Evoluciona teorija igara

1. Evoluciona teorija igara ekonomija matematika Primena u biologiji: neki aspekti evolucije mogu se predstaviti strateškim igrama filozofija biologija

2. Evoluciona teorija igara ekonomija matematika Primena u biologiji: neki aspekti evolucije mogu se predstaviti strateškim igrama filozofija biologija

3. Evoluciona teorija igara ekonomija matematika sociologija antropologija Primena u biologiji: neki aspekti evolucije mogu se predstaviti strateškim igrama filozofija biologija

4. Evoluciona teorija igara ekonomija matematika sociologija antropologija Primena u biologiji: neki aspekti evolucije mogu se predstaviti strateškim igrama Primena evolucione teorije igara nazad na ekonomiju, filozofiju i društvene nauke: filozofija biologija

5. Evoluciona teorija igara ekonomija matematika sociologija antropologija Primena u biologiji: neki aspekti evolucije mogu se predstaviti strateškim igrama Primena evolucione teorije igara nazad na ekonomiju, filozofiju i društvene nauke: - ‘Evolucija’ iz evolucione teorije ne mora biti biološka filozofija biologija

6. Evoluciona teorija igara ekonomija matematika sociologija antropologija Primena u biologiji: neki aspekti evolucije mogu se predstaviti strateškim igrama Primena evolucione teorije igara nazad na ekonomiju, filozofiju i društvene nauke: - ‘Evolucija’ iz evolucione teorije ne mora biti biološka - Pretpostavke racionalnosti evolucione teorije često su odgovarajuće za predstavljanje društvenih sistema u većoj meri no pretpostavke tradicionalne teorije igara filozofija biologija

7. Evoluciona teorija igara ekonomija matematika sociologija antropologija Primena u biologiji: neki aspekti evolucije mogu se predstaviti strateškim igrama Primena evolucione teorije igara nazad na ekonomiju, filozofiju i društvene nauke: - ‘Evolucija’ iz evolucione teorije ne mora biti biološka - Pretpostavke racionalnosti evolucione teorije često su odgovarajuće za predstavljanje društvenih sistema u većoj meri no pretpostavke tradicionalne teorije igara - Evoluciona teorija upotpunjuje tradicionalnu jer je (u većoj meri od tradicionalne) dinamička filozofija biologija

8. Evoluciona teorija igara Počeci: 1930 R A Fisher “The Genetic Theory of Natural Selection“ 1961 R C Lewontin “Evolution and the Theory of Games”

9. Evoluciona teorija igara Počeci: 1930 R A Fisher “The Genetic Theory of Natural Selection“ 1961 R C Lewontin “Evolution and the Theory of Games” Maynard Smith: ESS 1972 “Game Theory and the Evolution of Fighting.” 1973 “The Logic of Animal Conflict,”John Maynard Smithand George Price 1982 “Evolution and the Theory of Games”

10. Evoluciona stabilnost Jedan od glavnih pristupa evolucionoj teoriji igara koristi M Smitov pojam ESS kao glavno sredstvo analize.

11. Evoluciona stabilnost Jedan od glavnih pristupa evolucionoj teoriji igara koristi M Smitov pojam ESS kao glavno sredstvo analize. Kobac – golub Dve individue se bore za resurse određene vrednosti V

12. Evoluciona stabilnost Jedan od glavnih pristupa evolucionoj teoriji igara koristi M Smitov pojam ESS kao glavno sredstvo analize. Kobac – golub Dve individue se bore za resurse određene vrednosti V (U biologiji, V bi odgovaralo određenom porastu sposobnosti preživljavanja ili nekog drugog svojstva relevantnog za evoluciju nekih bića; za to svojstvo je pronađen način kvantitativnog izražavanja. U nekoj društvenoj nauci V bi imalo drugačiju interpretaciju.)

