Regresja liniowa

1. Regresja liniowa Dany jest układ punktów y x x – zmienna objaśniająca (nie obarczona błędem) y – zmienna zależna (obarczona błędem) Naszym zadaniem jest poprowadzenie „najlepszej” prostej przez te punkty.

2. Wyznaczanie optymalnych parametrów a i b

3. Macierz wariancji-kowariancji wyznaczonych parametrów równania prostej sr2 – wariancja resztowa

4. Ocena wyników regresji: • Test dobroci dopasowania (c2) • Test istotności efektu liniowego (współczynnik korelacji) y x

5. współczynnik determinacji (ułamek wyjaśnionej wariancji) r > 0 – korelacja dodatnia r<0 – korelacja ujemna |r|>0.7 – dobra korelacja 0.3<|r|<0.7 – słaba korelacja |r|<0.3 – brak korelacji

7. Bardziej ogólny przypadek dopasowywania równania prostej: regresja ważona

8. Linearyzacja Mamy dopasować funkcję nieliniową y=f(x,y;a.b) Przekształcamy funkcję do takiej postaci aby uzyskać postać zlinearyzowaną y=ax+b Gdzie y jest nową zmienną zależną, x nową zmienną objaśniającą a a i b są nowymi parametrami, przy czym ogólnie x=x(x,y), y=y(x,y), a=a(a,b), b=b(a,b)

9. Przykład problemu nieliniowego linearyzowalnego: kinetyka reakcji pierwszego rzędu

10. Jeżeli chcemy postępować poprawnie to należy wykonać regresję ważoną, wyliczając wagi poszczególnych przekształconych zmiennych objaśniających zgodnie z rachunkiem błędów. W poprzednim przykładzie

11. Inne przykłady linearyzacji: Równanie Michalisa-Mentena Równanie Hilla

12. Obie zmienne są obarczone porównywalnym błędem Sposób: regresja ortogonalna sy sx y x Poprawiona wartość wagi zależy od a, które jest parametrem regresji. Problem liniowy przekształca się w nieliniowy. Problem można obejść przeprowadzając najpierw “zwykłą” regresję i wyznaczyć przybliżone a, następnie wstawić a do wzoru na wagi i przeprowadzić regresję jeszcze raz.

13. y x Regresja uogólniona albo analiza konfluentna (x,y) (x*,y*)

14. Przykład problemu nieliniowego nielinearyzowalngo: kinetyka reakcji pierwszego rzędu z produktem przejściowym

15. Regresja liniowa wielokrotna Zmienne objaśniające x1,x2,…,xm nie muszą odpowiadać różnym wielkościom lecz mogą być funkcjami tej samej wielkości mierzonej (np. jej kolejnymi potęgami w przypadku dopasowywania wielomianów).

16. regresja nieważona regresja ważona

17. Przypadek szczególny: dopasowywanie wielomianu

19. Test F dla istotności efektu liniowego Test F dla istotności włączenia nowych parmetrów

20. Przykład dopasowywania wielomianu: rozkład cosinusa kąta rozpraszania mezonów K z protonami (zakładamy że sj=sqrt(yj).