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El método de los casquetes cilíndricos

TEMAS DE CÁLCULO INTEGRAL. El método de los casquetes cilíndricos. por Aquiles Páramo Fonseca Departamento de Matemáticas- Universidad de Los Andes Bogotá – Colombia - Junio del 2004. Temas. Introducción Planteamiento general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo final. ◙.

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El método de los casquetes cilíndricos

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Presentation Transcript


  1. TEMAS DE CÁLCULO INTEGRAL El método de los casquetes cilíndricos por Aquiles Páramo Fonseca Departamento de Matemáticas- Universidad de Los Andes Bogotá – Colombia - Junio del 2004

  2. Temas Introducción Planteamiento general Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo final ◙

  3. IntroducciónCebollas y troncos de madera

  4. ¿Qué es el método de los casquetes cilíndricos? Es un método de cálculo integral que permite evaluar volúmenes de sólidos de revolución. En ciertas situaciones es el único método viable. El método de las secciones transversales no siempre es fácil de aplicar y a veces no puede aplicarse en absoluto.

  5. Por ejemplo… Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.

  6. El método de las secciones transversales Para calcular el volumen se podría pensar en utilizar el método de las secciones transversales. En este caso serían secciones horizontales.

  7. Pero… • Las secciones transversales son, en unas zonas del sólido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. • Además es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en función de la variable y, lo que no es fácil de lograr en este caso. y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 x = ?

  8. En cambio… • El método de los casquetes cilíndricos funciona muy bien en este caso. • Consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan los unos dentro de los otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total.

  9. Cebollas y troncos de madera Es importante entender bien la estructura geométrica involucrada en el método de los casquetes cilíndricos.

  10. Cebollas y troncos de madera

  11. Cebollas y troncos de madera

  12. Otros nombres del método de las “capas” cilíndricas. de los “cascarones” cilíndricos. de las “cáscaras” cilíndricas de las “envolturas” o “envolventes” cilíndricas. En inglés: “cylindrical shells” ◙

  13. Planteamiento generalEl método de los casquetes cilíndricos

  14. Antes que nada… El volumen de un casquete cilíndrico se calcula restando el volumen del cilindro interior al volumen del cilindro exterior:

  15. Así que…

  16. El volumen de un casquete cilíndrico V = (circunferencia)(altura)(grosor)

  17. El volumen de un casquete cilíndrico V = (circunferencia)(altura)(grosor)

  18. El problema general Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.

  19. El problema general Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.

  20. El problema general Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.

  21. El método de los casquetes cilíndricos Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos todos del mismo ancho. Sea xi* el punto medio del subintervalo i-ésimo. Consideramos el  rectángulo Ri construido sobre el subintervalo i-ésimo con una altura de f (xi*). Lo hacemos girar en torno del eje y.

  22. El método de los casquetes cilíndricos Se produce un casquete cilíndrico que tiene como volumen:

  23. El método de los casquetes cilíndricos Se ponen n casquetes cilíndricos de éstos, los unos dentro de los otros. Se suman todos sus volúmenes:

  24. El método de los casquetes cilíndricos La aproximación al volumen del sólido será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos. Se puede mostrar que:

  25. Regla general El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral: ◙

  26. Ejemplo 1El problema del comienzo

  27. Recordando… Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.

  28. Recordando… Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.

  29. El método de los casquetes cilíndricos Dividimos el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan los unos dentro de los otros.

  30. El método de los casquetes cilíndricos La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función: f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1

  31. La integral para el volumen es:

  32. Ejemplo 2El volumen de un cono

  33. El problema del cono Demostrar, empleando el método de los casquetes cilíndricos, que el volumen de un cono de altura h y con radior en su abertura está dado por:

  34. Generando el cono El cono puede ser visto como el sólido que se produce al hacer girar, alrededor del ejey,  la región triangular cuyos vértices son (0,0), (r,0) y (0,h), dondeh  yrson números reales positivos.

  35. Generando el cono La ecuación de la recta que pasa por los puntos (r,0) y (0,h) esy = (−h/r ) x + h, puesto que su pendiente es m = − h/r y su intercepto con el eje yes el punto (0,h).

  36. El método de los casquetes cilíndricos Construimos el cono mediante una serie de casquetes cilíndricos, incrustados los unos dentro de los otros. Los radios varían de 0 a ry las alturas de 0 a h. h r

  37. El método de los casquetes cilíndricos Los casquetes cercanos al centro son altos y su radio es pequeño, mientras que los que se sitúan más al exterior tienen un radio amplio pero su altura es pequeña.

  38. El método de los casquetes cilíndricos La altura de los casquetes cilíndricos está dada por la recta y = (−h/r ) x + h.

  39. La integral para el volumen es:

  40. Ejemplo 3Una región delimitada por dos curvas

  41. Una región delimitada por dos curvas Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola y = − x2 + 4x − 3, por la cúbica  y = x3 − 6x2 + 12x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.

  42. El sólido de revolución

  43. Dos funciones involucradas En este caso, a diferencia de los ejemplos anteriores,  hay dos funciones involucradas que son:

  44. El método de los casquetes cilíndricos Consideremos que este sólido está formado por una serie de casquetes cilíndricos incrustados los unos dentro de los otros.

  45. La altura de un casquete cilíndrico Esta vez, los casquetes no sólo varían en cuanto a su radio y a su altura, sino que varían además en cuanto a su ubicación respecto del eje x: Arriba: y = x3 − 6x2 + 12x − 5 Abajo: y = − x2 + 4x − 3

  46. La altura de un casquete cilíndrico En este caso, un casquete cilíndrico de radio x tiene como altura:

  47. La integral para el volumen es:

  48. Ejemplo finalLa región gira alrededor de una vertical distinta al eje y

  49. El problema Hallar el volumen del sólido de revolución que se produce al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la región que está comprendida entre el eje x, la curva y = f (x) y las rectas verticales x = 2,  x = 3, donde

  50. El sólido de revolución

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