La costruzione di un indicatore tempestivo dell’attività economica italiana: ITACOIN

1. Bologna, 28 Novembre 2008 Dipartimento di Scienze Statistiche La costruzione di un indicatore tempestivo dell’attività economica italiana: ITACOIN Dott.ssa Valentina Aprigliano (Dottoranda in Statistica - Università La Sapienza di Roma)

2. Obiettivi • Costruire un indicatore che: • Migliora la stima real-time della componentecomune di medio-lungoperiodo del tasso di crescita del PIL; • Riassuma l’intera attività economica dell’Italia; • Rispetti le caratteristiche di: • Tempestività: importante per avere aggiornamenti in tempi reali sulla dinamica dell’economia. • Smoothness.

3. Soluzione

4. Problema • Per stimare il tasso di crescita di medio-lungo periodo del PIL la soluzione più immediata è applicare un filtro passa-banda al tasso di crescita del PIL (Baxter, A., King R.G., 1999 e Christiano L.J., Fitzgerald T.J., 2003). Ma… trattandosi di un filtro simmetrico, provoca problemi nella stima real time (al tempo finale T).

5. Soluzione • Costruire un filtro che risolva il problema della stima real-time • Applicarlo al tasso di crescita del PIL

6. Strumenti • Dominio delle frequenze; • Analisi fattoriale dinamica generalizzata (Forni, M., Hallin, M., Lippi, M., Reichlin, L., 2003, gruppo di ricerca del Center for Economic Policy Research: CEPR);

7. Metodologia • Analisi spettrale: per lo studio dei segnali economici nel dominio delle frequenze; • Modello fattoriale dinamico generalizzato; • Metodo New Eurocoin: applicazione ai dati italiani del metodo elaborato dal gruppo di ricerca del CEPR per la costruzione dell’indicatore coincidente di attività economica dell’Unione europea, (Altissimo, F., Cristadoro R., Forni, M., Veronese, G., 2007).

8. Perché il dominio delle frequenze… Le serie economiche hanno una struttura oscillante e riproducono periodicamente lo stesso comportamento a meno di differenze casuali nell’ampiezza e nella frequenza delle oscillazioni (Slutzky, E., 1937).

9. Perché il dominio delle frequenze… • Consente di trattare anche la relazione intertemporale fra le variabili, oltre che quella cross-sezionale: si inserisce un elemento di dinamicità; • La scomposizione del segnale in componenti di frequenza facilita la separazione del dato strutturale (bassa frequenza) dal rumore (alta frequenza).

10. Strumenti ANALISI DI FOURIER Teorema di Fourier: “Well behaved periodic functions can be expressed as a (possibly infinite) sum of sine and cosine functions”.

11. Strumenti Espansione di Fourier: consente di rappresentare la funzione del tempo f(t) rispetto alla base ordinata ortogonale Quindi:

12. Strumenti Ovvero, utilizzando la formula di Eulero: Con il coefficiente di Fourier:

13. Strumenti L’analisi di Fourier può essere applicata a Fenomeni deterministici Fenomeni stocastici

14. Analisi spettrale ANALISI SPETTRALE Interpretazione statistica di caratteristiche fisiche: ENERGIA VARIANZA

15. Strumenti nel tempo continuo Definizione • Funzione di densità spettrale (spettro non normalizzato): La funzione di densità spettrale ( ) è il contributo medio alla potenza totale del processo che deriva dalle componenti di frequenza appartenenti all’intervallo infinitesimo . • Spettro integrato non normalizzato:

16. Strumenti nel tempo continuo TEOREMA Sia un processo stocastico stazionario a media nulla e parametro t continuo, con funzione di densità spettrale che esiste per ogni , e funzione di autocovarianza . Allora, è la trasformata di Fourier di :

17. Strumenti nel tempo continuo TEOREMA Rappresentazione spettrale del processo stazionario a parametro t continuo (Wiener, 1930): Con processo stocastico ad incrementi ortogonali.

18. Strumenti nel tempo discreto • Trasformata discreta di Fourier: • segnale digitale al tempo ; • frequenza dell’intervallo discreto

19. Strumenti nel tempo discreto • Matrice di Fourier: matrice ortogonale, il cui generico elemento è • Matrice di passaggio dal dominio del tempo al dominio delle frequenze:

20. Strumenti nel tempo discreto • Diagonalizza la matrice circolante che approssima la matrice di varianza/covarianza : SPETTRO Distribuzione dell’energia di un segnale per componenti di frequenza Insieme degli autovalori di una matrice

21. STIMA DELLA MATRICE DI DENSITÀ SPETTRALE • Periodogramma: (1) Ma… La varianza dello stimatore è molto elevata, per la presenza di troppe autocovarianze campionarie. Soluzione… Si limita la somma (1), applicando la lag window

22. ANALISIFATTORIALE Studio del ciclo economico Stock-Watson (1989) VARIABILI LATENTI ANALISI FATTORIALE Burns-Mitchell (1946) CRONOLOGIA

23. ANALISIFATTORIALE DINAMICA • (Stock-Watson) • Ogni fattore comune evolve secondo un modello per i processi stocastici; • I fattori entrano nel modello a diversi lag temporali. • (Forni, Hallin, Lippi, Reichlin) • Si lavora nel dominio delle frequenze sulle matrici di densità spettrale.

