Modelagem Estatística

1. ModelagemEstatística Variáveis Aleatórias

2. Variável • Característica que pode ser observada (ou mensurada) nos elementos da população, devendo ter um e apenas um resultado para cada elemento observado.

3. Variáveis • Qualitativas - O resultado da variável é uma resposta não numérica. • Exemplo: sexo, grau de instrução etc. • Quantitativas - O resultado é um número. • Exemplo: idade, altura etc.

4. Variável Aleatória • Quando os resultados de uma variável são determinados pelo acaso, trata-se de uma variável aleatória. “Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance.” Stevenson, W. (Estatística aplicada à administração)

5. Exemplos • Selecionando-se uma pessoa de um município através de sorteio, o peso é uma variável aleatória. • Sorteando-se uma empresa de um setor, o número de funcionários é uma variável aleatória.

6. Exemplo • Lança-se uma moeda e verifica-se a face obtida (cara ou coroa). • Face obtida - variável qualitativa - não é uma variável aleatória. • Número de caras - variável aleatória associada à variável qualitativa estudada.

7. Distribuição deProbabilidades • A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico, indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.

8. Exercício • Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

9. Distribuição deProbabilidades Resultados Probabilidade Possíveis 0 0,5 1 0,5 Total 1

10. 0,50 0,50 0 1 Distribuição deProbabilidades k P(X=k) 0 0,5 1 0,5 Total 1

11. Exercício • Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

12. U Probabilidade Regra da Multiplicação • A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram é igual à multiplicação das probabilidades individuais. P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B)

13. Probabilidade • Evento - Qualquer situação ou resultado que nos interessa. • Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não alterar a probabilidade de ocorrência do outro.

14. Exercício • Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

15. 2o lanç. 1o lanç. Exercício Resultados numéricos 0 1 1 2 Resultados possíveis CoroaCoroa CaraCoroa CoroaCara CaraCara Probabilidade 0,5 x 0,5 = 0,25 0,5 x 0,5 = 0,25 0,5 x 0,5 = 0,25 0,5 x 0,5 = 0,25

16. cara coroa cara coroa Diagramade Árvore 2o lançamento 1o lançamento 0,5 P = 0,25 cara 0,5 P = 0,25 0,5 0,5 0,5 P = 0,25 coroa P = 0,25 0,5

17. Distribuição deProbabilidades Resultados Probabilidade Possíveis 0 0,25 1 0,50 2 0,25 Total 1

18. Probabilidade Regra da Adição • A probabilidade de que um entre dois eventos mutuamente excludentes ocorra é igual à soma das probabilidades individuais. P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)

19. Probabilidade • Dois eventos são mutuamente excludentes, ou exclusivos, se a ocorrência de um impedir a ocorrência do outro. • Exemplo: No problema anterior, havia basicamente 4 resultados possíveis (KK, CK, KC e CC). Estas quatro situações são excludentes, isto é, somente uma delas poderá ocorrer.

20. 2o lanç. 1o lanç. Exercício Resultados numéricos 0 1 1 2 Resultados possíveis CoroaCoroa CaraCoroa CoroaCara CaraCara Probabilidade 0,5 x 0,5 = 0,25 0,5 x 0,5 = 0,25 0,5 x 0,5 = 0,25 0,5 x 0,5 = 0,25 Soma = 1

21. 0,50 0,25 0,25 0 1 2 Distribuição deProbabilidades k P(X=k) 0 0,25 1 0,50 2 0,25 Total 1

22. Exercício • Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 2 sorteados aleatoriamente.

23. Exercício Resultados possíveis BomBom Bom Def. Def.Bom Def.Def. Resultados numéricos 0 1 1 2 Probabilidade 0,4 x 0,4 = 0,16 0,4 x 0,6 = 0,24 0,6 x 0,4 = 0,24 0,6 x 0,6 = 0,36 2o item 1o item

