A Leontief-modell

1. A Leontief-modell

2. A Leontief-modell • egyszerű statisztikai adatokból - egy több szektoros gazdaság - szektorok közti termék és jövedelem-áramlási adatainak elemzésére és tervezésre felhasználható modell. • Alkalmas gazdasági egységek termelési folyamatainak elemzésére - ország - régió - több termékes vállalat esetében

3. Fajtái: • exogén változókat tekintve Zárt modell: minden egyes input termelése a modellben leírt folyamatok által meghatározott, és így nincs olyan felhasználás, amelynek szintje vagy arányai külső adottságot jelentenének. Ekkor a kormányzat, a háztartás is termelő szektornak minősül. Nincs exogén változó. Nyílt modell: az elsődleges erőforrások vagy a végső felhasználásra kerülő termékek mennyisége adott, és ezek alapján határozzuk meg az egyes szektorok kibocsátását. • Külkereskedelmi szempontból nyílt modell: az egyes jószágok nettó exportja (export, import különbsége) exogén • Időbeli folyamatok szempontjából: statikus: egy időszakos modell, adott kibocsátáshoz határozza meg a szükséges inputráfordításokat dinamikus: a készletek, végső felhasználási szintek időbeli alakulását vizsgálja a megadott technológia alapján. Lehet diszkrét és folytonos.

4. A modell feltételei • kompetitív piacokat tételez fel, ahol a vállalatok árelfogadóak • a gazdaságban n szektor működik • minden szektor csak egy terméket termel, azaz minden terméket csak egy szektor állít elő. Ez azt jelenti, hogy nincs ikertermék és ikertermelés a gazdaságban. (Ennek a figyelembe vétele a lineáris tevékenységelemzési modell segítségével történhet.) • Az elemzés rövid távra igaz, az inputokat nem lehet egymással helyettesíteni. Az erőforrások tökéletesen kiegészítők, rögzített arányban használhatók fel a termelési folyamatban. Ekkor a termelési függvényt például a következő formában lehet megadni, ha csupán két erőforrást, munkát és tőkét használ fel a gazdaság: .................................... (1) (Tökéletesen kiegészítő inputtényezők esetén az isoquant görbék „L” alakúak, a sarokpontokon átmenő egyenes meredekségét pedig a kiegészítés fentebb megadott aránya határozza meg. )

5. Ekkor a kiegészítés arányát a termelési függvényben megadott pozitív paraméterek aránya alapján lehet kiszámítani. Ebben az esetben egységnyi kibocsátás megtermeléséhez tőketényező és egységnyi munkaerő szükséges, vagyis a kiegészítés rögzített aránya . Az ettől eltérő arányú inputfelhasználás esetén valamelyik erőforrás felhasználása nem hatékony.

6. a termelési függvényben lévő paraméterek a parciális termelési függvény meghatározásához is szükségesek. A kibocsátás az egyes erőforrások függvényében a következők szerint alakul: ......................................... (2) • Ez azt jelenti, hogy a termelési tényezők és a kibocsátás között lineáris összefüggés van, ezért is nevezik a Leontief-modellt lineáris modellnek is. • A lineáris parciális termelési függvényeknek köszönhetően a termelés átlagterméke és ennek reciproka a ráfordítási együttható is állandó. • A ráfordítási együttható azt mutatja meg, hogy egységnyi kibocsátás megtermeléséhez az adott inputtényezőből mennyi szükséges. A Leontief-modell ráfordítási együtthatói így határozhatók meg: • qj = min{a1j×q1j; a1j×q1j; a2j×q2j; ... ajj×qjj; ... anj×qnj} .......... (3)

7. Tehát egy-egy termék kibocsátását az erőforrások (a többi termék, azaz a szektorok) közül a szűk keresztmetszet határozza meg. Legyen ..................................... (4) • A (4) összefüggés a j jószág kibocsátásához szükséges i inputmennyiséget mutatja meg, ahol az α paraméter az i input együtthatója a termelési függvényben. • A ráfordítási együtthatókat a folyó ráfordítási mátrix (R) tartalmazza. Az R mátrix négyzetes mátrix, mert az ágazatok és termékek száma egyaránt n. • A folyó ráfordítási mátrix nem szinguláris, mert szingularitása azonos arányú inputfelhasználást jelentene bizonyos ágazatokban, és ez ellentmondana az ikertermékek és iker-termelési eljárások kizárásának.

