1 / 30

2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk

2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk. 2.1. Koordináta-rendszereink 2.2. Az egyenes és sík egyenlete 2.3. Az E. tér projektív lezárása 2.4. Affin transzformációk 2.5. Projektív transzformációk. Mire jó nekünk az analitikus geometria?.

ernie
Download Presentation

2 . Koordináta-rendszerek és transzformációk

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 2. Koordináta-rendszerek és transzformációk 2.1. Koordináta-rendszereink2.2. Az egyenes és sík egyenlete2.3. Az E. tér projektív lezárása2.4. Affin transzformációk2.5. Projektív transzformációk

  2. Mire jó nekünk az analitikus geometria? Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek – testek Átalakítások: geometriai számítások transzformációk Rajzolás: geometrikus képek; vetületek - transzformációk API 2009.08 2

  3. 2.1. Koordináta-rendszereink • A Descartes-féle derékszögű koordináták • Polár-koordináták • Gömbkoordináták, henger-koordináták • Baricentrikus koordináták • Homogén koordináták

  4. Valószerű ábrázolás A valóság részletei – a képen is A fényképezőgép egyidejűleg végtelen sok pontot Számítógép sorban, egyenként kiválasztott pontokat A képen a párhuzamosok látszólag egy pontba A valóságban nincs ennek megfelelő pont

  5. Például: egy sínpár perspektívája X = [ 1, 0, 0, 0 ]; X’ = X X és Y tengelyY = [ 0, 1, 0, 0 ]; Y’ = YZ = [ 0, 0, 1, 0 ] ; Z’ = [ 0, 0, 1, 1 ] Z tengelyC = [ 0, 1, 0, 1 ]; C’ = [ 0, 0, 1, 0 ] a kameraF = [ 1, 2, 1, 1 ]; F’ = [ -1, 1, 0, 1] képkeret sarka

  6. Az E2 egy „inhomogenitása” • Az a egyenes pontjait K-ból vetítjük az x egyenesre. • F’ =?;E2- ben nincs! ; néha kellene • Legyen !! Az E2 kibővítése:- minden egyenesen van még egy pont,- neve: „az egyenes ideális pontja”, (fernpunkt, távolpont)- párhuzamosok ideális pontja megegyezik: az egyenesek állása,- egy sík ideális pontjai a sík ideális egyenesén vannak.

  7. Az euklideszi tér „projektív lezárása” • Az euklideszi tér (ponthalmaz) kibővítése ideális pontokkal (halmazával) • E3UI3H3 ; „homogén terünk” • Az euklideszi tér „projektív lezárása” • ( H3 és „homogén terünk” : KG )

  8. Homogén koordináták • Az E 2 egy „inhomogenitása” • Az euklideszi tér kibővítése • Homogén koordináták • Homogén  Descartes koordinátákDescartes  Homogén koordináták • „Homogén terünk” szerkezete • A sík homogén koordinátás egyenlete • Miért használunk homogén koordinátákat?

  9. A kibővített euklideszi sík • Az E 2projektív lezárása (a „kibővített sík”); (projektív sík egy kitüntetett egyenessel.) • „a homogén sík”: H 2 = E 2 I 2 [„homogén sík” és „ H 2” jelölés csak KG] • A projektív síkban: bármely két pont meghatároz egy egyenest bármely két egyenes meghatároz egy pontot …

  10. A kibővített euklideszi tér • Az E 3projektív lezárása (a „kibővített tér”); „a homogén tér”: H 3 = E 3 I 3. („homogén tér”, „ H 3” csak KG) • H 3 : P 3 (projektív tér) egy kitüntetett ideális síkkal • A projektív térben: bármely 2 síknak van közös egyenese. . .

  11. A kibővített euklideszi tér • Egyenes: „közönséges pontjai” + 1 ideális pontegy egyenes ideális pontja: az egyenes „állása”: , • úgy, hogy: párhuzamosok ideális pontja (állása) megegyezik; egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak; ez „a sík ideális egyenese”, (a sík „állása”) párhuzamos síkok ideális egyenese (állása)megegyezik, a tér ideális elemei (pontok, egyenesek, síkok) egy síkban vannak; „a tér ideális síkja”

  12. Homogén koordináták (1) • A tér (közönséges részének) egy derékszögű KR-ébenO : közönséges pont; belőle X, Y, Z tengelyek, és E pont • P = (x, y, z)„homogén koordináták” :P = (x, y, z)  [x, y, z, 1]  h  [x, y, z, 1] = [ h  x, h  y, h  z, h ]; h0 • Arányos számnégyesek ekvivalencia-osztálya (!) • Figyelem: [ x, y, z, w ]  h  [ -x, -y, -z, -w ] !!

  13. Homogén koordináták (2) • A v = (x, y, z) vektorral egyező állású egyenesek ideális pontja:Iv = [ x, y, z, 0 ]; az ideális pont „homogén alakja”,illetve:Iv = [ x, y, z, 0 ]  h  [ x, y, z, 0 ] = [ hx, hy, hz, 0 ]; h0

  14. Áttérés a homogén alakra és vissza • Egy feladat leírása (adatai): DKR-ben: • Számítások DKR-ben indulnak, • de ha kell („kényes” műveletek előtt): • áttérés homogén alakra: (x, y, z) [x, y, z, 1] • a „kényes” műveletek homogén alakban; utána • az eredmények „szűrése” (ideális pontok kizárása) • visszatérés DKR-be (projektív osztás): [x1, x2, x3, x4] (x1 / x4, x2 / x4, x3 / x4). • Az eredmények értékelése DKR-ben.

