formulace a vlastnosti loh line rn ho programov n n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Formulace a vlastnosti úloh lineárního programování PowerPoint Presentation
Download Presentation
Formulace a vlastnosti úloh lineárního programování

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 18

Formulace a vlastnosti úloh lineárního programování - PowerPoint PPT Presentation


  • 130 Views
  • Uploaded on

Formulace a vlastnosti úloh lineárního programování. RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak @uai.fme.vutbr.cz. Struktura úlohy LP. Standardní tvar úlohy LP v maticových vyjádřeních. a) b) Matice A je typu ( m , n ), b je typu ( m , 1), c je typu ( n , 1), x je typu ( n , 1).

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Formulace a vlastnosti úloh lineárního programování' - eldon


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
formulace a vlastnosti loh line rn ho programov n

Formulace a vlastnosti úloh lineárního programování

RNDr. Jiří Dvořák, CSc.

dvorak@uai.fme.vutbr.cz

Teorie systémů a operační analýza

slide2

Struktura úlohy LP

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

standardn tvar lohy lp v maticov ch vyj d en ch
Standardní tvar úlohy LP v maticových vyjádřeních

a)

b)

Matice A je typu (m, n), b je typu (m, 1),

c je typu (n, 1), x je typu (n, 1).

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

p edpoklady spojen se standardn m tvarem lohy lp
Předpoklady spojené se standardním tvarem úlohy LP

U standardní úlohy LP předpokládáme, že:

b  0, m  n, h(A) = m .

Uvedené předpoklady nejsou na újmu obecnosti.

Jestliže má nějaká rovnice zápornou pravou stranu, můžeme tuto rovnici vynásobit (–1).

Je-li m > n nebo je-li h(A) < m,jsou buď některé rovnice závislé a pak je můžeme vypustit, nebo jsou v rozporu a pak se úlohou nemusíme zabývat, protože nemá přípustné řešení.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

p evod lohy lp na standardn tvar
Převod úlohy LP na standardní tvar

Minimalizační úloha se převede na maximalizační změnou znaménka účelové funkce.

Nerovnice typu  se převede na rovnici přičtením nezáporné doplňkové proměnné k levé straně nerovnice.

Nerovnice typu  se převede na rovnici odečtením nezáporné doplňkové proměnné od levé strany nerovnice.

Nezápornost proměnných se zajistí vhodnou substitucí:

  • nekladná proměnná se nahradí nezápornou proměnnou s opačným znaménkem,
  • proměnná neomezená co do znaménka se nahradí rozdílem dvou nezáporných proměnných.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

interpretace dopl kov ch prom nn ch
Interpretace doplňkových proměnných

Doplňkovou proměnnou lze interpretovat v souladu s interpretací příslušné omezující podmínky.

Jestliže např. v nerovnici typu  vyjadřuje levá strana spotřebu nějakého výrobního zdroje a pravá strana jeho kapacitu, pak doplňková proměnná zavedená do této podmínky představuje nevyužitou kapacitu zdroje.

Jestliže např. v nerovnici typu  vyjadřuje levá strana vyrobené množství nějakého výrobku a pravá strana minimálně požadované množství tohoto výrobku, pak příslušná doplňková proměnná představuje množství výrobku, které se vyrobí nad daný požadavek.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

mno ina p pustn ch e en standardn lohy lp
Množina přípustných řešení standardní úlohy LP

Je-li množina přípustných řešení úlohy LP neprázdná, je to konvexní polyedrická množina. Tato množina je průnikem konečného počtu nadrovin a uzavřených poloprostorů.

Pozn.: Je-li množina optimálních řešení úlohy LP neprázdná, je to také konvexní polyedrická množina.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

konvexn mno ina
Konvexní množina

Podmnožinu K vektorového prostoru V nazveme konvexní množinou, jestliže s libovolnými dvěma body x1K, x2K leží v této množině také všechny body

x =t x1 + (1– t )x2

kde 0 < t < 1.

Geometricky to znamená, že množina K spolu s libovolnými dvěma různými body musí obsahovat i úsečku spojující tyto dva body.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

konvexn kombinace vektor
Konvexní kombinace vektorů

Nechť x1, x2, … , xn jsou vektory z vektorového prostoru V a t1, t2, … , tn jsou reálná čísla taková, že

a) ti 0, i = 1, 2, … , n

b) t1 + t2 + … + tn = 1

Pak vektor

x = t1 x1 + t2x2 + … + tnxn

se nazývá konvexní kombinací vektorů x1, x2, … , xn .

