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I. Définition II. Approche RDM III. Théorèmes énergétiques

jovita
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I. Définition II. Approche RDM III. Théorèmes énergétiques

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Presentation Transcript

  1. Statique des poutres LinéairesDr J. MorlierIllustrations tirées de Mechanics of materials Texas Tech University, Lecture notes J walt Olerhttp://homepages.ulb.ac.be/~rfilomen/teaching.htmlhttp://www.civil.uwaterloo.ca/brodland/teaching/movies.asphttp://www.netprof.fr/Mecanique/Tous-les-cours-en-video,36,0,0.aspx

  2. I. Définition II. Approche RDM III. Théorèmes énergétiques

  3. Hypothèses de la RDM

  4. Hypothèses sur les déplacements Hypothèses de Bernouilli Toute section droite avant déformation reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne déformée.  les sections droites restent planes selon Navier-Bernoulli (pas de gauchissement). L'hypothèse de Bernoulli permet de négliger le cisaillement dans le cas de la flexion : le risque de rupture est alors dû à l'extension des fibres situées à l'extérieur de la flexion, et la flèche est due au moment fléchissant

  5. I. Définition II. Approche RDM III. Théorèmes énergétiques

  6. Pour étudier les poutres, on met en relation les efforts de cohésion avec les efforts extérieurs ; les efforts de cohésion avec le tenseur des contraintes, grâce au principe d'équivalence ; le tenseur des contraintes avec le tenseur des déformations, grâce à la loi de Hooke généralisée ; et la forme finale de la poutre, c'est-à-dire le champ des déplacements, avec le champ de tenseur des déformations.

  7. ey ex ez A B C D Équations d ’équilibre global le Principe Fondamental de la Statique donne :

  8. Principe de la coupe : transformer les efforts intérieurs en efforts extérieurs

  9. Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques, définies sur l'ensemble de la section. Du fait de la linéarité du problème (on reste en petites déformations), on peut considérer indépendamment chaque composante, c'est-à-dire considérer que la poutre n'est soumise à chaque fois qu'à une seule sollicitation simple. Pour les sollicitations complexes, on somme les contraintes de toutes les sollicitations simples (principe de superposition).

  10. I. Définition II. Approche RDM (exemples) III. Théorèmes énergétiques

  11. Exemple 1: Réactions

  12. Exemple 2: cisaillement

  13. Exemple 3: Flexion

  14. Exemple 4: système isostatique

  15. Diagramme NTM On part en A de M=0 Puis en C bras de levier:M=2*2kN Puis en B: M=2kN*4 -4kn*2=0

  16. Zone 2: Pour x entre 2 et 4m (Coupe à gauche) Torseur effort interieur (coupe en x, il reste un bras de levier de longueur 4-x) Discontinuité en terme d’effort Je lis sens +: T=-Rb=-2kN Je lis sens +: M= (4-x)*2kN Enfin N=0

  17. Torseur effort interieur (coupe en x, il reste un bras de levier de longueur x) Zone 1: Pour x entre 0 et 2m (Coupe à droite) !!!-!!! Je lis sens -: T=-(-2kN) Je lis sens -: M= -(2kN*x) (Bras de levier en x) Enfin N=0

  18. I. Définition II. Approche RDM (Flexion) III. Théorèmes énergétiques

  19. On considère une poutre rectiligne de longueur (2a + b) sur 2 appuis simples et soumise à un effort P à chaque extrémité y RB RC D A a b a x C B P P sollicitation de flexion Calculer l ’effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre

  20. Ty = 0 Mz = aP = constante A D a b a C B Mz aP x Ty P x -P diagramme du moment fléchissant et de l ’effort tranchant Entre B et C : Flexion pure sur BC déformée en arc de cercle de courbure constante R (sections planes et normales à la fibre moyenne)

  21. Déformation (1) Soit une poutre longue symétrique Imposons un moment de flexion Et étudions « géométriquement » les déformations (allongements ou variation d’angles)

  22. Déformation (2) Regardons l’allongement de la fibre neutre par rapport aux fibres Up and Down Dû à la flexion, certaines fibres se contractent d’autres s’allongent…

  23. Déformation (3) On a besoin de définir le centroid de la section et l’axe neutre de la poutre On définit aussi rho le rayon de courbure

  24. Déformation (4) Puis la distance y à l’axe neutre de la poutre et en prenant un section infime ds on peut écrire

  25. Déformation (5)

  26. Déformation = relation linéaire (y)

  27. Section non symétrique ?? Moment d’inertie

  28. I=Moment d’inertie [m4]

  29. Moment de flexion En haut y=ymax, maximum de contraintes de compression

  30. Moment de flexion

  31. Moment de flexion (2)

  32. Moment de flexion (3)

  33. Contraintes Vs moment

  34. On peut exprimer la courbure géométriquement en fonction de la dérivée seconde du déplacement y • Substituant et en intégrant EDO qui donne le déplacement d’1poutre • La relation entre moment de flexion et courburerestevalide pour des chargements transverses.

  35. Les constantes sont identifiées en utilisant les conditions aux limites • Cas simples (isostatique) • Simplement suportée • Sur appui • Encastrée • Des chargements plus compliqués requierent plus d’intégrales et d’utiliser les conditions de continuités de déplacement et pente.

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