8. A statikus Leontief modell • A szektorok nettó kibocsátása azt jelenti, hogy az adott termék termelési mennyisége és többi szektorban felhasznált mennyiségének mekkora a különbsége. Egy ágazatra a nettó kibocsátás: ...................... (5) • Ezt mátrixos alakba írva összefoglalhatjuk az összes vizsgált ágazatra: .................................. (6) • Ekkor v a nettó kibocsátások vektora, q az összes kibocsátást mutatja meg, Rq pedig a termelő felhasználást az összes inputból. Az (E  R) mátrixot Leontief-mátrixnak nevezik, és azt mutatja meg, hogy adott kibocsátás mekkora végső fogyasztást tesz lehetővé. A Leontief mátrix inverze a Leontief-inverz segítségével pedig kiszámítható, hogy adott végső felhasználáshoz mekkora szektoronkénti kibocsátás szükséges, hiszen:

9. A duális feladat • A Leontief-modell segítségével a hozzáadott értékek is meghatározhatók szektoronként. A hozzáadott érték (profit) azt jelenti, hogy adott termék egységára és átlagköltsége között mekkora a különbség. Egy szektor hozzáadott értéke megegyezik az egységár és az egyes inputok fajlagos költségeinek a különbségével, vagyis a j termék profitja: • ......................... (8) • Vagyis a j ágazat hozzáadott értéke megegyezik a j ágazatban érvényes egységár és a termeléshez felhasznált inputok egységköltségének különbségével. • Az összes ágazat hozzáadott értékeit a következő egyenletrendszer mutatja meg: • .......................... (9)

10. A Leontief-mátrix a duálisan megfogalmazott egyenletrendszerben is megjelenik, itt azt mutatja meg, hogy egy adott jószág egységára mekkora hozzáadott érték megtermelését teszi lehetővé adott technológia mellett. A Leontief-inverz segítségével pedig kiszámítható, hogy adott hozzáadott érték eléréséhez mekkora ár kialakulása szükséges. • Ahhoz, hogy a hozzáadott értékhez ki lehessen számítani a szükséges árrendszert vagy a nettó kibocsátáshoz az összes termelést, fontos, hogy a Leontief-mátrix invertálható legyen. Ezen kívül a Leontief-inverz nem negatív, akkor létezhet csak pozitív árakhoz pozitív hozzáadott érték, és pozitív termeléshez pozitív nettó kibocsátás.

11. A Leontief-inverz • Az R mátrix Leontief-inverze létezik és nem negatív, ha • létezik olyan nem negatív kibocsátási vektor, hogy q > Rq ezzel egyenértékű állítás, hogy létezik olyan nem negatív árrendszer, amely mellett p > pR • R mátrix végtelen hatványsora konvergens • R domináns sajátértéke (legnagyobb abszolút értékű sajátértéke) kisebb, mint egy. • A fenti három feltétel egyenértékű, ezek egyszerre teljesülnek. • Az első feltétel a gazdasági rendszer produktivitását jelenti. Egy rendszer akkor produktív, ha minden szektorban keletkezik hozzáadott érték, és minden szektor realizál profitot. • A folyó ráfordítási mátrix végtelen hatványsora segítségével a szektorok közti kapcsolatokat vizsgálhatjuk meg. Ha R mátrix rij eleme pozitív, akkor a j ágazat termelési közvetlenül függ az i ágazat kibocsátásától.

12. A másodfokú függőség elemzése szempontjából az R2 mátrix elemeinek vizsgálata szükséges, mert ennek elemei mutatják meg, hogy a vizsgált szektorok inputjaihoz milyen erőforrások szükségesek. Ha ennek a mátrixnak egy eleme pozitív, akkor a vizsgált két ágazat között másodfokú függőség figyelhető meg. • Amennyiben bármely két ágazat közötti bármely függőség létét szeretnénk elemezni, akkor az R mátrixból képzett végtelen sorozat összegének elemeit kell vizsgálni, ez azonban megegyezik a Leontief-inverzzel: • E + R + R2 + …+ Rn +…= (E - R) -1 ............... (10) • (10) szerint a Leontief-inverz bármely elemének pozitivitása azt jelenti, hogy a vizsgált két ágazat között valamilyen fokú függőség biztosan fennáll. Ha egy adott elem nulla, akkor viszont a vizsgált j ágazat teljesen független az i termelésétől.

13. A dinamikus Leontief-modell • A dinamikus Leontief-model vizsgálatához szükséges a készletek alakulásának elemzése is. A termeléshez szükséges inputokból a szektorok készleteket képeznek, ez a termelési folyamat időszükséglete miatt elengedhetetlen. Az adott időszak termeléséből eredő nettó kibocsátás készletváltozást jelent az időszakok között. • Mivel az összes inputból képződhetnek készletek, ezért a következőkben bemutatott modell készletlekötési mátrixot használ. Ennek egy eleme azt mutatja meg, hogy egységnyi termelés eléréséhez a vizsgált inputból mekkora készletmennyiséget kell felhalmoznunk. A fajlagos készletigények a készletlekötési mátrixban (B) állnak. Ennek szerkezetet tükrözi a folyó ráfordítási mátrix szerkezetét, hiszen csak olyan erőforrásokból szükséges készleteket képeznünk, amelyeket a termelésben felhasználunk. A folyó ráfordítási együtthatókon kívül azonban a készletek várható élettartama szintén meghatározza B szerkezetét. Ezért B mátrix szinguláris is lehet.

14. A dinamikus Leontief-modell tehát primális formájában azt fejezi ki, hogy a készletek változása megegyezik a vizsgált időszak nettó kibocsátásával. Duális formájában pedig a készletek értékváltozása a hozzáadott értékkel egyenlő. Ezeket az egyenletrendszereket így írhatjuk fel: B(t)q(t+1) – B(t)q(t) = q(t) – R(t)q(t) p(t+1)B(t) = p(t) – p(t)R(t) ............. (11) • A (10) egyenletrendszer nem feltételezi a technológia állandóságát az egyes időszakok között, hiszen a folyó ráfordítási mátrix és a készletlekötési mátrix is változhat. Ráadásul az egyenletrendszerek megoldhatóságához fel kell tételeznünk azt, hogy a készletlekötési mátrix nem szinguláris.

15. A problémát úgy lehet kiküszöbölni, hogy a (11) rendszer egyensúlyi megoldását vizsgáljuk. Az egyensúly akkor alakul ki, ha az árakat és kibocsátási szinteket meghatározó vektor időben nem változik, ez viszont akkor lehet, ha a folyó ráfordítási és készletlekötési mátrix is konstans. Az egyensúly a következő formában írható fel: q = (E – lB)q p = (E – lB)p ........................ (12) • A (11) egyenletrendszerben λ a termelés egyensúlyi növekedési üteme, a duális egyenletrendszerben pedig az egyensúlyi profitrátát fejezi ki. Vagyis ha egyensúly van a gazdaságban, akkor ez szükségessé teszi a termelés valamilyen változását és valamekkora realizálható profitrátát is. Másként kifejezve nem lehet bármely növekedési és profitráta egyensúlyi. Az egyensúlyi növekedési és profitráta pedig a technológia és a termeléshez szükséges készlet által meghatározható.

16. A (11) egyenletrendszer alapján az egyensúlyi növekedési ráta úgy határozható meg, hogy az egyenletrendszer jobb oldalán álló mátrix domináns sajátértékének egységnyinek kell lennie. Vagyis azt a növekedési rátát keressük, amely mellett a jobb oldalon álló mátrix teljesíti a fenti feltételt. • A domináns sajátértékhez tartozhat csak pozitív sajátvektor [A Perron-Frobenius tételek miatt] a negatív és komplex sajátvektorok viszont a rendszer oszcillációját eredményezik az egyensúly körül. Mivel azonban az egyensúlyi növekedési ráta az egységnyi domináns sajátérték mellett alakul ki, ezért a szektorok kibocsátásának és a termékek árainak oszcillációja nem csillapul idővel, hanem állandó.

17. A szektorok ciklikus ingadozása amiatt alakul ki, hogy a túlkeresletre és túlkínálatra nem tudnak azonnal reagálni a vállalatok. A túlkeresletet csak a készletszintek csökkenéséből, a túlkínálatot a készletek növekedéséből észlelik. Így a reakciójuk nem lehet azonnali, vagyis a piaci mozgás következtében alakul ki a kibocsátások ciklikus ingadozása. • Az árak és mennyiségek oszcillációja nem azonos hosszúságú, a ciklusok hossza a negatív és komplex sajátértékektől függ.

18. Eredeti, Leontief-féle mintapélda • zárt gazdaság • a gazdaság szerkezeti mátrixa: • a valóságban értékben (pénzben) készítik, ezért reálértékkel kell számolni!

19. a számítás • a Leontief mátrix: • és inverze: • megadja, hogy az x1 (mezőgazdaság) és x2 (ipar) milyen összetételű kibocsátása felelne meg a „külső” háztartás, mint végső fogyasztó részére: • x1 = 1,4570.y1 + 0,6623.y2 = 1,4570×55 + 0,6623×30= 100 • x2 = 0,2318.y1 + 1,2417.y2 = 0,2318×55 + 1,2417×30= 50

20. Az y1 és y2 végső fogyasztás létezésének feltétele, hogy a Leontief-inverz szemipozitív legyen, azaz bij 0, i,j-re. A szemipozitívitás elégséges feltétele, hogy a gazdaság szerkezeti mátrixának egyetlen oszlopösszege se legyen nagyobb 1-nél és legalább egy oszlop összege kisebb legyen 1-nél. • A fenti feltételt kielégíteni nem tudó nemzetgazdaság képtelen önmaga fenntartására, mivel az összes ágazat összevont szükségletei meghaladják a teljes termelés lehetőségét. Amikor a szerkezeti mátrixot az értékekből vezetik le, a legtöbb esetben a feltételek teljesülnek.

21. Nyitott gazdaság • Az export-import bevezetése: • A teljes végső kereslet új oszlopa a következő lesz: yi = xi,n+1 + ei

22. a gazdaság teljes munkaszükséglete változatlan maradt, mivel a 20 zsák importált gabona munkatartalma megegyezett a 8 m exportált szövetével. • egy xi jószág importjának növekedése csökkenti az ágazat kibocsátását, ami kihat a többi jószág kibocsátására is, csökkentve azokat. Valamilyen ponton az xi kibocsátása zérussá válik, azaz ezen jószág teljes közvetlen és közvetett keresletét importból fedezik. Az ilyen jószágot „versenyen kivüli”-nek nevezzük, különösen akkor, ha a keresletük nagymértékű növekedése sem váltja ki hazai előállításukat (kávé, különféle ásványok, stb.). Ezen jószágok teljes hazai keresletének kiszámítási módja megegyezik a munka iránti kereslet számításával.

23. Árak az input-output rendszerben • (EAT).p = v • p = (EAT) 1.v • p1 = 1,4570.v1 + 0, 2318.v2 • p2 = 0,6623.v1 + 1,2417.v2 • Mivel a mezőgazdaság egységtermékére eső összeg 0,8 mó, az iparéra 3,6 mó volt, ezt behelyettesítve kapjuk, hogy p1 = 2 $, p2 = 5 $. Ez az eredmény csak akkor kapható meg, ha az ÁKM-ben fizikai egységekben szerepelnek a ráfordítások és a kibocsátások (a fizikai mértékegységekben történő számoláshoz legalább két, eltérő időpontban készített ÁKM szükséges).

24. VÉGE