24. Modello fattoriale • Dato il processo vettoriale stazionario, a media nulla con momenti secondi finiti: si definisce il modello fattoriale:

25. Metodo di stima dei fattori • Definiti i fattori statici: esistono due metodi di stima attraverso le componenti principali: • Componenti principali statiche: attraverso gli autovalori/autovettori della matrice di varianza-covarianza: Stock e Watson, 1998; • Componenti principali dinamiche: attraverso gli autovalori/autovettori della matrice di densità spettrale (Brillinger, 1981): Forni, Hallin, Lippi, Reichlin, 2000.

26. Componenti principali dinamiche:interpretazione fisica (Brillinger, 1981). • Si tratta di trasmettere un segnale n-dimensionale attraverso canali disponobili. • Si trova l’approssimazione filtrata di • Si ricostruisce il segnale originario:

27. Componenti principali dinamiche:interpretazione fisica (Brillinger, 1989). • La relazione fra e è data dalla funzione di trasferimento: • Si dimostra che la differenza fra i due segnali è minimizzata ponendo matrice dei primi autovettori della matrice di densità spettrale di

28. ANALISIFATTORIALEDINAMICAGENERALIZZATA(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin) • Parte della correlazione fra le variabili è spiegata dai fattori specifici. Si costruiscono le componenti principali: È l’autovettore generalizzato della matrice

29. ANALISIFATTORIALE DINAMICA GENERALIZZATA(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin) • Two-sided estimation (2000): • Stima della matrice spettrale con la finestra di Bartlett; • Estrazione dell’autovalore e dell’autovettore ; • Si ottiene il filtro

30. ANALISIFATTORIALE DINAMICA GENERALIZZATA(Forni, Hallin, Lippi, Reichlin) • Si ottiene la componente comune: Ovvero:

31. Problema… Si tratta di un filtro bilatero! Soluzione… • One-sided estimation (2003): • Obiettivi: • Pesare le variabili osservate contemporanee; • Conservare la dinamicità. • Strumenti: • Stimare con il “metodo dinamico” la • Estrarre autovalori/autovettori dalla matrice

32. Metodo dinamico • Si consideri l’esempio: • Riallineo le variabili: • Costruisco la matrice di var/covar , quindi estraggo l’autovettore normalizzato • Ottengo il primo autovettore di come trasformata di Fourier di • Stimo • Stima dinamica di

33. METODOEUROCOIN • È dato il modello fattoriale: • Eurocoin si ottiene proiettando sui fattori stimati (dalle componenti principali dinamiche generalizzate). Eurocoin è, quindi la componente comune del PIL che giace sulle frequenze cicliche.

34. METODOEUROCOIN • Lo spazio su cui proiettare per ottenere è quello generato dalle componenti principali contemporanee, ma anche ritardate e anticipate di m lag: • La stima è:

35. METODOEUROCOIN • La matrice contiene il ; • La matrice è una matrice di matrici diagonale. Le matrici della diagonale contengono gli autovettori generalizzati; • La matrice è diagonale, con elementi gli autovalori generalizzati.

36. METODO NEW-EUROCOINLa costruzione di Itacoin • L’indicatore non è più la stima di una variabile latente (non osservabile!), ma è la stima della componente di medio-lungo periodo del tasso di crescita del PIL. CONSEGUENZA IMPORTANTE… Esiste un target con cui confrontare Itacoin e valutarne la prestazione.

37. Procedura • VARIABILE DI RIFERIMENTO: il tasso di crescita mensile del PIL che filtrato diventa approssimo con FILTRO LOW-PASS IDEALE

38. Procedura • DATI

45. Procedura • TARGET La variabile è una stima di : • buona all’interno del campione; • meno buona a fine serie: al tempo T.

46. Procedura • TARGET costituisce il target con cui confrontare Itacoin al tempo ! stima confronto

47. Procedura • COSTRUZIONEDEI REGRESSORI: • Duplice sintesi: • Si estraggono le componenti comuni delle variabili del dataset; • Si estraggono le sole componenti comuni che giacciono sulle frequenze cicliche. • Stimo la matrice di densità spettrale: • Estraggo i primi q autovettori/valori e costruisco:

48. Procedura • COSTRUZIONE DEI REGRESSORI: • Applico la trasformata discreta inversa di Fourier: • Seleziono, in particolare, le frequenze basse: calcolo la media di sull’intervallo : ottengo • Estraggo gli autovettori/valori generalizzati dalla coppia di matrici con cui costruisco i regressori: le componenti principali generalizzate (stime consistenti dei fattori comuni).

49. Procedura • COSTRUZIONEDI ITACOIN Indicato con w lo spazio vettoriale delle componenti principali generalizzate, Itacoin (al tempo T, real-time) si ottiene proiettando su w: PROBLEMA… Al tempo T non ho il valore di , quindi per calcolare bisogna usare una procedura particolare…

50. Procedura • Costruzione di • Stimo la matrice di varianza/covarianza fra • Quindi stimo la matrice di densità spettrale applicando la finestra di Bartlett, e “tagliandola” sulle alte frequenze: • Infine, applicando la trasformazione inversa di Fourier ottengo la matrice :