Programação Linear

Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Instituto de Recursos Naturais - IRN Benedito C. Silva Programação Linear

Vamos ver algumas questões importantes em relação às inequações de restrição:

Vamos supor o seguinte problema Vamos transformá-lo na sua forma slack (com folga)

Graficamente, tem-se: Observem cada vértice da área hachurada... O que acontece em cada ponto?

Observem que em cada reta limite uma das variáveis X1, X2, r ou s é igual a zero!!! Atenção este vértice não é válido s = -12 Como é que podemos identificar os vértices desta figura? Simples.... Se observarmos a figura: cada vértice é um ponto onde duas das quatro variáveis X1, X2, r e s são zeros.... Portanto: se eu fizer duas variáveis iguais a zero, determinando as demais (garantindo a unicidade e a não negatividade), encontro um vértice.....mas atenção.....não esquecer da não negatividade.

Essa regra de procura de vértices pode ser generalizada: Se o problema tiver seis variáveis, faço três variáveis iguais a zero e determino as demais, garantindo a não negatividade e a unicidade..( na forma slack) Se o problema tiver oito...idem......e assim por diante Lembrete importante: sabemos que o máximo ou o mínimo é um desses vértices.......portanto.....temos um caminho para chegar ao ótimo.....

Vamos ver agora o Método Simplex Os problemas que serão resolvidos possuem a seguinte forma: • Atenção (problema padrão): • em geral vamos max u e as restrições são do tipo menor igual; • a não negatividade pode não ser necessária, mas isso é um caso especial...

Vamos supor o seguinte problema: Não está na forma padrão

Suponhamos agora o problema

Este formato, como será visto, é muito prático para aplicação do método Simplex, além de servir para a análise da dualidade e análise de sensibilidade Este formato nos diz que as variáveis do lado esquerdo podem tomar qualquer valor, definindo as variáveis do lado direito variáveis do lado esquerdo são chamadas de independentes variáveis do lado direito de dependentes se as variáveis do lado esquerdo forem iguais a zero: x=0 e y=0 implica que r=12 e s=18

Vamos supor uma PL com m restrições e n variáveis, onde: • A PL está na forma canônica (padrão, regra..) se todas as restrições forem equações e se cada restrição possuir uma variável que ocorre somente nela, com coeficiente igual a 1 • essas variáveis com coeficiente 1 são chamadas de básicas (variáveis dependentes) • as demais variáveis são chamadas de não básicas

No exemplo anterior: Entretanto, podem existir variáveis que não são slack’s e que podem ser básicas, imaginem o problema:

Considera-se em geral que: • variável básica = variável dependente = variável slack • variável independente é sinônimo de não básica A forma canônica facilita a solução da PL: Qualquer problema de PL possui uma forma canônica! Definição: qualquer ponto que satisfaça as restrições e a não negatividade de uma PL é um ponto viável (feasible point)

Vamos ver um CONCEITO MUITO IMPORTANTE Um ponto viável básico é obtido quando fazemos as variáveis não básicas iguais a zero e calculamos as demais variáveis e obtém-se valores não negativos; Teorema Importante: O máximo ou um mínimo de uma PL na forma canônica, se existir, é um ponto viável básico Vamos ver mais alguns conceitos importantes....

Uma PL está no formato canônico perfeito se: • a Função Objetivo é do tipo maximizar U • os valores dos b’s (lado direito das restrições) são todos positivos • a função objetivo é expressa somente em função de variáveis não básicas Vamos sempre procurar esta forma canônica perfeita! Vamos supor o seguinte problema: Forma canônica perfeita Outro fato importante: este sistema pode ser transformado numa outra forma canônica perfeita

Pontos básicos vinculados a formas canônicas perfeitas são viáveis e portanto candidatos para o ÓTIMO... Vamos ver agora o que se chama de pivoteamento (pivoting): é o procedimento usado para ir de uma forma canônica para outra, mudando uma variável não básica para variável básica Para isso, vamos ver o “tableau” Simplex:

Considere: Vamos passar as variáveis básicas s para o lado direito e as variáveis b’s para a esquerda...

Em forma de tableau temos.......

tableau AS RESTRIÇÕES DE NÃO NEGATIVIDADE NÃO ESTÃO NO tableau PORQUE SE CONSIDERA QUE ELAS ESTÃO ATENDIDAS

Como fazer o pivoteamento...xj por si

O método Simplex para PL na forma canônica perfeita (estágio 2) Vamos considerar o seguinte exemplo:

Variáveis não básicas Variáveis básicas Coeficientes da FO Primeiro passo: escolher qualquer coeficiente positivo cj da função objetivo....p.e. o valor 4

Segundo passo: procurar na coluna do 4 todos valores positivos de ai,j..no caso 2 e 3....calculo para cada um o valor de bi/ai,j para 2 temos 12/2 = 6 para 3 temos 6/3 = 2 (menor valor...escolho este...por isso o *....).....

Próximo passo....pivotar a3,1...ou seja vou x por t.... Obtenho: Observem que o valor da FO é igual a 8 Mas este valor é o ótimo?... NÃO.....ainda existe um coeficiente positivo na FO...10/3....vamos fazer um novo pivoting.......

O novo tableau é: Solução: t=0, y=0 e s=0 FO=87/4 e r=9/8 z=33/8 e x=27/8

Como transformar problemas de PL na sua forma canônica perfeita...... Primeiro passo é colocar o sistema na sua forma slack...

Vamos multiplicar a segunda restrição por -1

Estas duas restrições não possuem variáveis básicas solução A1 e A2 são variáveis artificiais.....

Duas questões importantes: • as variáveis artificiais precisam ser iguais a zero para validade das inequações • caso apareçam variáveis básicas (VB’s) na FO o Método Simplex não se aplica, neste caso deve-se resolver um problema equivalente, sem VB na FO Vamos resolver? solução

As variáveis artificiais precisam ser iguais a zero, isso pode ser feito de duas maneiras: O Método do Grande M (Big M): quando for necessário o emprego de variáveis artificiais, elas entram na FO com coeficientes grandes para induzir o valor zero das mesmas..exemplo...

Dois casos podem ocorrer: • A e B são variáveis não básicas iguais a zero ou • A, ou B ou ambas são básicas com valores iguais a zero • se A ou B ou ambas forem diferente de zero o problema não tem solução (infeasible)

Solução: primeiro devemos retirar da FO as variáveis básicas A e B Primeiro tableau: Maior coeficiente

O tableau final será: Portanto, A=0, B=0, r=0, s=0 e y=2/7 e x=10/7 valor de U = 34/7 Vejam que curioso: sem saber o valor de M resolvemos o problema!!!

Tentem resolver o seguinte problema: O que aconteceu no tableau? Todos os pontos nesta reta são solução

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