13. Evoluciona stabilnost Jedan od glavnih pristupa evolucionoj teoriji igara koristi M Smitov pojam ESS kao glavno sredstvo analize. Kobac – golub Dve individue se bore za resurse određene vrednosti V (U biologiji, V bi odgovaralo određenom porastu sposobnosti preživljavanja ili nekog drugog svojstva relevantnog za evoluciju nekih bića; za to svojstvo je pronađen način kvantitativnog izražavanja. U nekoj društvenoj nauci V bi imalo drugačiju interpretaciju.) Svaka individua koristi jednu (i samo jednu) od ovih strategija: Kobac – Nastupa agresivno, i ne prestaje sa borbom dok ne bude povređen ili dok se protivnik ne povuče. Golub – Odmah se povlači ako protivnik nastupi agresivno

14. Evoluciona stabilnost Kobac – golub Dalje pretpostavke: - Pri susretu dva kobca dolazi do borbe, i svaka individua ima jednake šanse da bude povređena - Cena borbe je neka konstanta C. Vrednost resursa V se umanjuje za C. - Pri susretu kobca i goluba, golub se odmah povlači i kobac dobija resurse - Pri susretu dva goluba, resursi se dele na dva jednaka dela

15. Evoluciona stabilnost Kobac – golub Dalje pretpostavke: - Pri susretu dva kobca dolazi do borbe, i svaka individua ima jednake šanse da bude povređena - Cena borbe je neka konstanta C. Vrednost resursa V se umanjuje za C. - Pri susretu kobca i goluba, golub se odmah povlači i kobac dobija resurse - Pri susretu dva goluba, resursi se dele na dva jednaka dela

16. Evoluciona stabilnost Kobac – golub (Da bi matrica bila preglednija, možemo prikazati samo vrednosti za prvog igrača)

17. Evoluciona stabilnost Kobac – golub (Da bi matrica bila preglednija, možemo prikazati samo vrednosti za prvog igrača) Da bi neka strategija bila evoluciono stabilna, mora važiti ovaj uslov:

18. Evoluciona stabilnost Kobac – golub (Da bi matrica bila preglednija, možemo prikazati samo vrednosti za prvog igrača) Da bi neka strategija bila evoluciono stabilna, mora važiti ovaj uslov: Kada bi skoro svaki član neke populacije koristio tu streategiju, nijedan mutant ne bi mogao uspešno da se najezdi. Mutant je individua koja koristi neku drugu strategiju.

19. Evoluciona stabilnost Kobac – golub Da bi neka strategija bila evoluciono stabilna, mora važiti ovaj uslov: Kada bi skoro svaki član neke populacije koristio tu streategiju, nijedan mutant ne bi mogao uspešno da se najezdi. Mutant je individua koja koristi neku drugu strategiju. Golub očigledno nije ESS, jer populacija sastavljena samo od golubova ne mogla da izdrži najezdu kobaca

20. Evoluciona stabilnost Kobac – golub Da bi neka strategija bila evoluciono stabilna, mora važiti ovaj uslov: Kada bi skoro svaki član neke populacije koristio tu streategiju, nijedan mutant ne bi mogao uspešno da se najezdi. Mutant je individua koja koristi neku drugu strategiju. Golub očigledno nije ESS, jer populacija sastavljena samo od golubova ne mogla da izdrži najezdu kobaca Ove ideje mogu se izraziti i precizno:

21. Evoluciona stabilnost Neka ΔF(s1,s2) označava promenu u resursima koju ostvari neka individua koristeći strategiju s1kada njen protivnik koristi strategiju s2.

22. Evoluciona stabilnost Neka ΔF(s1,s2) označava promenu u resursima koju ostvari neka individua koristeći strategiju s1kada njen protivnik koristi strategiju s2. NekaF(s) označava ukupnu korist individue koja koristi strategiju s.

23. Evoluciona stabilnost Neka ΔF(s1,s2) označava promenu u resursima koju ostvari neka individua koristeći strategiju s1kada njen protivnik koristi strategiju s2. NekaF(s) označava ukupnu korist individue koja koristi strategiju s. Pretpostavimo još da svaka individua u populaciji ima neku početnu količinu resursa vrednosti F0.

24. Evoluciona stabilnost Neka ΔF(s1,s2) označava promenu u resursima koju ostvari neka individua koristeći strategiju s1kada njen protivnik koristi strategiju s2. NekaF(s) označava ukupnu korist individue koja koristi strategiju s. Pretpostavimo još da svaka individua u populaciji ima neku početnu količinu resursa vrednosti F0. Sve ove veličine, ΔF(s1,s2),F(s) iF0, izražavaju se istim jedinicama kao i vrednost resursa V iz prethodne matrice.

