Dualita loh line rn ho programov n a anal za citlivosti
Download
1 / 18

Dualita úloh lineárního programování a analýza citlivosti - PowerPoint PPT Presentation


  • 71 Views
  • Uploaded on

Dualita úloh lineárního programování a analýza citlivosti. RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak @uai.fme.vutbr.cz. Symetricky duálně sdružené úlohy. Úloha (a):. Úloha (b):.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Dualita úloh lineárního programování a analýza citlivosti' - lukas


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Dualita loh line rn ho programov n a anal za citlivosti

Dualita úloh lineárního programování a analýza citlivosti

RNDr. Jiří Dvořák, CSc.

[email protected]

Teorie systémů a operační analýza


Symetricky du ln sdru en lohy
Symetricky duálně sdružené úlohy citlivosti

Úloha (a):

Úloha (b):

  • Jedna z dvojice duálně sdružených úloh se označuje jako primárnía druhá jako duální. Dualita je ovšem vzájemný vztah. Úloha (b) je duální k úloze (a) a úloha (a) je duální k úloze (b).

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


Maticov vyj d en symetricky du ln sdru en ch loh
Maticové vyjádření symetricky duálně sdružených úloh

  • Úloha (a):Úloha (b):

  • f(x) = cTx max g(u) = bTu min

  • Ax  b ATu  c

  • x  0 u  0

  • Výše uvedená dvojice úloh je pouze speciálním případem primárně-duálních vztahů mezi úlohami LP. Duální úlohu je totiž možno zkonstruovat ke každé úloze LP.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


Pravidla pro konstrukci du ln ch loh

Maximalizační úloha úloh

primární

duální

omezení typu 

omezení typu 

omezení typu rovnice

nezáporná proměnná

nekladná proměnná

proměnná neomezená

Minimalizační úloha

duální

primární

nezáporná proměnná

nekladná proměnná

proměnná neomezená

omezení typu 

omezení typu 

omezení typu rovnice

Pravidla pro konstrukci duálních úloh

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


Slab a siln v ta o dualit
Slabá a silná věta o dualitě úloh

  • Slabá věta: Nechť primární úloha je maximalizační s účelovou funkcí f(x), duální úloha je minimalizační s účelovou funkcí g(u), a nechť x0 je libovolné přípustné řešení primární úlohy a u0 je libovolné přípustné řešení duální úlohy. Pak platí

  • f(x0)  g(u0)

  • Silná věta: Má-li jedna z duálně sdružených úloh optimální řešení, má optimální řešení i úloha druhá, přičemž optimální hodnoty účelových funkcí jsou si rovny.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


D sledky v t o dualit
Důsledky vět o dualitě úloh

  • Platí-li pro přípustné řešení x0 primární úlohy a pro přípustné řešení u0 duální úlohy rovnost f(x0) = g(u0), pak x0 a u0 jsou optimální řešení.

  • Je-li množina přípustných řešení maximalizační úlohy neprázdná a je-li účelová funkce této úlohy shora neomezená, pak duálně sdružená úloha nemá žádné přípustné řešení.

  • Je-li množina přípustných řešení minimalizační úlohy neprázdná a je-li účelová funkce této úlohy zdola neomezená, pak duálně sdružená úloha nemá žádné přípustné řešení.

  • Nemá-li jedna z dvojic duálně sdružených úloh přípustné řešení, pak druhá úloha nemá optimální řešení.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


V ta o komplementarit
Věta o komplementaritě úloh

  • Přípustná řešení symetricky duálně sdružených úloh jsou optimální právě tehdy, když platí

  • Pozn.: Tyto vztahy znamenají, že nabývá-li nějaká proměnná kladnou hodnotu, pak odpovídající duálně sdružené omezení musí být splněno jako rovnice, a je-li nějaké omezení splněno jako ostrá nerovnost, pak odpovídající duálně sdružená proměnná musí být nulová.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


E en du ln lohy
Řešení duální úlohy úloh

  • Mějme úlohu

  • Nechť Bo je báze optimálního řešení xo a cBo je vektor cen bázických proměnných. Pak optimální řešení duálně sdružené úlohy

  • je určeno vztahem

  • resp.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


E en du ln lohy pro lohu s nerovnicemi typu
Řešení duální úlohy pro úlohu s nerovnicemi typu úloh

  • Mějme úlohu

  • Standardní tvar:

  • Maticový tvar simplexové tabulky pro optimální bázi B:

  • Vidíme, že optimální hodnoty duálních proměnných se nacházejí v posledním řádku tabulky ve sloupcích doplňkových proměnných.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


V znam duality
Význam duality úloh

  • Duální problém a jeho řešení mají důležitou ekonomickou interpretaci.

