Stereometrie

1. Stereometrie Vzdálenost rovnoběžných rovin VY_32_INOVACE_M3r0120 Mgr. Jakub Němec

2. Vzdálenost rovnoběžných rovin • Připomeňme si, proč se nebavíme o vzdálenosti různoběžných a totožných rovin – vzdálenost mezi dvěma útvary měříme vždy na kolmici, což u různoběžných rovin není možné (velikost určená různými kolmicemi má různé hodnoty) a totožné roviny mají vždy vzdálenost nulovou. • Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin odpovídá vzdálenosti libovolného bodu jedné roviny od roviny druhé. • Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin odpovídá vzdálenosti bodů, které leží na průsečnicích libovolné kolmé roviny s danými rovinami. • Obdobně můžeme říci, že vzdálenost přímky od rovnoběžné roviny je určena vzdáleností libovolného bodu přímky od roviny.

3. V krychli ABCDEFGH o hraně 9 cm určete vzdálenost rovin BCG a KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, EF a GH.

4. Abychom mohli hledat vzdálenost rovin, musíme nalézt rovinu, která bude k oběma daným rovinám kolmá (vzhledem k vlastnostem rovnoběžných rovin je postačující, aby byla kolmá pouze k jedné z nich, a ke druhé bude kolmá také). V našem příkladu je zřejmé, že rovina přední stěny je kolmá k daným rovinám.

5. V nalezené rovině můžeme bez větších problémů určit vzdálenost (jak sami vidíte, máme nekonečně mnoho možností, jak vzdálenost najít).

6. Zde je vykreslena rovina ABF s průsečnicemi zadaných rovin.

7. Můžeme zvolit libovolnou kolmici k průsečnicím. Průsečíky kolmice s průsečnicemi vymezí vzdálenost. V tomto příkladu je jasné, že vzdálenost je polovina hrany krychle, tedy v = 4,5 cm.

8. V krychli ABCDEFGH o hraně 8 cm určete vzdálenost mezi rovinami ACH a BEG.

9. Stejně jako v předchozím příkladu musíme nalézt kolmou rovinu, v níž nalezneme průsečnice, jejichž vzdálenost budeme určovat.

10. V lekci o vzdálenosti bodu a roviny jsme řešili příklad, v němž jsme hledali vzdálenost bodu F od roviny BEG, což je vzdálenost y na vedlejším obrázku. V rámci obecného výpočtu jsme zjistili, že tato vzdálenost se rovná Stejná vzdálenost tedy musí být i mezi bodem D a rovinou ACH (označena jako x). Pokud , tak velikost v musí být , tedy . Příklad lze samozřejmě řešit i početně.

11. Úkol závěrem • 1) V krychli ABCDEFGH o hraně 14 cm urči vzdálenost rovin KLM a XYZ, kde body K, L, M, X, Y a Z jsou po řadě středy hran AB, BC, EF, AD, CD a EH. • 2) V krychli ABCDEFGH o hraně 9 cm urči vzdálenost rovin KLM a XYZ, kde body K, L, M, X, Y a Z jsou po řadě středy hran AB, BC, BF, AD, CD a DH.

12. Zdroje • Literatura: • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.