Systèmes d’équations et équations chimiques

1. Systèmes d’équationset équations chimiques Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2. Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment construire et utiliser un système d’équations homogène et sa représentation matricielle pour équilibrer une équation chimique. Équilibreroubalancer une équation chimique signifie déterminer les plus petits nombres de molécules des composés pour lesquels le nombre d’atomes de chaque élément du membre de gauche de l’équation est égal au nombre d’atomes du membre de droite.

3. Procédure Pour balancer une équation chimique 1. Représenter par une variable le nombre de molécules de chaque composé de l’équation chimique. 2. Pour chaque élément, écrire l’équation de telle sorte que le nombre d’atomes de cet élément soit le même dans le membre de gauche et dans le membre de droite de l’équation chimique. 3. Représenter le système d’équations linéaires homogène par une matrice et résoudre. 4. Assigner aux variables libres la plus petite valeur entière pour laquelle chaque variable liée prendra une valeur entière et écrire l’équation balancée.

4. Exemple Équilibrer l’équation chimique suivante : • ? NO2 + ?H2O ® ?HNO3 + ?NO Étape 1 : les variables Dans cette équation, il y a quatre composés. Représentons par x, y, z et u le nombre de molécules de ces composés. On cherche les valeurs de ces variables pour lesquelles l’équation sera équilibrée. • xNO2 + yH2O ®zHNO3 + uNO Il faut donc que le nombre d’atomes de chacun des éléments soit le même dans le membre de gauche et dans le membre de droite de l’équation chimique.

5. Exemple Équilibrer l’équation chimique suivante : • xNO2 + yH2O ®zHNO3 + uNO Étape 2 : les équations Les conditions d’équilibre pour chaque élément sont : pour l’azote : x = z + u pour l’oxygène :2x + y = 3z + u pour l’hydrogène : 2y = z On doit donc résoudre le système d’équations linéaires homogène : x – z – u = 0 2x + y – 3z – u = 0 2y – z = 0

6. Exemple Équilibrer l’équation chimique suivante : • xNO2 + yH2O ®zHNO3 + uNO Étape 3 : résoudre –1 –1 0 1 2 0 0 1 2 –1 –3 –1 0 0 0 La matrice augmentée est : En appliquant la méthode de Gauss, on obtient : L1 L2 – 2L1 L3 –1 –1 0 –1 1 0 1 2 0 0 1 2 –1 –3 –1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 –1 –1 –1 0 0 0 ≈ L1 L2 L3 – 2L2 L1+L3 L2 +L3 L3 1 0 0 0 1 0 –1 –1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 –3 1 –2 0 0 0 –1 1 –2 ≈ ≈ Le système a une infinité de solutions : {(x; y; z; u) | x = 3s; y = s; z = 2s; u = s}

7. Exemple Équilibrer l’équation chimique suivante : • xNO2 + yH2O ®zHNO3 + uNO Le système a une infinité de solutions : {(x; y; z; u) | x = 3s; y = s; z = 2s; u = s} Étape 4 : assignation des valeurs et interprétation Pour que les variables aient la plus petite valeur entière possible, il faut poser s = 1, ce qui donne (3; 1; 2; 1). L’équation équilibrée est donc : • 3NO2 + H2O ® 2HNO3 + NO

8. Exercice Équilibrer l’équation chimique suivante : ?Fe7S8 + ?O2® ?Fe3 O4 + ?SO2 Cliquer pour la solution • xFe7S8 + yO2®zFe3 O4 + uSO2 Pour Fe : 7x = 3z Pour S : 8x = u Pour O : 2y = 4z + 2u 7 8 0 0 0 2 –3 0 –4 0 –1 –1 0 0 0 56 0 0 0 12 0 0 0 24 –7 –13 –7 0 0 0 ≈ Le système a une infinité de solutions : {(x; y; z; u) | x = s/8; y = 13s/12; z = 7s/24; u = s} La plus petite solution entière est obtenue pour s = 24, ce qui donne : • 3Fe7S8 + 13O2® 7Fe3 O4 + 24SO2

9. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 11.3, p. 333 à 334. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 11.4, p. 364 et 367.