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Introduction à l’ Ingénierie Didactique

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Introduction à l’ Ingénierie Didactique. Études et observations d’une situation mathématique : C20 Esquisse d’un curriculum. Une Situation mathématique. Qui dira vingt? Comparaison de deux utilisations didactiques du problème « qui dira 20? » De « Qui dira 20? » à… la division.

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introduction l ing nierie didactique

Introduction à l’Ingénierie Didactique

Études et observations d’une situation mathématique : C20

Esquisse d’un curriculum

qui dira vingt4

une situation math matique

Une Situation mathématique

Qui dira vingt?

Comparaison de deux utilisations didactiques du problème « qui dira 20? »

De « Qui dira 20? » à… la division

qui dira vingt4

pour introduire la th orie des situations
Pour introduire la théorie des situations…
  • …voici l’étude d’une situation qui a été reproduite de nombreuses fois avec des élèves de 10-12 ans. Je prie ceux qui la connaissent bien de me pardonner ce « pèlerinage aux sources ».
  • Elle n’a pourtant pas grand intérêt dans les curriculums ordinaires de mathématiques, mais elle peut être très utile pour initier les élèves au raisonnement mathématique et pour leur donner une idée du fonctionnement des hypothèses, des preuves et des théorèmes. En ce sens elle constitue une véritable et très vivante première leçon d’épistémologie. D’autres suivront…
  • C’est pourquoi elle a beaucoup servi pour expliquer le B A BA de la théorie des situations mathématiques et pour montrer comment les leçons classiques pouvaient être enrichies par une initiation convenable à la résolution des problèmes et à l’activité mathématique.

qui dira vingt4

1 qui dira vingt

1. Qui dira vingt?

UN MODELE pour une SITUATION MATHEMATIQUE

à usage didactique

qui dira vingt4

r gles du jeu
Règles du jeu
  • Le premier joueur dit : « 1 » ou « 2 » ex: 1
  • Le second peut ajouter 1 ou 2 à ce qu’a dit le premier ex: 3
  • A tour de rôle chacun dit un nombre en « montant » de 1 ou de 2 sur le nombre dit par son adversaire
  • Celui qui dit 20 gagne la partie. (Consigne)

Remarque de TSM : Pour le joueur A, l’adversaire B fait partie de m(A) le milieu de A. et il le fait évoluer en partie indépendamment de la volonté de A. A est donc en présence d’un « milieu » non pas seulement d’un ensemble de conditions amorphes

qui dira vingt4

exemple une partie
Exemple : une partie
  • Joueur A
  • Joueur B

Le joueur B a gagné

qui dira vingt4

les tapes de la le on
Les étapes de la « leçon »
  • 1. La consigne :le professeur montre comment jouer(3min)
  • 2. Les élèves jouent 1 contre 1.

Au bout de quatre parties individuelles certains élèves pensent « il faut jouer 17 ». (situation d’action).Il est temps alors d’arrêter cette phase. (durée 7 minutes)

  • 3. Les élèves jouent1 équipe contre 1 équipe

Le jeu oppose au tableau un représentant de chacune des deux équipes qui doivent rester muettes pendant la partie.(Jeu 1)(jeu2)

Entre les parties les équipes discutent de leurs stratégies. (situation de formulation)(durée 25 minutes)

  • 4. Le Jeu de la découverte concours de théorèmeséquipes contre équipes(situation de validation, de preuve)

qui dira vingt4

vocabulaire des situations
Vocabulaire des situations
  • Les positions : [1; 2; … ; 19; 20]
  • Les états de la situation : {A;B}X [0; 1; 2; … ; 20]
      • État initial : 0 . État final : 20.
  • Une règle d’action, des états permis
  • Des actants (ou agents) et leur répertoire de décisions
  • Un Enjeu : effectif ou rhétorique
  • Une décision: « jouer 4 »;
  • Une partie : une suite [An1, Bn2, …, X20], ou comme dans le tableau : (A, [n1, n2, …, 20]) 0 < ni+1 –ni <3
  • Toutes les parties possibles.
  • Une stratégie: mauvaise : « ajouter toujours 2 »; ou bonne : « commencer par 2 puis compléter à 3 »
  • Une tactique : « jouer 17 si on peut »

qui dira vingt4

sch ma de la situation d action jeu 1 contre 1
Schéma de la situation d’action(jeu 1 contre 1)

Information

Milieu

Joueur, actant

Décision, Action, Transformation du milieu

L’actant n’a pas besoin de dire ce qu’il fait ni de le justifier… Il peut donc être incapable de le faire.

