ]  h  [ -x, -y, -z, -w ] !!
slide621
Homogén koordináták
  • A v = (x, y, z) állású egyenesek ideális pontja:Iv = [ x, y, z, 0 ]; a pont „homogén alakja”,illetve:Iv = [ x, y, z, 0 ]  h  [ x, y, z, 0 ] = [ hx, hy, hz, 0 ]; h0
slide622
Áttérés a homogén alakra és vissza
  • A feladat adatai: DKR-ben:
  • Számítások DKR-ben, de közben:
  • Ha kell („kényes” műveletek előtt):
    • áttérés homogén alakra: (x, y, z) [x, y, z, 1]
    • „kényes” műveletek homogén alakban; utána
    • az eredmények „szűrése” (ideális pontok kizárása)
    • visszatérés DKR-be (projektív osztás): [x1, x2, x3, x4] (x1 / x4, x2 / x4, x3 / x4).
  • Az eredmények értékelése DKR-ben.
slide623
Vissza: Descartes koordinátákra
  • H3 [x1, x2, x3, x4] pontjának  :
    • ha x40, akkor ez közönséges pont :[x1, x2, x3, x4]  [x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1]  (x1 /x4, x2 /x4, x3 /x4),
    • ha x4=0, de x1,x2, x3 nem mind nulla: ideális pont, az (x1, x2, x3) irányvektor: | | egyenesek állása
    • [0,0,0,0] nem pont (számítások eredménye nem lehet).
ide lis pontok
„Ideális pontok”

E 3= { (x, y, z) }{ [x, y, z, 1] }; x, y, zR

I 3 = { [x, y, z , 0] }; x, y, zR

H 3 = E 3 UI 3; a „kibővített tér”, a „homogén tér”

Az euklideszi tér kibővítése: minden egyenesnek van még egy pontja: az egyenes állását jellemzi párhuzamosok ideális pontja megegyezik egy sík ideális pontjai: a sík ideális egyenesén a tér ideális pontjai: az ideális síkban

slide626
„Homogén terünk” szerkezete (olv)
  • A valós számhármasok tere: R3 = { (x,y,z); x,y,z R }
  • Az arányos számnégyesek ekvivalencia-osztályai:Ax,y,z,w= { h ·[ x, y, z, w ]; h R, h ≠ 0}; x,y,z,wRA homogén tér:H 3 ={ Ax,y,z,w ; x,y,z,w R } \ { [0,0,0,0] }
slide627
Miért használunk homogén koordinátákat?
  • A párhuzamosok „kivételes helyzete” megszűnik.
  • A mátrix szorzás egységes formalizmusa (eltolás!)transzformációk egymásutánja: mátrixuk szorzata
  • A középpontos vetítés számolható a pontok homogén koordinátáival és 4x4-es mátrixal
ad