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ESPAD III * TC 23

ESPAD III * TC 23. TEOREMAS DE SEMEJANZA. TRIÁNGULOS SEMEJANTES. Dos triángulos serán semejantes si presentan igualdad de formas pero distintas medidas en los lados. En otras palabras, si sus lados son proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales.

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ESPAD III * TC 23

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Presentation Transcript

  1. ESPAD III * TC 23 TEOREMAS DE SEMEJANZA

  2. TRIÁNGULOS SEMEJANTES • Dos triángulos serán semejantes si presentan igualdad de formas pero distintas medidas en los lados. • En otras palabras, si sus lados son proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales. • La razón de proporcionalidad de sus lados o razón de semejanza es: • a’ b’ c’ • r = ---- = ---- = ----- • a b c a b a’ b’ c c’

  3. TRIÁNGULOS SEMEJANTES • No siempre vamos a saber si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales y los tres ángulos correspondientes iguales. • Por ello se tienen tres criterios para su identificación. • CRITERIOS: • 1.- Tienen los lados proporcionales. a=2,5 b=2 a=5 • La razón de proporcionalidad, en el ejemplo, es: • 5 4 3 • r = ---- = ---- = ------ = 2 • 2,5 2 1,5 b=4 c=1,5 c=3

  4. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercer ángulo también será igual, pues siempre: • A+B+C = 180º • C=180º - A – B • Dos triángulos serán semejantes si : • 2.- Tienen dos ángulos iguales. A=70º B=80º A=70º B=80º

  5. Dos triángulos serán semejantes si : • 3.- Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido vale igual. • En el ejemplo de la figura ambos triángulos son rectángulos. • Pero sirve el criterio de semejanza para cualquier tipo de triángulos. b=2 A=90º b=4 c=1,5 A=90º c=3

  6. POLÍGONOS SEMEJANTES • Todo polígono se puede dividir en triángulos. • Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales. • Dos polígonos serán semejantes si tienen los lados correspondientes proporcionales y los ángulos correspondientes iguales. • a b c d • --- = --- = --- = --- = r • a’ b’ c’ d’ • A=A’ , B=B’ , C=C’ , D=D’ A c D d b B a C A’ c’ D’ d’ b’ B’ a’ C’

  7. TEOREMA DE LA ALTURA • TEOREMA DE LA ALTURA • En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa coincide con el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. • Los triángulos ABC y ABH son semejantes por tener dos ángulos iguales, el de 90º y el ángulo B que comparten. Asimismo los triángulos ABC y AHC son semejantes por tener dos ángulos iguales, el de 90º y el ángulo C que comparten. A • Por tanto los triángulos ABH y AHC son semejantes. • Se cumplirá pues el Teorema de Tales, al ser semejantes los dos triángulos resaltados: • h n • ---- = -----  h2 = m.n • m h h H m n B a C

  8. TEOREMA DE LA ALTURA • Ejemplo 1 • En un triángulo rectángulo la altura corta a la hipotenusa en dos segmentos de 9 y 4 cm de longitud. • Hallar la medida de la altura y de los catetos del triángulo rectángulo. • Por el Teorema de la altura: • h2 = m.n  h2 = 4.9  h2 = 36  h=6 • Por el Teorema de Pitágoras: • c2 = m2 + h2  c2 = 42 + 62  c2 = 52 • b2 = n2 + h2  b2 = 92 + 62  b2 = 117 A c b h m=4 n=9 B C a h = 6 cm c=√52=√4.13=2.√13 cm b=√117=√9.13=3.√13 cm

  9. TEOREMA DE LA ALTURA • Ejemplo 2 • En un triángulo rectángulo la altura, de 3 cm, corta a la hipotenusa en dos segmentos, uno de los cuales mide 1 cm. • Hallar el otro segmento y los catetos del triángulo rectángulo. • Por el Teorema de la altura: • h2 = m.n  32 = 1.n  9 = n • Por el Teorema de Pitágoras: • c2 = m2 + h2  c2 = 12 + 32  c2 = 10 • b2 = n2 + h2  b2 = 92 + 32  b2 = 90 A c b h=3 m=1 n B C a n = 9 cm c=√10 cm b=√90 =√9.10=3.√10 cm

  10. TEOREMA DEL CATETO • TEOREMA DEL CATETO • En un triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella. • Si el cateto a considerar es “c”, entonces “m” es la proyección de “c” sobre la hipotenusa “a”. • Si el cateto a considerar es “b”, entonces “n” es la proyección de “b” sobre la hipotenusa “a”. A • Por tanto podemos escribir la proporción: • m c • ---- = -----  c2 = a.m • c a • E igualmente: • n b • ---- = -----  b2 = a.n • b a b c h H m n B a C

  11. TEOREMA DEL CATETO • Ejemplo 1 • En un triángulo rectángulo la proyección del cateto c sobre la hipotenusa, de 9 cm de longitud, mide 4 cm. • Hallar los dos catetos y la altura. • Por el Teorema del cateto: • c2 = m.a  c2 = 4.9  c2 = 36  c=6 • La otra proyección será: • a=m+n  n = a – m = 9 – 4 = 5 cm • Por el Teorema del cateto: • b2 = n.a  b2 = 5.9  b2 = 45  b=3.√5 cm • Por el Teorema de la altura: • h2 = m.n  h2 = 4.5  h2 = 20  h=2.√5 cm A c b h m=4 n B C a=9

  12. TEOREMA DEL CATETO • Ejemplo 2 • En un triángulo rectángulo el cateto b mide 6 cm y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa mide 4 cm. • Hallar la hipotenusa, el otro cateto y la altura. • Por el Teorema del cateto: • b2 = n.a  62 = 4.a  36 = 4.a  a=9 • La otra proyección será: • a=m+n  m = a – n = 9 – 4 = 5 cm • Por el Teorema del cateto: • c2 = m.a  c2 = 5.9  c2 = 45  c=3.√5 cm • Por el Teorema de la altura: • h2 = m.n  h2 = 4.5  h2 = 20  h=2.√5 cm A c b=6 h m n=4 B C a

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