L’observateur ne le sait pas, il peut au plus créer un « modèle implicite d’action »

qui dira vingt4

tudes de la situation d action 1
Études de la situation d’action 1
  • Études a priori : choix des paramètres but, pas etc.
  • Études expérimentales. Quelles sont les conditions dans lesquelles les élèves découvrent les tactiques et la stratégie de C20?
  • « Qui dira 7 » (C7) : le disque moniteur (ne joue que la stratégie gagnante). La courbe d’apprentissage peut être approchée par un « modèle Stimulus-réponse » (45 enfants).
  • « Qui dira 20 »: l’analyse des réponses de 60 classes montre que
  • 1. des « théorèmes en actes » apparaissent dans l’ordre : 20, 17, 14, 11, 8. L’élève qui apprend est celui qui perd et non celui qui gagne
  • 2. la vitesse d’apparition des théorèmes décroît: la récurrence ne joue pas sauf vers la 15e partie pour une partie des élèves
  • 3. Seuls, les deux premiers sont explicitables, (20 et 17) les autres sont utilisés mais trop incertains pour être dits
  • 4. A partir de la 25ième partie, s’ils ne sont pas formulés, les théorèmes en actes disparaissent, dans l’ordre inverse de leur apparition.
  • 5. Le processus de découverte bute sur une idée des élèves : le jeu « devrait » laisser une certaine liberté au départ
  • Aucun modèle Stimulus Réponse semblable à C7 ne convient à C20

qui dira vingt4

slide11

5

8

11

14

17

20

qui dira vingt4

slide12

6.Comment les théorèmes apparaissent-ils? Le diagramme ci-dessous, montre les décisions significatives des élèves. Les ronds blancs correspondent à l'addition significative de 1, les points noirs à l'addition significative de 2.

Exemple: dès la 3ième partie, et dans toutes les parties suivantes (colonne) au « nombre laissé » 18, les élèves répondent en ajoutant 2 (points noirs).

L'absence de signe indique des choix équilibrés (aucun n’est significatif).

Numéro de la partie jouée

Nombre ajouté

Choix significatif de 1: o

Choix significatif de 2 : 

Aucun choix significatif:

Apparition des théorèmes : 

Nombres laissés par l’adversaire

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

L’apparition des théorèmes (TIA) en situation d’action

Le théorème 20 apparaît à la 3ième partie, le 17 à la 7ième, le 14 à la 13ième.La zone d’incertitude comprend 6 à 7 nombres et recule au fil de l’apparition des théorèmes. Avant, les élèves ajoutent seulement 2 pour atteindre plus vite cette zone d’incertitude

qui dira vingt4

sch ma de la situation de formulation de strat gies quipe contre quipe

Informations

Le Groupe ne pourra pas agir ni conseiller son champion pendant la partie

Élève qui est au tableau

Conseils, stratégies

1

4

3

Schéma de la situation de formulation de stratégies(équipe contre équipe)

Émetteur

Émetteur

Récepteur

Récepteur

Milieu

qui dira vingt4

tudes de la situation de formulation 2
Études de la situation de formulation 2
  • Situation de formulation des stratégies: Les actants disposent déjà du vocabulaire nécessaire,
  • Ici, c’est aussi une situation de débats informels dans les groupes
  • Les positions sont très variées, joueurs potentiels ou effectifs, émetteurs d’idées ou contradicteurs, se réfèrent aux résultats ou aux anticipations etc.
  • Tous les élèves sont concernés. Les échanges sont nombreux et vifs : Les élèves investissent le jeu de façon plus forte.
  • Sauf 17 les théorèmes en actes n’émergent pas
  • Il n’est observé aucun progrès individuel dans la résolution du problème à la fin de cette phase
  • Pourtant cette phase est essentielle pour que la suivante concerne tous les élèves.
  • Les élèves qui ont les meilleures idées ne sont pas compris et se désespèrent

qui dira vingt4

la situation de validation le jeu de la d couverte
La situation de Validation:« le jeu de la découverte »
  • Les deux équipes s’affrontent pour établir une stratégie sûre. Le professeur ne précise les règles qu’au fur et à mesure.
  • un groupe proposeune déclaration qui selon lui « aide à gagner » (une conjecture). Exemple : Il faut jouer 17 si on peut.
  • L’autre équipe, l’opposant, soit « passe », soit l’adopte (et paie le droit de l’utiliser), soit la contredit et un débat s’ouvre avec trois issues possibles : la déclaration est « vraie » ou « fausse » ou « indécise ».
  • L’opposant doit mettre la proposition contestée en contradiction
    • Par un contre exemple: l’observation des parties passées
    • Par une explication (un raisonnement, une preuve)
    • Par un défi (qui revient à produire un contre exemple) en obligeant le proposant à jouer ce qu’il dit et en gagnant la partie (Moyen de coercition contre l’entêté, mais coûteux si on a tort, et de toute façon incertain)

D’autres critères apparaîtront pour « valider » une déclaration.