24. 0 1 2 Exercício k P(X=k) 0 0,16 1 0,48 2 0,36 Total 1 0,48 0,36 0,16

25. Exercício • Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente.

26. Exercício Res. poss. B B B B B D B DB D BB B DD D BD D DB D DD Res. num. 0 1 1 1 2 2 2 3 Probabilidade 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

27. 0,432 0,288 0,216 0,064 0 1 2 3 Exercício k P(X=k) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1

28. Valor Esperado • O valor esperado, ou esperança, ou média, de uma distribuição de probabilidades corresponde à média dos resultados da variável aleatória quando o número de observações for muito grande.

29. X P(X) x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn Total 1 Valor Esperado E(X) = x =  (xi.pi)

30. X P(X) x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn Total 1 VAR(X) = x =  pi.(xi-x)2 Variância E(X) = x =  (xi.pi)

31. Exercício - 1 • Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Calcular o número esperado de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente e o desvio padrão.

32. Exercício k P(X=k) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 x =  itens x =  item

33. Probabilida-de condi-cional U Probabilidade Regra da Multiplicação • A probabilidade de que dois eventos nãoindependentes ocorram é igual à multiplicação das probabilidades individuais. P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B / A)

34. Probabilidade Condicional • P(B / A) - probabilidade do evento B ocorrer dado que o evento A tenha ocorrido.

35. Exemplo • Um lote com 20 peças contém 4 defeituosas. Se forem retiradas duas peças do lote, qual é a probabilidade de serem retiradas: • a) duas peças boas? • b) duas peças defeituosas?

36. 16 4 P(B) = P(D) = 20 20 Exemplo B - Peça Boa D - Peça Defeituosa

37. P(B/B) = 15 / 19 P(D/B) = 4 / 19 P(B/D) = 16 / 19 P(D/D) = 3 / 19 Exemplo Se a primeira peça for: Boa Defeituosa

38. 16 15 a) P(BB) = 20 19 Exemplo = 0,6316 ou 63,16% 4 3 = 0,0316 ou 3,16% a) P(DD) = 20 19

39. U Probabilidade Regra da Adição • A probabilidade de que pelo menos um entre dois eventos não excludentes ocorra é igual a: P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)

40. Exemplo • A Petrobrás perfura um poço quando acha que há probabilidade de ao menos 40 % de encontrar petróleo. Ela perfura 2 poços, aos quais atribui as probabilidades de 40 % e 50 %. Qual é a probabilidade de que pelo menos um poço produza petróleo?

41. Exemplo P(A) = 0,4 P(B) = 0,5 P(A e B) = 0,4 . 0,5 = 0,2 P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7

42. Exemplo Resultados possíveis ProduzNão Produz Produz NãoProduz NãoNão Probabilidade 0,4 x 0,5 = 0,2 0,4 x 0,5 = 0,2 0,6 x 0,5 = 0,3 0,6 x 0,5 = 0,3 0,7 poço B poço A

43. MODELOS PROBABILÍSTICOS

44. Modelos Probabilísticos • Em problemas práticos, normalmente não é necessário deduzir as probabilidades de ocorrência, pois existem alguns modelos probabilísticos que se aplicam a várias situações práticas, fornecendo a regra de determinação das probabilidades.

45. Modelos Probabilísticos O problema não é “como se deduzem os valores?”, mas sim “como se usam as distribuições para resolver problemas?” William J. Stevenson

46. Exercício Anterior • Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

47. 0,50 0,50 0 1 Distribuição deProbabilidades k P(X=k) 0 0,5 1 0,5 Total 1

48. Distribuição de Bernoulli • A distribuição de Bernoulli apresenta apenas dois resultados possíveis (sim ou não), com probabilidade de sucesso igual a “p”.

49. VAR(X) = p.(1-p) Distribuição deBernoulli k P(X=k) 0 (1-p) 1 p Total 1 E(X) = x = p

50. Distribuição Binomial