  15. A projektív osztás; vissza a DKR-be • H3 [x1, x2, x3, x4] pontjának  : • ha x40, akkor közönséges pont, és :[x1, x2, x3, x4]  [x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1]  (x1 /x4, x2 /x4, x3 /x4), • ha x4=0, de x1,x2, x3 nem mind nulla: akkor ideális pont, és~ az (x1, x2, x3) irányvektor: | | egyenesek állása • !!![0,0,0,0] nem pont (számítások eredménye nem lehet).

  16. „Ideális pontok” E3= { (x, y, z) }{ [x, y, z, 1] }; x, y, zR I3 = { [x, y, z, 0] }; x, y, zR H 3 = E3 UI 3; a „kibővített tér”, a „homogén tér” Az euklideszi tér kibővítése: minden egyenesnek van még egy pontja:amely egyenes állását jellemzi párhuzamosok ideális pontja megegyezik egy sík ideális pontjai: a sík ideális egyenesén a tér ideális pontjai: az ideális síkban

  17. Egyenesek közös pontja

  18. „Homogén terünk” szerkezete (olv) • A valós számhármasok tere: R3 = { (x,y,z); x,y,z R } • Az arányos számnégyesek ekvivalencia-osztályai:Ax,y,z,w= { h ·[ x, y, z, w ]; x,y,z,w,hR , h ≠ 0, }; A homogén tér:H 3 = Ax,y,z,w\ A 0,0,0,0 // A0,0,0,0={ [0,0,0,0] }

  19. Miért használunk homogén koordinátákat? • A párhuzamosok „kivételes helyzete” megszűnik. • A mátrix szorzás egységes formalizmusa (eltolás!) • transzformációk egymásutánja: mátrixuk szorzata • A középpontos vetítés számolható a pontok homogén koordinátáival és 4x4-es mátrixokkal

  20. Az egyenes és a sík homogén-koordinátás egyenlete

  21. Megjegyzés: homogén = egynemű • Az egyenes homogén egyenlete: ax + by + c = 0 • Pontok homogén koordinátái: [x, y, z, w]

  22. Az egyenes homogén, implicit egyenlete (E 2) • Az egyenes X = (x, y)  [ x,y,1] pontjára (E2): a · x + b · y + c = 0; a2 + b20; a · x + b · y + c · 1 = 0; • Az egyenlet „implicit” (nem explicit) és „homogén”: (a,b,c)  (a,b,c) · h; h 0

  23. Az egyenes homogén koordinátás,homogén implicit egyenlete (H2) • Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja a síkban (h≠0):P = [ x, y, w] T x,y,wnem mind 0 • Egy e egyenes homogén(-koordinátás) alakja: e = [e1, e2, e3]  h·[e1, e2, e3]; (h ≠0),ei nem mind 0 • Az eegyenes egyenlete: az e minden XH2pontjára:e · X = 0, azaz: e1·x+ e2·y + e3·w = 0

  24. A sík paraméteres egyenlete (E 3) H 3 Adott: P = (px, py, pz ),Q = (qx, qy, qz ), R = (rx, ry, rz ) X = Q + s · (P - Q) + t· (R - Q) ; s, v R= (1-s-t) ·Q + s ·P + t ·R - a PQR sík minden pontjához található így s,t R, és - minden s,t R-hez tartozik egy XaPQR síkban

  25. A sík implicit, homogén egyenlete (E 3) A sík X = (x, y,z)  [x, y,z,1] pontjára: a · x + b · y + c · z + d = 0; a2 + b2 + c20; a · x + b · y + c · z + d · 1 = 0; „homogén”: (a,b,c,d)  (a,b,c,d) · h; h 0

  26. A sík homogén koordinátás homogén, implicit egyenlete • Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja (h≠0):P = [ x, y, z, w] T x,y,z,wnem mind 0 • Egy s sík homogén(-koordinátás) alakja (h ≠0): s = [s1, s2, s3, s4]  h·[s1, s2, s3, s4]; si nem mind 0 • Az s sík egyenlete: az s minden XH3pontjára:s · X = 0, azaz: s1·x+s2·y +s3·z+s4·w = 0

  27. Lássunk a koordináták mögé – t.i. • z = 0; mi ez?Egyenlőség, egyenlet, kié-mié?0  x + 0  y + 1  z + 0 = 0sík: z = 0 és akármilyen x, y; az XY sík • x + y = 0 mi az? HF !

  28. Nevezetes pontok és síkok homogén alakja -olv • Bármilyen c  0 számmal[0, 0, 0, c] T az origó, [c, 0, 0, 0] T az X tengely ideális pontja, [0, c, 0, 0] T az Y tengely ideális pontja,[0, 0, c, 0] T a Z tengely ideális pontja, • [0, 0, 0, c] az ideális sík, (rajta van: [x,y,z,0]) [c, 0, 0, 0] az YZ (x = 0) koordináta-sík; pontjai: [0, y, z, h] [0, c, 0, 0] az XZ (y = 0) sík,[0, 0, c, 0] az XY (z = 0) sík homogén alakja.

More Related