Cálculo de Campos Eléctricos y Magnéticos Universidad Nacional de Colombia Física 1000017

1. Cálculo de Campos Eléctricos y MagnéticosUniversidad Nacional de ColombiaFísica 1000017 G09N07carlos 2012

2. Cálculo de Campo Eléctrico • Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. x=0 x=L x=b

3. Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita Una carga uniforme Q, distribuida a lo largo del eje x desde x=0 a x=L, con densidad de carga lineal λ= Q/L. Para determinar el campo eléctrico producido por dicha carga en el punto x=b sobre el eje x en x=0, siendo x0>L. Tomamos un elemento dq=λdx de la carga lineal para considerarla como una carga puntual. y dq= λ dx x=b X=0 X=L x dx x0

4. Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita. Elegimos un pequeño elemento diferencial dx que dista x del origen. El punto del campo x=b se encuentra a una distancia r=x0-x del elemento diferencial dx. El campo eléctrico E debido a este elemento de carga esta dirigido a lo largo del eje x y su magnitud de acuerdo con la ley de Coulomb es:

5. Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita. Para determinar el campo total integramos para toda la carga lineal completa desde x=0 a x=L; Aplicando λ=Q/L tenemos el campo eléctrico Ex:

6. Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita. Puede verse que si x0es mucho mayor que L, el campo eléctrico en x0 es aproximadamente: Lo que nos demuestra que si estamos suficientemente lejos de la carga lineal, está se comporta como una carga puntual.

7. Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. y=b x=-L/2 x=0 x=L/2

8. Campo Eléctrico en un Punto de la Mediatriz de una Carga Lineal Finita Uniforme. y dE dEy θ dEx Y=b θο θ r dq= λdx ½ L x 0 dx

9. Teniendo en cuenta el esquema de la diapositiva anterior, el elemento cargado se encuentra sobre el eje x, desde x1=-L/2 a x2=L/2, y el punto b sobre el eje y, el elemento de carga dq= λdxy el campo dE. El campo tiene un componente paralelo a la carga lineal y otro perpendicular a ésta, dada la simetría de la distribución al sumar todos los elementos de carga de la línea, los componentes paralelos se anulan y el campo E quedara dirigido a lo largo del eje y.

10. La magnitud del campo producido por el elemento de carga dq=λdxes: Su componente en y es: Donde:

11. El campo total Ey se calcula integrando desde x=-1/2 L a x=+1/2 L. Por simetría por la distribución de la carga, cada mitad de la carga lineal contribuye al campo total de forma idéntica, lo cual nos permite integrar de x=0 a x=1/2 L y multiplicando por 2. es decir:

12. θ=0 en x=0, por lo tanto senθ=0 en el limite inferior; para el limite superior x=L/2, θ=θ0. El campo es igual:

13. Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por un aro de radio a con una distribución lineal de carga λ. Halle una expresión para E(y) y=b (0,0)

14. Campo Eléctrico Sobre el Eje de una Carga Anular. θ dE dEy b dEI θ r y dq a

15. En la figura anterior se observa un anillo cargado de radio a. El campo eléctrico dE en el punto b sobre el eje y debido al elemento dq posee un componente a lo largo del eje y dEy y uno perpendicular dEI a ese mismo eje. Cuando los componentes perpendiculares correspondientes a todos los elementos se suman, se cancelan entre sí, de tal modo que el campo neto está dirigido a lo largo del eje y.

16. Geométricamente: El campo debido al elemento de carga es

17. El campo debido al anillo completo cargado es: Como y no varia al integrar los elementos de carga: Es decir:

18. Cálculo de Campo Magnético Calcule el campo magnético en el punto b producido por una corriente I que circula por el aro de radio a . Halle una expresión para B(y) y=b (0,0)

19. Campo Magnético en un Punto Sobre el Eje de una Espira de Corriente Circular x dBx dB R θ r θ b y dBy z

20. La figura anterior permite calcular el campo magnético en un punto del eje de una espira circular a una distancia y de su centro. Considerando el elemento de corriente en la parte superior de la espira, como en todos los puntos de la espira, es tangente a la espira y perpendicular a dirigido desde el elemento de corriente hacia el punto b. Al igual el campo magnético dB debido a este elemento se encuentra perpendicular a y a

21. Geométricamente: Como y son perpendiculares: La magnitud de dB es:

22. Si se suman los elementos de corriente de la espira, los componentes perpendiculares de dB suman 0 , por lo tanto dBx=0, solo calculamos los componentes de dBy que son paralelos al eje. Por lo tanto el componente y del campo es: El campo debido a la espira completa, integrando dBy alrededor de la espira:

23. Como y y R no varían al sumar para todos los elementos de la espira, podemos escribir: La integral alrededor de la espira es 2πR, entonces el campo magnético en el eje y de la espira es igual a:

24. En el centro de la espira, y=0: Lejos de la espira, y>>R:

25. Cálculo de Campo Magnético Usando la Ley de Biot & Savart calcule, en el punto b el campo magnético de una corriente I que fluye por un alambre de longitud infinita Y=b I

26. Campo Magnético Alrededor de un Conductor Recto Delgado con Longitud Infinita. y Y=b r a ds O X x

27. A partir de la ley de Biot-Savart: Guiados por la figura anterior consideramos un elemento de longitud ds que está a una distancia rde b. La dirección del campo magnético en b generado por el elemento apunta hacia fuera de la hoja, ya que se orienta hacia fuera de la hoja, vector k.

28. Tomando a O como origen y con b a lo largo del eje y positivo, con k como vector unitario que apunta hacia fuera de la pagina, tenemos: Ya que todos los elementos de corriente producen un campo magnético en dirección k, nos permite calcular el campo magnético de un elemento de corriente.

29. Por lo tanto: Puesto que: Derivando y sustituyendo:

30. Integrando: En el caso de un alambre recto de longitud infinita, los ángulos: Con longitud entre: Por lo tanto: El campo magnético: