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1. 如图，四边形 ABCD 是等腰梯形， AD ∥ BC 。已知 ∠ B=60° ， AD=15 ， AB=45 ，则 BC= 。

课前冲浪. 1. 如图，四边形 ABCD 是等腰梯形， AD ∥ BC 。已知 ∠ B=60° ， AD=15 ， AB=45 ，则 BC= 。. 2. （ 2010· 大理中考）如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC,AC 交 BD 于点 O ，要使它成为等 腰梯形需要添加的条件是（ ） （ A ） OA=OC （ B ） AC=BD （ C ） AC⊥BD （ D ） AD=BC

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1. 如图，四边形 ABCD 是等腰梯形， AD ∥ BC 。已知 ∠ B=60° ， AD=15 ， AB=45 ，则 BC= 。

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Presentation Transcript

  1. 课前冲浪 1.如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC。已知∠B=60°，AD=15，AB=45，则BC=。

  2. 2.（2010·大理中考）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC,AC交BD于点O，要使它成为等 腰梯形需要添加的条件是（ ） （A）OA=OC （B）AC=BD （C）AC⊥BD （D）AD=BC 【解析】选B.因为四边形ABCD是梯形，AD∥BC,所以需要添加的条件为AB=CD或AC=BD或∠ABC=∠DCB等，所以选B.

  3. 3.（2010·达州中考)如图，在一块形 状为直角梯形的草坪中，修建了一条 由A→M→N→C的小路（M、N分别是AB、 CD中点）.极少数同学为了走“捷径”， 沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了( ) (A)7 m (B)6 m (C)5 m (D)4 m

  4. 【解析】选B.如图，由勾股定理得 作DE⊥BC于E， 则CE=16-11=5（m）, DE=AB=12（m）, ∴ 又MN为梯形ABCD的中位线， ∴MN= AM=6（m）， CN=6.5 m,A→M→N→C的小路的长度为6+13.5+6.5=26(m), ∴26-20=6（m）.

  5. 4。如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α. (1)①当α=____度时，四边形EDBC是等腰梯形， 此时AD的长为_____； ②当α=____度时，四边形EDBC是直角梯形， 此时AD的长为______； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形， 并说明理由．

  6. 5.（2011·宿迁中考）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平 分线的交点E恰在AB上.若AD=7 cm，BC=8 cm，则AB的长度是_________cm. 【解析】因为AB∥DC，所以∠AED=∠EDC,又DE是∠ADC的平 分线，所以∠ADE=∠EDC，所以∠AED=∠ADE，所以AE=AD= 7 cm；同理EB=BC=8 cm，所以AB=AE+EB=7+8=15(cm). 答案:15

  7. 6.（2011·呼和浩特中考）如图所示，在 梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分 线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE，若四 边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积 为___________.

  8. 【解析】如图，延长BA，CD相交于点F，因 为CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，所以 CF=CB，因为BE=2AE，所以AF=AE，因为 AD∥BC，所以△FAD∽△FBC,S△FAD∶ S△FBC=1∶16，所以S四边形ADCE∶S四边形ADCB=7∶15.因为四边形 AECD的面积为1，所以四边形ABCD的面积为 答案:

  9. 梯形的有关计算 【例1】(2010·鸡西中考）综合实践活动课上,老师让同学们 在一张足够大的纸板上裁出符合如下要求的梯形,即“梯形 ABCD，AD∥BC，AD=2分米， 梯形 的高是2分米”．请你计算裁得的梯形ABCD中BC边的长度． 【思路点拨】作梯形的高，分情况讨论即可.

  10. 【自主解答】如图,AE和DF为梯形ABCD的高，可知 EF=AD=2分米 应分以下三种情况: ①如图1，利用勾股定理可求出BE=1分米，CF=2分米， ∴BC=BE+EF+FC=5分米 ②如图2，利用勾股定理可求出BE=1分米，CF=2分米， ∴BC=EF-BE+FC=3分米.

  11. ③如图3，利用勾股定理可求出BE=1分米，CF=2分米，可得到C与E重合.③如图3，利用勾股定理可求出BE=1分米，CF=2分米，可得到C与E重合. ∴BC=1分米.

  12. 练习： 1.（2011·湖州中考）如图，已知梯形ABCD， AD∥BC,对角线AC，BD相交于点O，△AOD与 △BOC的面积之比为1∶9，若AD=1，则BC的 长是_______. 【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方.由于它们的面积之比是1∶9，所以AD∶BC=1∶3，从而可求出BC=3. 答案:3

  13. 2.（2011·陕西中考）如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则 梯形ABCD面积的最大值为_______. 【解析】设AC、BD的交点为F,过D作DE∥AC交BC的延长线于E，DH⊥BC于H， ∵DE∥AC，AD∥BC， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴AC=DE，AD=CE=3，∠BFC=∠BDE=90°,△ADC≌△ECD,

  14. ∴S△ADC=S△DCE. ∵S△ABD=S△ADC,∴S△ABD=S△DCE. 即梯形ABCD的面积与△BDE的面积相等. 在Rt△BDE中，∵BE=BC+AD=10， ∴当Rt△BDE为等腰直角三角形时，BE边上的高最大，面积也 最大，即当BD=DE时，梯形ABCD的面积最大. ∴ ∴梯形的面积的最大值是 答案:25

  15. 等腰梯形的性质 【例2】(2011·芜湖中考）如图,在梯形 ABCD中,DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC, ∠A=60°.过点D作DE⊥AB,过点C作 CF⊥BD,垂足分别为E、F，连结EF， 求证：△DEF为等边三角形. 【思路点拨】

  16. 【自主解答】因为DC∥AB，AD=BC，∠A=60°,所以∠ABC=∠A=60°,又因为BD平分∠ABC，所以【自主解答】因为DC∥AB，AD=BC，∠A=60°,所以∠ABC=∠A=60°,又因为BD平分∠ABC，所以 ∠ABD=∠CBD= 因为DC∥AB,所以∠BDC=∠ABD=30°, 所以∠CBD=∠CDB,所以CB=CD. 因为CF⊥BD，所以F为BD的中点, 又因为DE⊥AB，所以DF=BF=EF. 由∠ABD=30°，得∠BDE=60°， 所以△DEF为等边三角形.

  17. 3.（2011·邵阳中考）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2 cm，则上底DC的长是_________cm.

  18. 【解析】∵AC⊥BC，∠B=60°，∴∠BAC=30°， ∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC=30°，∵AD=BC， ∴∠DAB=∠B=60°，∴∠DAC=30°， ∴∠DAC=∠DCA，∴DC=AD=BC=2 cm. 答案:2

  19. 4.（2011·温州中考）如图，在等腰梯 形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点. 求证：△ADM≌△BCM. 【证明】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， ∴AD=BC，∠A=∠B.∵点M是AB的中点， ∴MA=MB.∴△ADM≌△BCM.

  20. 等腰梯形的判定 【例3】(2010·南充中考）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，点M是BC的中点，且MA＝MD． 求证：四边形ABCD是等腰梯形． 【思路点拨】

  21. 【自主解答】∵MA＝MD， ∴△MAD是等腰三角形，∴∠DAM＝∠ADM． ∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠DAM，∠DMC＝∠ADM． ∴∠AMB＝∠DMC． 又∵点M是BC的中点，∴BM＝CM． 在△AMB和△DMC中， ∴△AMB≌△DMC． ∴AB＝DC，∴四边形ABCD是等腰梯形．

  22. 5.（2011·盐城中考）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是___________.5.（2011·盐城中考）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是___________. 【解析】由图可知AD∥BC，AB与CD不平行，则四边形ABCD为梯形，而∠ABC=∠DCB，所以四边形ABCD为等腰梯形. 答案:等腰梯形

  23. 【例】（2009·济南中考）如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC,AD=3,DC=5, ∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每 秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿 线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时 间为t秒. (1)求BC的长； (2)当MN∥AB时，求t的值； (3)试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形.

  24. 【自主解答】(1)如图1，过A、D分别作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形，【自主解答】(1)如图1，过A、D分别作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形， ∴KH=AD=3, 在Rt△ABK中， AK=AB·sin45°= BK=AB·cos45°

  25. 在Rt△CDH中， 由勾股定理得 ∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10. (2)如图2，过D作DG∥AB交BC于点G， 则四边形ADGB是平行四边形， ∵MN∥AB,∴MN∥DG, ∴BG=AD=3,∴GC=10-3=7,

  26. 由题意知，当M、N运动t秒时，CN=t,CM=10-2t, ∵DG∥MN,∴∠NMC=∠DGC,又∠C=∠C, ∴△MNC∽△GDC,∴ 即 (3)分三种情况讨论： ①当NC=MC时，如图3， 此时t=10-2t,∴

  27. ②当MN=NC时，如图4，过N作NE⊥MC于E，过D作DH⊥BC于H②当MN=NC时，如图4，过N作NE⊥MC于E，过D作DH⊥BC于H 方法一：由等腰三角形三线合一性质得 在Rt△CEN中， 又在Rt△DHC中，

  28. 方法二：∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°, ∴△NEC∽△DHC,∴ 即 ③当MN=MC时，如图5,过M作MF⊥CN于F点，过D作DH⊥BC于H点 方法一：（方法同②中方法一）

  29. 方法二：∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°, ∴△MFC∽△DHC,∴ 即 综上所述，当 时，△MNC为等腰三角形.

  30. (2010·昆明中考)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB= 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O. （1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

  31. （2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3，请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k=1时，是_________；②当k=2时，是_________；③当k=3时，是_________.并证明k=2时的结论.

  32. 【解析】(1)∵AD∥BC, ∴∠OBP=∠ODE. 在△BOP和△DOE中, ∠OBP=∠ODE, ∠BOP=∠DOE, ∴△BOP∽△DOE（有两个角对应相等的两个三角形相似）.

  33. （2）①平行四边形 ②直角梯形 ③等腰梯形 证明：∵k=2时， , ∴BP=2DE=AD, 又∵AD∶BC=2∶3,即 ED∥PC，∴四边形PCDE是平行四边形.

  34. ∵∠DCB=90°, ∴四边形PCDE是矩形, ∴∠EPB=90°, 又∵在直角梯形ABCD中, AD∥BC，AB与DC不平行, ∴AE∥BP，AB与EP不平行, ∴四边形ABPE是直角梯形.

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