overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal  laagste punt

1. Hellinggrafieken schetsen y top v.d. grafiek  helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. top stijgend dalend stijgend x top O stijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen  hellinggrafiek boven de x-as dalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen  hellinggrafiek onder de x-as helling pos. overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt pos. x 0 O 0 laagste punt 6.1

2. opgave 4 ax < -3 hellinggrafiek onder de x-as de grafiek is dalend op 〈 , -3 〉 bf heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdt dat is het laagste punt cf is stijgend op 〈 -3 , 0 〉 d hoogste punt e schets y top top x O top top 6.1

3. Hellinggrafiek plotten • m.b.v. GR • TI MATH – MATH - menu • optie nDeriv • Casio OPTN – CALC – menu • optie d/dx • vb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8 • en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI) • of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio) 6.1

4. top y stijgend dalend top opgave 7 dalend a voer in y1 = -0,1x³ + x² - 2x + 5 en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI) of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio) kies Xmin = -2 , Xmax = 10 , Ymin = -10 , Ymax = 10 b helling = = y2(7) = -2,7 x O [ ] dy dx helling x = 7 top x O 0 0

5. y opgave 9 O x a voer in y1 = (5x² - 38)/(x² + 4) en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI) of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio) kies Xmin = -5 , Xmax = 5 , Ymin = -10 , Ymax = 5 b voer in y3 = 3 optie intersect met y2 en y3 geeft x ≈ 0,458 en x ≈ 2,354 aflezen  helling > 3 voor 0,458 < x < 2,354 helling 3 O x 2,354 0,458

6. De afgeleide functie • Bij een functie hoort een hellingfunctie. • i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt • notatie : f’ (f-accent) • De afgeleide van een functie f geeft voor elke x : • - de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt • - de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt 3.4

7. Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden, kijken we naar het differentiecoëfficiënt van f(x) op het interval [ x, x + h ] , dus naar f(x + h) – f(x) f(x + h) – f(x) ∆y ∆x = = h x + h - x Neem je op het interval [ x,x + h ] de waarde van h heel klein, dan geeft f(x + h) – f(x) een goede benadering van de r.c. van de raaklijn van de grafiek van f in het bijbehorende punt. h y y f(x+h) f(x+h) f(x+h) – f(x) f(x+h) – f(x) f(x) h klein f(x) h h x x x x+h x x+h O O f(x + h) – f(x) de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide f’(x) h de definitie van de afgeleide f’ van een functie f is f(x + h) – f(x) f’(x) = lim h 3.4 h  0

8. Voorbeeld limietstelling. Neem de functie :

9. De afgeleide functie • Bij een functie hoort een hellingfunctie. • i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt. • notatie : f’ (f-accent) • regels voor de afgeleide : • f(x) = a geeft f’(x) = 0 • f(x) = ax geeft f’(x) = a • f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax 6.2

10. eerst haakjes wegwerken opgave 14a • f(x) = (2x – 7)(8 + x) • f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x • f(x) = 2x² + 9x – 56 • f’(x) = 2 · 2x + 9 • f’(x) = 4x + 9 dezelfde termen optellen somregel van differentiëren 6.2

11. opgave 15c • h(x) = 5(x – 3)² + 5(x – 1) + 8 • h(x) = 5(x – 3)(x – 3) + 5x – 5 + 8 • h(x) = 5(x² - 6x + 9) + 5x + 3 • h(x) = 5x² - 30x + 45 + 5x + 3 • h(x) = 5x² - 25x + 48 • h’(x) = 2 · 5x – 25 • h’(x) = 10x - 25

12. opgave 15d • k(x) = -3(x – 1)(5 – 2x) – 8(x – 7) • k(x) = -3(5x – 2x² - 5 + 2x) – 8x + 56 • k(x) = -15x + 6x² + 15 – 6x – 8x + 56 • k(x) = 6x² - 29x + 71 • k’(x) = 2 · 6x – 29 • k’(x) = 12x - 29

13. De afgeleide van f(x) = axn • f(x) = ax3 • f’(x) = 3ax² • g(x) = ax4 • g’(x) = 4ax3 • h(x) = ax5 • h’(x) = 5ax4 • algemeen geldt: • k(x) = axn • k’(x) = n · axn-1 oude exponent ervoor zetten nieuwe exponent 1 minder (4 – 1 = 3)

14. opgave 17a • f(x) = 5x4 – 3x3 + 2x • f’(x) = 4 · 5x3 – 3 · 3x2 + 2 • f’(x) = 20x3 – 9x2 + 2