  • Optimální řešení duální úlohy lze využít v analýze citlivosti.

  • Někdy můžeme snížit paměťovou a časovou náročnost řešení tím, že místo primární úlohy řešíme úlohu duální.

  • Na výsledcích teorie duality jsou založeny některé metody pro řešení úloh LP, které jsou za určitých okolností výhodnější než simplexová metoda.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


V znam du ln ch prom nn ch
Význam duálních proměnných úloh

  • Nechť uo= (uo1, … , uom)T je optimální řešení duální úlohy. Ze silné věty o dualitě plyne, že optimální hodnota primární účelové funkce

  • Zvýšíme-li bi o jednotku, pak fopt se zvýší o uoi (za předpokladu, že se nezmění optimální báze).

  • Je-li např. bi kapacita výrobního zdroje, pak uoi můžeme chápat jako ocenění jednotky této kapacity, neboli tzv. stínovou cenu.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


Anal za citlivosti
Analýza citlivosti úloh

  • Analýza citlivosti (postoptimalizační analýza) zkoumá vliv změn zadání úlohy na optimální řešení.

  • Existují dva typy úloh:

    • Jak se změní optimální řešení při určité změně zadání úlohy?

    • V jakém rozsahu se může změnit určitá neřiditelná veličina (cj nebo bi nebo aij ), aby báze přitom zůstala optimální?

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


Du ln prom nn v anal ze citlivosti
Duální proměnné v analýze citlivosti úloh

  • Nechť uo= (uo1, … , uom)T je optimální řešení duální úlohy. Pak pro optimální hodnotu primární účelové funkce platí

  • Optimální hodnoty duálních proměnných tedy vyjadřují citlivost optimální hodnoty primární účelové funkce na změny pravých stran omezujících podmínek.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


D sledky zm n vektoru b
Důsledky změn vektoru úloh b

  • Změna vektoru b má vliv na hodnoty bázických proměnných a na hodnotu účelové funkce.

  • Je-li B–1(b + b)  0, pak bázické řešení zůstává přípustné a tudíž báze B zůstává optimální.

  • V opačném případě v poslední simplexové tabulce změníme poslední sloupec a pokračujeme dále ve výpočtu pomocí duálně simplexového algoritmu.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


Du ln simplexov algoritmus
Duálně simplexový algoritmus úloh

  • Vychází se z bázického řešení, které splňuje primární kritérium optimality, ale nemusí splňovat podmínky nezápornosti.

  • Označme symboly ij prvky matice B–1A a i prvky vektoruB–1b.

  • 1. Test kritéria optimality:Jsou-li všechna i nezáporná, je řešení optimální a výpočet končí.

  • 2. Určení klíčového prvku: Nejdříve se určí index r klíčového řádku a pak index s klíčového sloupce podle vztahů

  • Není-li možné určit klíčový prvek, pak konec (úloha nemá přípustné řešení).

  • 3. Simplexová transformacese provede obvyklým způsobem.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


D sledky zm n vektoru c
Důsledky změn vektoru úloh c

  • Změna vektoru c má vliv na kritérium optimality a na hodnotu účelové funkce.

  • Označme . Jestliže

  • splňuje podmínku optimality, pak báze Bzůstává optimální.

  • V opačném případě v poslední simplexové tabulce změníme poslední řádek a pokračujeme dále ve výpočtu pomocí simplexového algoritmu.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


Rozsah zm n k t slo ky vektoru b
Rozsah změn úlohk-té složky vektorub

  • Nechť B je optimální báze. Aby tato báze zůstala optimální, musí přírůstek (úbytek) bk k-té složky vektorubsplňovat podmínky

  • kde i = 1, … , m; i, j(k) jsou prvky k-tého sloupce matice B–1 (tento sloupec se vyskytuje v matici B–1A na té pozici, na níž se v matici A vyskytuje jednotkový sloupec s jedničkou v k-tém řádku) a i jsou prvky vektoru B–1b.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


Rozsah zm n k t slo ky vektoru c v maximaliza n loze
Rozsah změn úlohk-té složky vektorucv maximalizační úloze

  • Nechť B je optimální báze. Aby tato báze zůstala optimální, musí být ck k , je-li proměnná xknebázická; je-li proměnná xkbázická, musí ck splňovat podmínky:

  • kde j = 1, … , n; i(k), j jsou prvky toho řádku matice B–1A, ve kterém se vyskytuje proměnná xk.

TSOA: Dualita úloh LP a analýza citlivosti


ad