  • Les nombreuses règles sont « enseignées » au fur et à mesure et « apprises » par la pratique.

qui dira vingt4

d roulement de la situation de preuve
Déroulement de la situation de preuve
  • Enseignant : Équipe A, pouvez-vous faire une déclaration vraie et utile pour gagner ?

vous serez les «proposants ».

  • Élève de A : « on est sûr de gagner si on peut dire 17 ».
  • Élève de B : oui c'est ce qu'on voulait dire !
  • Autre élève de B : Mais je ne suis pas d'accord, il y a des fois où on a joué 17 et on n'a pas gagné. Je peux jouer 17 et perdre si je veux.
  • Élève b de B : Nous quatre, on n'est pas d'accord avec le reste de l'équipe B. On veut mettre en doute le théorème.
  • Enseignant : Vous voulez obliger les A à jouer en commençant par 17 ? Élève b de B : Euh.... non ! on veut demander une démonstration.
  • Les autres élèves de B : non ! non ! c'est sûr , il faut jouer 17... Il faut accepter sinon ils vont marquer des points !

qui dira vingt4

sch ma de la situation de preuves

1

4

Milieu

3

Schéma de la situation de preuves

Mêmes informations

Opinions

Opposant

Proposant

Preuves

Énoncé sur le milieu

qui dira vingt4

tudes sur la situation de preuve 3
Études sur la situation de preuve 3
  • La leçon dure environ 1 heure. A la fin les élèves connaissent les nombres gagnants (à cause du jeu à deux équipes). La plupart connaissent le raisonnement réitéré pour établir tous les « théorèmes ».
  • On a observé un engagement très vif des élèves dans chacune des phases. Un grand nombre de prises de parole, de contestations, d’exemples et de contre-exemples, de défis et d retraits.
  • La principale difficulté pour le professeur est de distribuer la parole en fonction du déroulement du débat et non en fonction de la valeur des arguments ou des conclusions.
  • Les élèves apprennent les règles de l’argumentation: l’écoute de l’autre, la prise de parole régulée, la connaissance de l’état de ce qui est discuté, l’articulation des déclarations…
  • Ils apprennent aussi à déceler et à écarter les arguments rhétoriques non logiques

qui dira vingt4

conclusions et suites
Conclusions et suites
  • Les phases de cette leçon illustrent
  • trois types de situations auxquelles correspondent
  • trois types de manifestations de la pensée et du langage mathématique,
  • et trois types d’apprentissages distincts (Bateson)
  • Réf. Tableaux SA (action), SF (com, form), SV (arg, preuv)
  • Voir : comment dériver une situation d’un théorème ou d’une définition

qui dira vingt4

tudes de deux utilisations didactiques du m me probl me math matique
Études de deux utilisations didactiques du même problème mathématique
  • Deux utilisations de ce problème par les professeurs ont été soigneusement définies, contrôlées et comparées.
    • Stratégie 1. « Ouverte » (5 classes 101 élèves), conforme à l’exposé de la situation ci-dessus
    • Stratégie 2. « Fermée » (5 classes 106 élèves), pas de phase de formulation ni de validation. Après le jeu à 1 contre 1, la découverte est dirigée par le maître qui fait formuler ou formule lui-même les explications.

Il s’agit donc d’un exposé classique d’un problème et de sa solution

  • Les observateurs ont interrogé les élèves de diverses manières et effectué de nombreuses comparaisons
    • sur leurs connaissances, sur leur conviction, …:
    • le jour même, le lendemain et un mois après
    • Sur la situation C20-3 mais aussi sur C25-3, C24-3, C9-3, C33-5

qui dira vingt4

extraits des conclusions
Extraits des Conclusions
  • « la stratégie II (où les maîtres placent les élèves dans une situation de faible incertitude), offre le jour même de meilleurs résultats (que I). L'autorité du maître a une réelle efficacité pour une mémorisation et une conviction.
  • Mais déjà le lendemain les résultats chutent alors qu’ils se maintiennent et s’améliorent pour les élèves I.
  • La conviction transmise par le professeur diminue avec le temps, peut être parce qu’elle n'engage pas l'adhésion des élèves.
  • Au bout d’un mois les élèves de la stratégie I ont amélioré leurs résultats, contrairement aux autres.
  • La situation pédagogique basée sur la transmission directe du savoir de l'initiateur à l'initié obtient dans un temps de leçon plus restreint, un meilleur apprentissage, mais aussi une perte rapide de mémorisation et une moindre faculté de transfert dans premiers jours. Elle ne s'améliorera qu'avec le temps.
  • Le temps que l'on croit gagner, en réalité est perdu.

