1 / 32

Stereometrie

Stereometrie. Odchylky přímek. VY_32_INOVACE_M3r0114. Mgr. Jakub Němec. Odchylka dvou přímek v prostoru. Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez toho, abychom uměli určit kolmost přímky a roviny.

donnan
Download Presentation

Stereometrie

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Stereometrie Odchylky přímek VY_32_INOVACE_M3r0114 Mgr. Jakub Němec

  2. Odchylka dvou přímek v prostoru • Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez toho, abychom uměli určit kolmost přímky a roviny. • V této lekci se naučíme určovat odchylku dvou přímek v prostoru. K tomu potřebujeme znát dvě důležitá pravidla: • Odchylkou dvou různoběžných přímek rozumíme velikost každého ostrého nebo pravého úhlu, které spolu přímky svírají. Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0°. • Odchylkou dvou mimoběžných přímek rozumíme odchylku dvou různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžnými s danými mimoběžkami. • Při řešení příkladu je základem nalézt rovinu (dvě různoběžné přímky určují rovinu), v níž budeme schopni odchylku přímek určit a díky tomu vypočítat.

  3. V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 6 cm urči odchylku přímek AC a BC.

  4. Přímky AC a BC leží v jedné rovině a jsou různoběžné. Protínají se v bodě C, a proto je naše hledaná odchylka úhel . Z vlastností čtverce (stěna krychle) lze snadno odvodit, že úhel Tento úhel lze také snadno spočítat díky goniometrickým funkcím.

  5. V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 8 cm urči odchylku přímek BE a CE.

  6. Přímky BE a CE jednoznačně určují rovinu, která určuje řez krychle BCHE.

  7. Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana krychle a strana BE je úhlopříčka stěny krychle.

  8. Přímky BE a CE se protínají v bodě E, a proto je naše hledaná odchylka úhel . Trojúhelník BCE je pravoúhlý, proto při výpočtu můžeme užít Pythagorovy věty a goniometrické funkce.

  9. Strana BE je úhlopříčka ve stěně krychle, její výpočet by již neměl činit problém. Vzhledem k vlastnostem pravoúhlého trojúhelníku nám stačí znát dvě strany (BE, BC) k výpočtu úhlu.

  10. V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 3 cm urči odchylku přímek BG a CH.

  11. Přímky BG a CH neleží v jedné rovině a nemají tak společný bod – jsou mimoběžné. Naším prvním úkolem je tedy najít rovnoběžku jedné z přímek tak, aby se protnula s druhou přímkou. Na obrázku je nalezena přímka BE, která protíná přímku BG a zároveň je rovnoběžná s přímkou CH. Samozřejmě by šlo hledat rovnoběžku k přímce BG, která by měla průsečík s přímkou CH – byla by to přímka AH.

  12. Přímky BE a BG nám jednoznačně určují rovinu a tím také řez krychle BEG.

  13. Z vlastností krychle vyplývá, že strany trojúhelníku jsou úhlopříčky stěn krychle, a proto víme, že trojúhelník BEG je rovnostranný.

  14. Díky skutečnosti, že nalezený řez je rovnostranný trojúhelník, víme, že každý vnitřní úhel trojúhelníku je 60°, tedy i úhlu , který je odchylkou přímek BE a G. Příklad je vyřešen.

  15. V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 12 cm urči odchylku přímek AT a SH, kde body S a T jsou po řadě středy hran BC a EH.

  16. Přímky AT a SH jsou mimoběžné, a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou. Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku SG, která je rovnoběžná s přímkou AT a má společný bod s přímkou SH.

  17. Přímky SH a SG nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.

  18. Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez VSGH je obdélník, kde strana VS (popř. GH) má rozměr stejný jako hrana krychle. Stranu SG je třeba vypočítat.

  19. Přímky SG a SH se protínají v bodě S, a proto je naše hledaná odchylka úhel . Trojúhelník SGH je pravoúhlý, proto můžeme při určování úhlu využít goniometrické funkce.

  20. Před výpočtem odchylky je ovšem nutné zjistit velikost ještě alespoň jedné strany v trojúhelníku SGH. Strana SG = y leží v boční stěně, kde bod S leží uprostřed hrany BC, tedy i uprostřed strany čtverce. K výpočtu velikosti úsečky |SG| využijeme Pythagorovy věty.

  21. Výpočet úsečky |SG| je zde určen obecně a na závěr byl dosazen rozměr velikosti hrany krychle. cm

  22. Nyní známe velikost úsečky |SG| a můžeme vypočítat úhel pomocí goniometrických funkce tangens. Nic však řešiteli nebrání v tom, aby si vypočítal i rozměr úsečky |SH| a využili tak i jiných goniometrických funkcí.

  23. V kvádru ABCDEFGH s hranou |AB|= 8 cm, |BC|= 3 cm a |AE|= 6 cm urči odchylku přímek AD a CE.

  24. Přímky AD a CE jsou mimoběžné, a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou. Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku EH, která je rovnoběžná s přímkou AD a má společný bod s přímkou CE. Také je možné najít rovnoběžnou přímku BC, která má stejnou vlastnost.

  25. Přímky EH a CE nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.

  26. Z vlastností hranolu vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana kvádru. Stranu EB je třeba vypočítat.

  27. Přímky CE a EH se protínají v bodě E, a proto je naše hledaná odchylka úhel . Trojúhelník CEH je pravoúhlý, proto můžeme při určování úhlu využít goniometrické funkce. Z obrázku je patrné, že úhel musí mít stejnou velikost, což vyplývá z vlastností pro úhly dvou rovnoběžek a jedné různoběžky (střídavé úhly).

  28. Před výpočtem odchylky je ovšem nutné zjistit velikost ještě alespoň jedné strany v trojúhelníku CEH. K výpočtu velikosti úsečky |CH| využijeme Pythagorovy věty.

  29. Výpočet úsečky |CH| je uveden zde.

  30. Nyní známe velikost úsečky |CH| a můžeme vypočítat úhel pomocí goniometrických funkce tangens. Nic však řešiteli nebrání v tom, aby si vypočítal rozměr tělesové úhlopříčky t =|CE| a využili tak i jiných goniometrických funkcí.

  31. Úkol závěrem • 1) V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 7 cm urči odchylku přímek: • a) AE a BH • b) SF a TG, kde body S a T jsou po řadě středy hran AE a BF. • c) BH a SE, kde bod S je střed hrany CG. • 2) V kvádru ABCDEFGH s hranou |AB|= 4 cm, |BC|= 10 cm a |AE|= 12 cm urči odchylku přímek: • a) AE a BH • b) SF a TG, kde body S a T jsou po řadě středy hran AE a BF. • c) BH a SE, kde bod S je střed hrany CG.

  32. Zdroje • Literatura: • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.

More Related