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Resolução. Aron Sebastian André Sousa Vivian Maria Márcio André . Resolução. P rincípio da Resolução A resolução na lógica de primeira ordem Exemplos. Princípio da Resolução.

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Presentation Transcript
resolu o

Resolução

Aron Sebastian

André Sousa

Vivian Maria

Márcio André

resolu o1

Resolução

Princípio da Resolução

A resolução na lógica de primeira ordem

Exemplos

princ pio da resolu o

Princípio da Resolução

O princípio da resolução é uma regra de inferência que dá origem a uma técnica de demonstração por refutação para sentenças e inferências da lógica proposicional e da lógica de primeira ordem.

a resolu o na l gica de primeira ordem

A Resolução na Lógica de Primeira Ordem

A resolução na Lógica de primeira ordem condensa os silogismos tradicionais de inferência lógica em uma única regra. Para entender como a resolução funciona, considere o seguinte exemplo de silogismo da lógica aristotélica:

  • Todos os gregos são europeus.
  • Homero é grego.
  • Então, Homero é europeu.
  • Ou de maneira mais geral:
  • X.(P(X) implica Q(X)).
  • P(a).
  • Então, Q(a).
a resolu o na l gica de primeira ordem1

A Resolução na Lógica de Primeira Ordem

Para traçar o raciocínio usado na técnica de resolução, primeiro as cláusulas devem ser convertidas para a forma normal conjuntiva. Nessa forma, todas as quantificações se tornam implícitas: quantificadores universais em variáveis (X, Y...) são simplesmente omitidos quando subentendidos, enquanto variáveis em quantificadores existenciais são substituídas por funções de Skolem.

  • ¬P(X) V Q(X)
  • P(a)
  • Então, Q(a)
a resolu o na l gica de primeira ordem2

A Resolução na Lógica de Primeira Ordem

Então a questão é, como a técnica de resolução deriva a ultima cláusula a partir das duas primeiras? A regra é simples:

Encontre duas cláusulas contendo o mesmo predicado, onde uma cláusula é negada e a outra não.

Faça a unificação em ambos os predicados. (Se a unificação falhar, então você fez uma má escolha de predicados. Volte para o passo anterior e tente novamente.)

a resolu o na l gica de primeira ordem3

A Resolução na Lógica de Primeira Ordem

Se, após a unificação, alguma variável não-ligada que foi ligada nos predicados unificados também ocorre em outros predicados nas duas cláusulas, então substitua pelos seus respectivos termos ligados.

Descarte os predicados unificados, e combine o restante das duas cláusulas em uma nova cláusula.

a resolu o na l gica de primeira ordem4

A Resolução na Lógica de Primeira Ordem

Para aplicar essa regra no exemplo acima, nós encontramos o predicado ‘P’ na forma negada na primeira cláusula:

¬P(X)

E em forma não negada na segunda cláusula: P(a)

X é uma variável livre, enquanto a é um átomo.

Unificando os dois obtemos a substituição: = [(a,X)]

Descartando os predicados unificados, e aplicando a substituição dos predicados restantes (apenas Q(X), nesse caso), obtemos a conclusão: Q(a)

a resolu o na l gica de primeira ordem5

A Resolução na Lógica de Primeira Ordem

Para um outro exemplo, considere a forma silogística:

Todos os políticos são corruptos.

Todos os corruptos são mentirosos.

Então todos os políticos são mentirosos.

Ou de maneira mais geral:

X P(X) implica Q(X)

X Q(X) implica R(X)

Então, X P(X) implica R(X)

a resolu o na l gica de primeira ordem6

A Resolução na Lógica de Primeira Ordem

 Na FNC (Forma Normal Conjuntiva):

¬P(X) V Q(X)

¬Q(Y) V R(Y)

(Note que a variável na segunda cláusula foi renomeada pra deixar claro que variáveis em cláusulas diferentes são distintas)

Agora, unificando Q(X) na primeira cláusula com Q(Y) na segunda cláusula temos que X e Y se tornam a mesma variável. Efetuando esta substituição nas cláusulas restantes e combinando-as, temos a conclusão:

¬P(X) V R(X)

exemplos de resolu o
Exemplos de Resolução
  • Toda pessoa é sábia ou tucana.
  • Zé não é tucano. Zé é sábio?
  • U=pessoas
  • I[q(x)]=T sse x é sábio
  • I[p(x)]=T sse x é tucana
  • I[a]=Zé
exemplos de resolu o cont
Exemplos de ResoluçãoCont.
  • Toda pessoa é sábia ou tucana.
  • Zé não é tucano. Zé é sábio?
  • (x)(p(x)v q(x))^ p(a)q(a)
exemplos de resolu o cont1
Exemplos de ResoluçãoCont.
  • Por refutação:
  • ((x)(p(x)v q(x))^ p(a)q(a))
  • (((x)(p(x)v q(x))^ p(a)) v q(a))
  • (x)(p(x)v q(x))^ p(a)) v q(a))
  • (x)(p(x)v q(x))^ p(a)) ^ q(a))
  • {[p(x),q(x)], [p(a)], [q(a)]}
exemplos de resolu o cont2
Exemplos de ResoluçãoCont.
  • Agora, é só fazer a expansão por resolução!
  • 1. [p(x),q(x)]
  • 2. [p(a)]
  • 3. [q(a)]
  • 4. [q(a)] Res(1,2), O1={xa}
  • 5. {} Res(3,4), O2={xa}
exemplos de resolu o1
Exemplos de Resolução
  • Tonha gosta de quem não se valoriza.
  • Não existe ninguém que se valorize e que Tonha goste?
exemplos de resolu o cont3
Exemplos de Resolução Cont.
  • v(x) = x se valoriza
  • g(x,y) = x gosta de y
  • a = Tonha (Antônia)
exemplos de resolu o cont4
Exemplos de Resolução Cont.

(x)(v(x)^g(a,x))(y)(v(y)^g(a,y))

(x)(v(x)^g(a,x))(y)(v(y)^g(a,y))

((x)(v(x)^g(a,x)) v (y)(v(y)^g(a,y)))

(x)(v(x)^g(a,x)) ^ (y)(v(y)^g(a,y)))

conclus es
Conclusões
  • Dada uma fórmula da lógica de predicados H
    • H é tautologia D EXISTE uma Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) que é fechada
    • H é contraditória (insatisfatível) DH é tautologia D EXSTE uma Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) que é fechada
    • H é refutável D TODA Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) é aberta