25. Evoluciona stabilnost Neka ΔF(s1,s2) označava promenu u resursima koju ostvari neka individua koristeći strategiju s1kada njen protivnik koristi strategiju s2. NekaF(s) označava ukupnu korist individue koja koristi strategiju s. Pretpostavimo još da svaka individua u populaciji ima neku početnu količinu resursa vrednosti F0. Sve ove veličine, ΔF(s1,s2),F(s) iF0, izražavaju se istim jedinicama kao i vrednost resursa V iz prethodne matrice. Ako je σ ESS, a μ je uljez koji pokušava da se naseli kao mutant, i ako je p proporcija mutanata (br. mutanata podeljen sa brojem individua u populaciji), onda

26. Evoluciona stabilnost Neka ΔF(s1,s2) označava promenu u resursima koju ostvari neka individua koristeći strategiju s1kada njen protivnik koristi strategiju s2. NekaF(s) označava ukupnu korist individue koja koristi strategiju s. Pretpostavimo još da svaka individua u populaciji ima neku početnu količinu resursa vrednosti F0. Sve ove veličine, ΔF(s1,s2),F(s) iF0, izražavaju se istim jedinicama kao i vrednost resursa V iz prethodne matrice. Ako je σ ESS, a μ je uljez koji pokušava da se naseli kao mutant, i ako je p proporcija mutanata (br. mutanata podeljen sa brojem individua u populaciji), onda F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ) F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ)

27. Evoluciona stabilnost F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ) F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ)

28. Evoluciona stabilnost F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ) F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ) Kako je σ evoluciono stabilna, F(σ) mora biti veće od F(μ) (inače bi se uljez μ ugnjezdio).

29. Evoluciona stabilnost F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ) F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ) Kako je σ evoluciono stabilna, F(σ) mora biti veće od F(μ) (inače bi se uljez μ ugnjezdio). Kako je p po pretpostavci vrlo blisko nuli, uslov F(σ) > F(μ) zahteva da ili ΔF(σ,σ) > ΔF(μ,σ) ili

30. Evoluciona stabilnost F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ) F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ) Kako je σ evoluciono stabilna, F(σ) mora biti veće od F(μ) (inače bi se uljez μ ugnjezdio). Kako je p po pretpostavci vrlo blisko nuli, uslov F(σ) > F(μ) zahteva da ili ΔF(σ,σ) > ΔF(μ,σ) ili ΔF(σ,σ) = ΔF(μ,σ) i ΔF(σ,μ) > ΔF(μ,μ)

31. Evoluciona stabilnost F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ) F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ) Kako je σ evoluciono stabilna, F(σ) mora biti veće od F(μ) (inače bi se uljez μ ugnjezdio). Kako je p po pretpostavci vrlo blisko nuli, uslov F(σ) > F(μ) zahteva da ili ΔF(σ,σ) > ΔF(μ,σ) ili ΔF(σ,σ) = ΔF(μ,σ) i ΔF(σ,μ) > ΔF(μ,μ) (Ovo je definicija pojma ESS koju su dali Maynard Smith i Price)

32. Evoluciona stabilnost F(σ) = F0 + (1−p)ΔF(σ,σ) + pΔF(σ,μ) F(μ) = F0 + (1−p)ΔF(μ,σ) + pΔF(μ,μ) Kako je σ evoluciono stabilna, F(σ) mora biti veće od F(μ) (inače bi se uljez μ ugnjezdio). Kako je p po pretpostavci vrlo blisko nuli, uslov F(σ) > F(μ) zahteva da ili ΔF(σ,σ) > ΔF(μ,σ) ili ΔF(σ,σ) = ΔF(μ,σ) i ΔF(σ,μ) > ΔF(μ,μ) (Ovo je definicija pojma ESS koju su dali Maynard Smith i Price) Ili rečima: strategija σ je ESS ako važi jedan od ova dva uslova: (1) pri susretu dva igrača koji koriste strategiju σ svaki od njih bolje prolazi od mutanta koji se sreće sa igračem koji koristi strategiju σ, ili (2) ako neki mutant igra jednako dobro protiv σ-igrača kao σ-igrači međusobno, onda σ-igrači igraju protiv mutanata bolje nego mutanti protiv mutanata.

33. Evoluciona stabilnost Kako smo rekli, Golub očigledno nije ESS, jer populacija sastavljena samo od golubova ne mogla da izdrži najezdu kobaca

34. Evoluciona stabilnost Kako smo rekli, Golub očigledno nije ESS, jer populacija sastavljena samo od golubova ne mogla da izdrži najezdu kobaca Ako je V >C (tj. ako je vredno rizikovati povredu da bi se dobili resursi), onda je Kobac ESS

35. Evoluciona stabilnost Kako smo rekli, Golub očigledno nije ESS, jer populacija sastavljena samo od golubova ne mogla da izdrži najezdu kobaca Ako je V >C (tj. ako je vredno rizikovati povredu da bi se dobili resursi), onda je Kobac ESS Ako je C >V, onda nema čistih streategija koje su evoluciono stabilne.