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

krajn body a konvexn polyedr
Krajní body a konvexní polyedr

Bod x z konvexní množiny K se nazývá krajním bodem nebo vrcholem této množiny, jestliže se nedá vyjádřit jako konvexní kombinace dvou jiných bodů z této množiny.

Konvexní polyedr je ohraničená konvexní množina, která má konečný počet krajních bodů.

Libovolný bod konvexního polyedru lze vyjádřit jako konvexní kombinaci jeho krajních bodů.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

konvexn polyedrick mno ina
Konvexní polyedrická množina

Konvexní polyedrická množina je konvexní množina, která má konečný počet krajních bodů (na rozdíl od konvexního polyedru tedy tato množina nemusí být ohraničená).

Libovolný bod konvexní polyedrické množiny lze vyjádřit jako konvexní kombinaci jejích krajních bodů a nezápornou lineární kombinaci jejích krajních směrů.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

krajn sm ry
Krajní směry

Nechť K je konvexní množina. Vektor y 0 se nazývá krajním směrem množiny K, jestliže platí:

a) existuje krajní bod xi K takový, že

xi + ly  K pro všechna l > 0.

b) vektor y se nedá vyjádřit jako lineární kombinace

l1 y1 + l2 y2 , kde l1 > 0, l2 > 0 a y1, y2 jsou

lineárně nezávislé vektory takové, že

xi + ly1 K , xi + ly2 K pro všechna l > 0.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

b zick e en
Bázické řešení

Řešení soustavy Ax = b se nazývá bázické, jestliže sloupce matice A, které odpovídají nenulovým složkám tohoto řešení, tvoří lineárně nezávislou soustavu vektorů.

Přípustné bázické řešení je takové bázické řešení, které navíc vyhovuje podmínkám nezápornosti x 0.

Přípustné řešení úlohy LP je bázické právě tehdy, je-li krajním bodem množiny přípustných řešení.

Bázické řešení může mít nejvýše m nenulových složek, kde m = h(A). Je-li počet nenulových složek roven m, bázické řešení se nazývá nedegenerované. Bázické řešení s počtem nenulových složek menším než m se nazývá degenerované.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

slide14
Báze

Mějme úlohu

Nechť A je typu (m, n) o hodnosti m a nechť B je matice tvořená m lineárně nezávislými sloupci matice A. Pak matice B se nazývá bází uvedené úlohy LP. Každá báze určuje právě jedno bázické řešení.

Proměnné odpovídající sloupcům matice B se nazývají bázické. Ostatní proměnné se nazývají nebázické.

Počet různých bází a tedy i počet různých bázických

řešení je shora ohraničen číslem .

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

b ze a b zick e en
Báze a bázické řešení

Mějme úlohu

kde B je báze. Označme

xB … vektor bázických proměnných

xN … vektor nebázických proměnných

Položme nebázické proměnné rovny nule, tj. xN = 0.

Pak

xB = B–1b

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

z kladn v ta lp
Základní věta LP

Pro úlohu LP

může nastat právě jedna z těchto tří možností:

a) množina přípustných řešení M = ,

b)M a množina optimálních řešení M*= ,

c) M*.

Dále platí:

  • Je-li M, pak existuje přípustné bázické řešení.
  • Je-li M*, pak existuje bázické optimální řešení.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

slovn vyj d en z kladn v ty lp
Slovní vyjádření základní věty LP

Pro úlohu LP může nastat právě jedna z těchto tří možností:

a) úloha LP nemá žádné přípustné řešení,

b) úloha LP má přípustné řešení, ale nemá žádné

optimální řešení,

c) úloha LP má optimální řešení.

Dále platí:

  • Jestliže má úloha LP přípustné řešení, má také přípustné bázické řešení.
  • Jestliže má úloha LP optimální řešení, má také bázické optimální řešení.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP

v znam z kladn v ty lp
Význam základní věty LP

V základní větě se tvrdí, že jestliže má úloha LP optimální řešení, pak má také bázické optimální řešení.

To znamená, že při hledání optimálního řešení úlohy LP se můžeme omezit pouze na řešení bázická. Jejich počet je konečný a je shora ohraničen

kombinačním číslem .

Základní věta LP je teoretickým základem simplexové metody řešení úloh LP.

TSOA: Formulace a vlastnosti úloh LP