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Estatística. 9 - Estimação de Parâmetros por Intervalo. Prof. Antonio Fernando. e-mail: fbranco@feg.unesp.br Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco. Distribuição Amostral de f e p ´. f tem Distribuição Binomial.

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Presentation Transcript
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Estatística

9 - Estimação de Parâmetros por Intervalo

Prof. Antonio Fernando

e-mail: fbranco@feg.unesp.br

Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco

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Distribuição Amostral de f e p´

ftem Distribuição Binomial

p’ : freqüência relativa com que foi observada alguma característica numa amostra de tamanho “n”

f: freqüência absoluta com que foi observada alguma característica em cada elemento de uma amostra de tamanho “n”

SUCESSO: quando a característica foi observada

FRACASSO: caso contrário

Seja: p = Prob. de Sucesso em cada elemento da amostra

q = Prob. de Fracasso

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Sendo p’ um estimador de p, tem-se:

Logo, Intervalo de Confiança:

Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional

  • (1) Intervalo de Confiança:
  • (2) Caso np  5 e n(1 - p)  5 pode-se aproximar a Binomial pela Normal. Assim sendo, pode-se considerar que p’ tem Distribuição Normal
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Portanto:

2,5%

2,5%

95%

0,0236 0,035 0,0464

Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional - Exemplo

Considerando que as condições de aproximação da Binomial pela Normal estão satisfeitas:

Retirada uma amostra de 1.000 peças da produção de uma máquina, verificou-se que 35 eram defeituosas. Construir um intervalo com nível de confiança de 95% para a proporção de defeituosas fornecida por essa máquina.

Solução:

Intervalo de Confiança:

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Tamanho da Amostra

Exemplo 2: Qual o tamanho de amostra suficiente para estimarmos a proporção de defeituosos fornecidos por uma máquina, com precisão de 0,02 e 95 % de confiança, sabendo que essa proporção seguramente não é superior a 0,20?

Solução: De acordo com o anteriormente exposto, temos:

Logo, será suficiente uma amostra de 1.537 elementos.

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Estimação com base em diversas amostras

Estimação da variância 2:Média ponderada das variâncias amostrais

(peso: grau de liberdade de cada amostra)

  • Estimação do desvio-padrão  :
  • Amostras grandes (n>30): Raiz Quadrada da Variância s2

Sejam k amostras:

Estimação da média :Média ponderada das médias amostrais

(peso: tamanho de cada amostra)

  • Amostras pequenas (n<30): Média aritmética das variâncias amostrais

Estimação da proporção p :

calcula-se a média ponderada das freqüências relativas amostrais (peso: tamanho de cada amostra)

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Exercícios (Costa Neto, Ed.2000, p.80)

  • Solução:
    • Amostra: n = 15
    • = 32,4
    • s2 = 2,56 s = 1,60

3. Uma amostra de quinze elementos retirada de uma população normalmente distribuída forneceu = 32,4 e s2 = 2,56. Construa intervalos de 95% e 99 % de confiança para:

a) a média da população;

b) a variância da população;

c) o desvio-padrão da população.

  • a. Média da população:
    • Para 95 %: = 2,145

Pr [32,4-0,8861<m<32,4+0,8861]=0,95

  • Para 99 %: = 2,977,
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Exercícios (Costa Neto, Ed.2000, p.80)

Exercício 3 (continuação)

b. Variância da população:

Para 95 %:

Intervalo: 1,372 2 6,367

Para 99 %:

Intervalo: 1,144 2 8,795

c. Desvio-padrão da população:

Para 95 %: 1,372 2 6,367  1,1713  2,523

Para 99 %: 1,144 2 8,795  1,0696  2,9656

slide10

Exercícios (Costa Neto, Ed.2000, p.81)

11. Sabe-se que a variação das dimensões fornecidas por uma máquina independem dos ajustes do valor médio. Duas amostras de dimensões das peças produzidas forneceram:

Estabeleça um intervalo de 95 % de confiança para o desvio-padrão. Solução:

amostra 1: n1 = 6 = 12,3 s1 = 0,253

amostra 2: n2 = 5 = 13,92 s2 = 0,148

I.C.: 0,147  0,389