36. Evoluciona stabilnost Kako smo rekli, Golub očigledno nije ESS, jer populacija sastavljena samo od golubova ne mogla da izdrži najezdu kobaca Ako je V >C (tj. ako je vredno rizikovati povredu da bi se dobili resursi), onda je Kobac ESS Ako je C >V, onda nema čistih streategija koje su evoluciono stabilne. Ali ako igrači mogu da koriste mešovite strategije, onda postoji ESS.

37. Evoluciona stabilnost Nakon primera koji smo videli, postaju jasnije razlike između tradicionalne i evolucione teorije, koje smo pomenuli na početku. U evolucionoj teoriji poteze u igrama ne povlače racionalni činioci. U tipičnom sluaju, činioci su vezani za jednu strategiju, a uspeh strategije se definiše brojem potomaka narednih generacija koji ostaju da učestvuju u igri i koji će primenjivati tu istu strategiju. Tako sada same strategije postaju igrači, i igre koje one igraju su dinamičke.

38. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics Uočimo neke crte prirodne selekcije, kako ona utiče na familije životinja, menjajući, stvarajući i uništavajuči vrste. Ukoliko neka životinja ima nasledno svojstvo koje povećava broj njenih očekivanih potomaka u datoj sredini, ona će imati tendenciju da ostavi veći broj potomaka od ostalih životinja te vrste, ako uslovi u sredini ostaju relativno stabilni. Ti potomci imaju više šansi da naslede svojstvo o kome se radi. Dakle, procenat tog naslednog svojstva će se postepeno povećavati kako se generacije smenjuju. Neka od takvih svojstava mogu doći do tzv. fiksacije, tj., da se prošire po celoj populaciji (dok se uslovi u okolini ne promene). Često je jedan od glavnih aspekata okoline delovanje ili tendencija delovanja drugih organizama. Možemo reći da svaka familija ‘pokušava’ da maksimizuje svoju reproduktivnu efikasnost (što se može numerički izraziti npr. brojem unučadi) tako što pronalazi strtegiju koja će biti optimalna s obzirom na strategije drugih familija.

39. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics Primer Brajana Skrmsa (Brian Skyrms) Ispituje uslove pod kojima bi mogao da se javi smisao za pravdu (ovde će pravda biti tendencija da se resursi dele podjednako, sem ako bi u specijalnim slučajevima drugačija podela bila efikasnija) Pretpostavimo da se populacija sastoji od individua koje se stalno susreću i bore ili pregovaraju o resursima, i koje spadaju u jedan od tri tipa:

40. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics Primer Brajana Skrmsa (Brian Skyrms) Ispituje uslove pod kojima bi mogao da se javi smisao za pravdu (ovde će pravda biti tendencija da se resursi dele podjednako, sem ako bi u specijalnim slučajevima drugačija podela bila efikasnija) Pretpostavimo da se populacija sastoji od individua koje se stalno susreću i bore ili pregovaraju o resursima, i koje spadaju u jedan od tri tipa: - Pošteni uvek traži tačno pola resursa

41. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics Primer Brajana Skrmsa (Brian Skyrms) Ispituje uslove pod kojima bi mogao da se javi smisao za pravdu (ovde će pravda biti tendencija da se resursi dele podjednako, sem ako bi u specijalnim slučajevima drugačija podela bila efikasnija) Pretpostavimo da se populacija sastoji od individua koje se stalno susreću i bore ili pregovaraju o resursima, i koje spadaju u jedan od tri tipa: - Pošteni uvek traži tačno pola resursa - Drčni traži uvek više od pola. Kada se dva takva sretnu, resurs propada u borbi.

42. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics Primer Brajana Skrmsa (Brian Skyrms) Ispituje uslove pod kojima bi mogao da se javi smisao za pravdu (ovde će pravda biti tendencija da se resursi dele podjednako, sem ako bi u specijalnim slučajevima drugačija podela bila efikasnija) Pretpostavimo da se populacija sastoji od individua koje se stalno susreću i bore ili pregovaraju o resursima, i koje spadaju u jedan od tri tipa: - Pošteni uvek traži tačno pola resursa - Drčni traži uvek više od pola. Kada se dva takva sretnu, resurs propada u borbi. - Skromni uvek traži manje od pola. Kada se dva takva sretnu, uzmu manje resursa no što im je na raspolaganju, pa deo propada.

43. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics Primer Brajana Skrmsa (Brian Skyrms) Ispituje uslove pod kojima bi mogao da se javi smisao za pravdu (ovde će pravda biti tendencija da se resursi dele podjednako, sem ako bi u specijalnim slučajevima drugačija podela bila efikasnija) Pretpostavimo da se populacija sastoji od individua koje se stalno susreću i bore ili pregovaraju o resursima, i koje spadaju u jedan od tri tipa: - Pošteni uvek traži tačno pola resursa - Drčni traži uvek više od pola. Kada se dva takva sretnu, resurs propada u borbi. - Skromni uvek traži manje od pola. Kada se dva takva sretnu, uzmu manje resursa no što im je na raspolaganju, pa deo propada. Svaki pojedinačni susret pri kome je zbir zahtevane količine resusrsa jednak 100% raspoloživog resursa šredastavlja NE te pojedinačne igre.

44. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics Ali igra može da ima mnogo dinamičkih ekvilibrijuma

45. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics Ali igra može da ima mnogo dinamičkih ekvilibrijuma Pretpostavimo da Drčni traži 2/3 resursa a Skromni 1/3. Tada ovi sastavi populacije predstavljaju ESS:

46. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics Ali igra može da ima mnogo dinamičkih ekvilibrijuma Pretpostavimo da Drčni traži 2/3 resursa a Skromni 1/3. Tada ovi sastavi populacije predstavljaju ESS: - Pola populacije su Drčni, a pola Skromni. Skromni dobija trećinu resursa pri svakom susretu. Drčni dobija dve trećine kada sretne Skromnog, i ne dobija ništa kada sretne drugog Drčnog. Tako je i njihova prosečna dobit 1/3.

47. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics Ali igra može da ima mnogo dinamičkih ekvilibrijuma Pretpostavimo da Drčni traži 2/3 resursa a Skromni 1/3. Tada ovi sastavi populacije predstavljaju ESS: - Pola populacije su Drčni, a pola Skromni. Skromni dobija trećinu resursa pri svakom susretu. Drčni dobija dve trećine kada sretne Skromnog, i ne dobija ništa kada sretne drugog Drčnog. Tako je i njihova prosečna dobit 1/3. Ovaj odnos je ESS zato što Pošteni ne može da se naseli. Kada bi se Pošteni našao u ovoj grupi, pri susretu sa Skromnim dobio bi pola resursa, ali pri susretu sa Drčnim ne bi dobio ništa. Dakle, njegova prosečna dobit bi bila 1/4. Ni Skromni ni Drčni ne bi imao razloga da promeni svoju strategiju. Dakle, Pošteni mutant bi prolazio gore od svih ostalih, i ‘prirodna selkcija’ ne bi vodila povećanju broja Poštenih.

48. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics - Svi igrači su Pošteni. Svako dobija pola resursa pri svakom susretu. Drčni koji bi se pojavio u toj populaciji pri svakom susretu ne bi dobio ništa. Skromni bi dobio jednu trećinu, ali bi opet prolazio gore od Poštenih.

49. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics - Svi igrači su Pošteni. Svako dobija pola resursa pri svakom susretu. Drčni koji bi se pojavio u toj populaciji pri svakom susretu ne bi dobio ništa. Skromni bi dobio jednu trećinu, ali bi opet prolazio gore od Poštenih. Primetite da je prethodni ekkvilibrijum (pola Drćni pola Skromni) manje efikasan od ovog, jer je prosečna korist po pripadniku populacije veća kad su svi pošteni. Kao što postoje više i manje efikasni NE statičkih igara, tako može biti i sa ESS u dinamičkim igrama.

50. Evoluciona stabilnost the replicator dynamics - Svi igrači su Pošteni. Svako dobija pola resursa pri svakom susretu. Drčni koji bi se pojavio u toj populaciji pri svakom susretu ne bi dobio ništa. Skromni bi dobio jednu trećinu, ali bi opet prolazio gore od Poštenih. Primetite da je prethodni ekkvilibrijum (pola Drćni pola Skromni) manje efikasan od ovog, jer je prosečna korist po pripadniku populacije veća kad su svi pošteni. Kao što postoje više i manje efikasni NE statičkih igara, tako može biti i sa ESS u dinamičkim igrama. Ekvilibrijume u kojima se javlja više od jedne strategije zvemo polimorfizmima.