qui dira vingt4

slide23
« A l’aide d'une échelle de la certitude, nous avons pu avancer certaines conjectures :
  • Les enfants de la stratégie I sont plus aptes à élaborer un raisonnement mathématique et ils acquièrent une certitude d'autant plus forte qu'ils se trouvent plus aptes à le traduire dans leur discours pour bâtir un raisonnement nouveau.
  • Les enfants de la stratégie II atteignent un niveau de certitude moins élevé, bien qu'en un premier temps au moment des acquisitions, leur certitude soit meilleure »
  • Les observateurs signalent l’importance de ce qui se passe autour du théorème 8, résistance chez les élèves du groupe I, baisse sensible des résultats pour le groupe II.
  • Il s’agit en fait d’un conflit entre deux modèles
  • Mais la stratégie mise en place par les maîtres en situation fermée est aussi élaborée par une partie des enfants en situation ouverte, et pour ceux là, dès le théorème 11 acquis. Le théorème 8 acquis, le processus s’accélère

qui dira vingt4

3 de qui dira 20 la division

3. De « Qui dira 20? » à… la division

Un Curriculum insolite dans l’enseignement des mathématiques mais une bonne révision

qui dira vingt4

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1. Qui dira 25 ? 29 ? 30 ? (sans changer le pas).
  • a) Qui dira 25 ?
  • Les enfants reprennent le jeu 2 par 2 (comme pour la course à 20) en notant chaque fois les nombres qu'ils énoncent.
  • Cinq minutes après le commencement de la partie à 2, la majorité des enfants a demandé que l'on arrête le jeu à 2 parce qu'ils avaient trouvé « le truc »
  • Un élève a énoncé :
  • « il suffit de mettre 1 et après, d'aller de 3 en 3
  • Après une phase de vérification, toute la classe e accepté la proposition.
  • b) Qui dira 29 ?
  • On a procédé de la même manière que pour la course à 25.
  • Après deux parties de jeu à 2, un élève a énoncé : au lieu de commencer par 1, il faut commencer par 2 et aller de 3 en 3
  • Vérification par la classe. Proposition acceptée.

qui dira vingt4

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c) Qui dira 30 ? Même déroulement que précédemment.
  • Les enfants ont alors remarqué que la liste des nombres de la course à 20 était la même que celle de la course à 29. Ils ont déduit aussitôt que ce serait la même pour la course à 26, 23, 20, etc.
  • 2Même jeu en changeant le pas : qui dira 30?, 38, 40, etc.
  • II s'agit de trouver avant l'adversaire par quel nombre il faut commencer. Les enfants le cherchent par soustractions successives du « pas ».
  • Ainsi, le jeu " qui dira 428 ? avec un pas de 27 doit être commencé par 23 (on soustrait pour cela 15 fois 27 de 428). 15 est le quotient et 23 le reste de la division de 428 par 27.
  • C’est l’ancien « piquet à cheval » de nos ancêtres.
  • C'est en raccourcissant cette longue suite de soustractions et grâce à diverses découvertes (en particulier la possibilité de soustraire d'un coup 10, 100, 1 000 fois le pas) que les enfants réinventent la division.

qui dira vingt4

la division disposition des calculs
La division -Disposition des calculs.
  • Soit à effectuer la division 961 093:563. Le dividende est disposé d'abord comme l'indique la figure 1 (sous le poteau de rugby).
  • Le quotient sera disposé au-dessus de la barre,
  • les restes successifs sous le divi­dende ;
  • les multiplications auxiliaires se feront à gauche des poteaux.
  • La partie droite sera utilisée pour les décimales

QUOTIENT

DIVISEUR

DIVIDENDE

Soustractions du diviseur

qui dira vingt4

slide28

CALCULS EN LIGNE

CHIFFRES DU QUOTIENT…

0

Place pour les décimales

Ils peuvent resservir

RESTE

Le chiffre du quotient (ici 1) est placé au-dessus du chiffre des

unités du multiple (mille) que l'on soustrait (563), ici le 3.

qui dira vingt4

fin de id2 tsm2

FIN de ID2TSM2

qui dira vingt4