Resolução

1. Resolução Aron Sebastian André Sousa Vivian Maria Márcio André

2. Resolução Princípio da Resolução A resolução na lógica de primeira ordem Exemplos

3. Princípio da Resolução O princípio da resolução é uma regra de inferência que dá origem a uma técnica de demonstração por refutação para sentenças e inferências da lógica proposicional e da lógica de primeira ordem.

4. A Resolução na Lógica de Primeira Ordem A resolução na Lógica de primeira ordem condensa os silogismos tradicionais de inferência lógica em uma única regra. Para entender como a resolução funciona, considere o seguinte exemplo de silogismo da lógica aristotélica: • Todos os gregos são europeus. • Homero é grego. • Então, Homero é europeu. • Ou de maneira mais geral: • X.(P(X) implica Q(X)). • P(a). • Então, Q(a).

5. A Resolução na Lógica de Primeira Ordem Para traçar o raciocínio usado na técnica de resolução, primeiro as cláusulas devem ser convertidas para a forma normal conjuntiva. Nessa forma, todas as quantificações se tornam implícitas: quantificadores universais em variáveis (X, Y...) são simplesmente omitidos quando subentendidos, enquanto variáveis em quantificadores existenciais são substituídas por funções de Skolem. • ¬P(X) V Q(X) • P(a) • Então, Q(a)

6. A Resolução na Lógica de Primeira Ordem Então a questão é, como a técnica de resolução deriva a ultima cláusula a partir das duas primeiras? A regra é simples: Encontre duas cláusulas contendo o mesmo predicado, onde uma cláusula é negada e a outra não. Faça a unificação em ambos os predicados. (Se a unificação falhar, então você fez uma má escolha de predicados. Volte para o passo anterior e tente novamente.)

7. A Resolução na Lógica de Primeira Ordem Se, após a unificação, alguma variável não-ligada que foi ligada nos predicados unificados também ocorre em outros predicados nas duas cláusulas, então substitua pelos seus respectivos termos ligados. Descarte os predicados unificados, e combine o restante das duas cláusulas em uma nova cláusula.

8. A Resolução na Lógica de Primeira Ordem Para aplicar essa regra no exemplo acima, nós encontramos o predicado ‘P’ na forma negada na primeira cláusula: ¬P(X) E em forma não negada na segunda cláusula: P(a) X é uma variável livre, enquanto a é um átomo. Unificando os dois obtemos a substituição: = [(a,X)] Descartando os predicados unificados, e aplicando a substituição dos predicados restantes (apenas Q(X), nesse caso), obtemos a conclusão: Q(a)

9. A Resolução na Lógica de Primeira Ordem Para um outro exemplo, considere a forma silogística: Todos os políticos são corruptos. Todos os corruptos são mentirosos. Então todos os políticos são mentirosos. Ou de maneira mais geral: X P(X) implica Q(X) X Q(X) implica R(X) Então, X P(X) implica R(X)

10. A Resolução na Lógica de Primeira Ordem  Na FNC (Forma Normal Conjuntiva): ¬P(X) V Q(X) ¬Q(Y) V R(Y) (Note que a variável na segunda cláusula foi renomeada pra deixar claro que variáveis em cláusulas diferentes são distintas) Agora, unificando Q(X) na primeira cláusula com Q(Y) na segunda cláusula temos que X e Y se tornam a mesma variável. Efetuando esta substituição nas cláusulas restantes e combinando-as, temos a conclusão: ¬P(X) V R(X)

11. Exemplos de Resolução • Toda pessoa é sábia ou tucana. • Zé não é tucano. Zé é sábio? • U=pessoas • I[q(x)]=T sse x é sábio • I[p(x)]=T sse x é tucana • I[a]=Zé

12. Exemplos de ResoluçãoCont. • Toda pessoa é sábia ou tucana. • Zé não é tucano. Zé é sábio? • (x)(p(x)v q(x))^ p(a)q(a)

13. Exemplos de ResoluçãoCont. • Por refutação: • ((x)(p(x)v q(x))^ p(a)q(a)) • (((x)(p(x)v q(x))^ p(a)) v q(a)) • (x)(p(x)v q(x))^ p(a)) v q(a)) • (x)(p(x)v q(x))^ p(a)) ^ q(a)) • {[p(x),q(x)], [p(a)], [q(a)]}

14. Exemplos de ResoluçãoCont. • Agora, é só fazer a expansão por resolução! • 1. [p(x),q(x)] • 2. [p(a)] • 3. [q(a)] • 4. [q(a)] Res(1,2), O1={xa} • 5. {} Res(3,4), O2={xa}

15. Exemplos de Resolução • Tonha gosta de quem não se valoriza. • Não existe ninguém que se valorize e que Tonha goste?

16. Exemplos de Resolução Cont. • v(x) = x se valoriza • g(x,y) = x gosta de y • a = Tonha (Antônia)

17. Exemplos de Resolução Cont. (x)(v(x)^g(a,x))(y)(v(y)^g(a,y)) (x)(v(x)^g(a,x))(y)(v(y)^g(a,y)) ((x)(v(x)^g(a,x)) v (y)(v(y)^g(a,y))) (x)(v(x)^g(a,x)) ^ (y)(v(y)^g(a,y)))

18. Conclusões • Dada uma fórmula da lógica de predicados H • H é tautologia D EXISTE uma Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) que é fechada • H é contraditória (insatisfatível) DH é tautologia D EXSTE uma Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) que é fechada • H é refutável D TODA Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) é aberta