15. opgave 18b • g(x) = 7(3x – 2)(x² + 2x) • g(x) = 7(3x3 + 6x2 - 2x2 – 4x) • g(x) = 21x3 + 42x2 – 14x2 – 28x • g(x) = 21x3 + 28x2 – 28x • g’(x) = 3 · 21x2 + 2 · 28x – 28 • g’(x) = 63x2 + 56x - 28

16. opgave 18d • h(x) = 3px8 – px4 • h’(x) = 8 · 3px7 – 4 ·px3 • h’(x) = 24px7 – 4px3

17. Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt of f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt. algemeen: f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)) y f k A x O xA yA = f(xA) rck = f’(xA) 6.3

18. opgave 20 af(x) = 0,5x3 – 2x2 + 2 f’(x) = 3 · 0,5x2 – 2 · 2x f’(x) = 1,5x2 – 4x stel k : y = ax + b xA = 4 a = f’(4) = 1,5 · 42 – 4 · 4 = 8 dit geeft k : y = 8x + b y = f(4) = 0,5 · 43 – 2 · 42 + 2 = 2 dus k : y = 8x - 30 2 = 8 · 4 + b 2 = 32 + b b = -30 6.3

19. opgave 20 bstel m : y = ax + b xB = -1 a = f’(-1) = 1,5 · (-1)2 – 4 · -1 = 5,5 dit geeft m : y = 5,5x + b y = f(-1) = 0,5 · (-1)3 – 2 · (-1)2 + 2 = -0,5 dus m : y = 5,5x + 5 -0,5 = 8 · -1 + b -0,5 = -5,5 + b b = 5

20. opgave 23 ah(x) = (x – 1)(x – 4) h(x) = x2 – 4x – 1x + 4 h(x) = x2 – 5x + 4 h’(x) = 2x - 5 stel k : y = ax + b xA = 6 a = h’(6) = 2 · 6 - 5 = 7 dit geeft k : y = 7x + b y = h(6) = 5 · 2 = 10 dus k : y = 7x - 32 10 = 7 . 6 + b 10 = 42 + b b = -32

21. opgave 23 bstel m : y = ax + b de grafiek h snijdt de y-as in punt B xB = 0 a = h’(0) = 2 · 0 - 5 = -5 dit geeft m : y = -5x + b y = f(0) = 4 B(0, 4) dus m : y = -5x + 4

22. opgave 23 c de grafiek h snijdt de x-as  y = 0 h(x) = 0  (x – 1)(x – 4) = 0 x = 1 ⋁x = 4 stel de raaklijn in (1, 0) is m : y = ax + b a = h’(1) = 2 · 1 – 5 = -3 dit geeft n : y = -3x + b (1, 0) dus n : y = -3x + 3 stel de raaklijn in (4, 0) is p : y = ax + b a = h’(4) = 2 · 4 – 5 = 3 dit geeft p : y = 3x + b (4, 0) dus p : y = 3x - 12 0 = -3 · 1 + b b = 3 0 = 3 · 4 + b b = -12

23. Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient Teken f(x) = x² - 3x + 1 Teken enkele lijnen met rc = 2 Eén van de lijnen raakt de grafiek het raakpunt is B. Bereken de coördinaten van B rc = 2 dus f’(xB) = 2 xB berekenen f’(x) = 2 oplossen f’(x) = 2x – 3 f’(x) = 2 xB = 2,5 yB = f(2,5) = -0,25 B(2,5; -0,25) y 4 3 2 2x – 3 = 2 2x = 5 x = 2,5 1 x ● -1 0 1 2 3 4 B -1 6.3

24. opgave 25 f(x) = -x² + 2x + 3 a rcraaklijn = 4 dus f’(x) = 4 f’(x) = -2x + 2 xA = -1 yA = f(-1) = 0 A(-1, 0) bk : y = -6x + 8 rcraaklijn = -6 dus f’(xB) = -6 f’(x) = -2x + 2 xB = 4 yB = f(4) = -5 B(4, -5) y 4 -2x + 2 = 4 -2x = 2 x = -1 3 2 f 1 -2x + 2 = -6 -2x = -8 x = 4 A ● x -1 0 1 2 3 4 -1 k 6.3

25. opgave 27 af(x) = -x³ + x² + 1 f’(x) = -x² + 2x stel l : y = ax + b xA = 3 a = f’(3) = -3² + 2 · 3 = -3 l : y = -3x + b f(3) = 1 dus l : y = -3x + 10 b rcm = rcl = -3  f’(x) = -3 -x² + 2x = -3 x² - 2x – 3 = 0 (x + 1)(x – 3) = 0 x = -1 v x = 3 xB = -1 yB = 2 1 = -3 . 3 + b 1 = -9 + b b = 10 m : y = -3x + b B(-1, 2 ) dus m : y = -3x -  2 = -3 · -1 + b 2 = 3 + b b = -

26. Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide • werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden • 1 Bereken f’(x) • 2 Los algebraïsch op f’(x) = 0 • 3 Voer de formule van f in op de GR. • Plot en schets de grafiek. • Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. • 4 Bereken de y-coördinaten van de toppen en • noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … • en min. is f(…) = … raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0 6.3

27. opgave 30a y f(x) = x³ + 3½x² + 10x + 5 f’(x) = x² + 7x + 10 f’(x) = 0 geeft x² + 7x + 10 = 0 (x + 2)(x + 5) = 0 x = -2 ⋁x = -5 voer f in op je GR optie maximum max. is f(-5) =  en optie minimum min. is f(-2) = -3 ● x -5 -2 O ●

28. y opgave 32 50 af(x) = -x³ - 3x² + 24x + 10 f’(x) = -3x² - 6x + 24 f’(x) = 0 geeft -3x² - 6x + 24 = 0 x² + 2x – 8 = 0 (x + 4)(x – 2) = 0 x = -4 ⋁x = 2 voer f in op je GR optie minimum min. is f(-4) = -70 optie maximum max. is f(2) = 38 bf(x) = -50  3 oplossingen y = -50  snijdt de grafiek van f3 keer f(x) = 50  1 oplossing y = 50  snijdt de grafiek van f1 keer ● 38 x -4 O 2 -50 ● -70 cf(x) = p 3 oplossingen -70 < p < 38 df(x) = p 1 oplossing p < -70 ⋁p > 38

29. In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum • Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn: • Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ? • Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ? • Bij welke route horen de laagste kosten ? 6.4

30. opgave 35 a stel AD = x CD + 2x = 40 CD = 40 – 2x O = AD·CD O = x(40 – 2x) O = 40x – 2x² b = 40 – 4x = 0 40 – 4x = 0 -4x = -40 x = 10 AD = 10 m. CD= 40 – 20 = 20 m. dO dx O 200 dO dx x O 10 6.4

31. De totale lengte van het hekwerk is 160 meter. Druk de oppervlakte van het perceel uit in x? Voor welke x is de oppervlakte van het grasland maximaal? Extra opgave

32. opgave 42 a 4 · lengte + 4 · hoogte + 4 · breedte = 12 lengte + hoogte + breedte = 3 4x + h + x = 3 5x + h = 3 h = 3 – 5x bI = l· b·h I = 4x·x· (3 – 5x) I = 4x²(3 – 5x) I = 12x² - 20x³ c = 24x – 60x² = 0 24x – 60x² = 0 12x(2 – 5x) = 0 12x = 0 ⋁ 2 – 5x = 0 x = 0 ⋁ -5x = -2 x = 0 ⋁x = 0,4 :4 l 0,64 dl dx dl dx x O 0,4 x = 0,4  lmax = 0,64 m³ bij x = 0,4 hoort h = 3 – 5 · 0,4 h = 1 m.

33. opgave 44 yP y = 9 - x² op de parabool ligt punt P met xP = p PQ = yP PQ = 9 - p² O(∆OPQ) = ½ ·OQ·PQ O(∆OPQ) = ½p· (9 - p²) O(∆OPQ) = 4,5p – 0,5p³ = 4,5 – 1,5p² = 0 4,5 – 1,5p² = 0 -1,5p² = -4,5 p² = 3 p = √3 ⋁p = -√3 O dO dp 3√3 dO dp p O √3 Omax = 4,5 · √3 – 0,5 · (√3)³ Omax = 4,5√3 – 0,5 · 3√3 Omax = 4,5√3 – 1,5√3 = 3√3

34. opgave 45 f(x) = 1 - x² g(x) = 1 - x³ verticale lijn : x = p O = O(∆OPR) – O(∆OPQ) O = O(∆OQR) O = ½ ·OP·QR O = ½ · p · ((1 - p³) – (1 - p²)) O = ½p(p²- p³) O = ½p³ - ½p4 = 1½p² - 2p³ = 0 1½p² - 2p³ = 0 p²(1½ - 2p) = 0 p = 0 ⋁ 1½ - 2p = 0 O 0,05 dO dp dO dp p 1 O ¾ p = 0 ⋁ 2p = 1½ p = 0 ⋁p = ¾ O is maximaal voor p = ¾