Tes Satu Sampel Chi-Square

1. Tes Satu SampelChi-Square Sekolah Tinggi Ilmu Statistik

2. Fungsi Uji chi-square merupakan pengujian hipotesis tentang perbandingan antara frekuensi sampel yang benar-benar terjadi (selanjutnya disebut dengan frekuensi observasi – O) dengan frekuensi harapan yang didasarkan pada hipotesis tertentu pada setiap kasus atau data (selanjutnya disebut dengan frekuensi harapan – E).

3. Prosedur • Letakkan frekuensi-frekuensi terobservasi dalam k kategori. Jumlah frekuensi itu seluruhnya harus N, yakni banyak observasi-observasi independen. • Dari H0 tentukan frekuensi yang diharapkan untuk tiap-tiap k sel itu. Manakala k>2, dan bila lebih dari 20% dari Ei kurang dari 5, gabungkanlah kategori-kategori yang berdekatan apabila hal ini memungkinkan, dan dengan demikian kita mengurangi harga k serta meningkatkan harga beberapa Ei. Apabila k=2, tes 2 untuk kasus satu sampel dapat digunakan secara memadai hanya jika tiap-tiap frekuensi yang diharapkan adalah lima atau lebih. • Hitung harga 2 dengan rumus ∑(Oi-Ei)2/Ei. • Tetapkan harga db=k-1. • Dengan melihat tabel C, tetapkan probabilitas yang dikaitkan dengan terjadinya suatu harga yang sebesar harga 2 hitungan untuk harga db yang bersangkutan. Jika harga ini sama atau kurang dari α, H0 ditolak.

4. Contoh • Apakahjumlahteleponmasukkelayanan PMB STIS samasetiapharinyadalamsemingguselamapendaftaran? • (i.e., do calls follow a uniform distribution?) • Data yang diperoleh: • Jumlahteleponmasuk: Senin 290 Selasa250 Rabu 238 Kamis257 Jumat265 Sabtu230 Minggu192 • ∑=1722

5. Solusi • If calls are uniformly distributed, the 1722 calls would be expected to be equally divided across the 7 days: • Chi-Square Goodness-of-Fit Test: menguji untuk melihat apakah hasil sampel konsisten dengan hasil yang diharapkan

6. Solusi Frekuensi Observed vs. Expected

7. Solusi H0: Distribusi panggilan teleponadalah samaselama 7 hari dalam seminggu HA: Distribusi panggilan teleponadalah tidaksamaselamaseminggu • The test statistic is where: k = banyaknya kategori oi = Frekuensi hasil pengamatan ei = Frekuensi yang diharapkan

8. Solusi • Daerah penolakan Reject H0 if • Chi Square hitung  0 2 Do not reject H0 Reject H0 2

9. Solusi • Chi Square Tabel k – 1 = 6 (7 days of the week) so use 6 dof 2.05 = 12.5916 • Chi Square hitung 23.05 2 = 23.05 > 2 = 12.5916 so reject H0 and conclude that the distribution is not uniform  = .05 0 2 Do not reject H0 Reject H0 2.05 = 12.5916

10. Distribusi Chi-Square • Distribusi khi-kuadrat yang kita gunakan sebagai uji statistik mempunyai karakteristik sebagai berikut: • Nilai Khi-kuadrat tidak pernah negatif, karena selisih dari frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan dikuadratkan. • Ketajaman dari distribusi khi-kuadrat tidak tergantung pada ukuran sampel tetapi tergantung pada banyaknya kategori yang digunakan. • Distribusi khi-kuadrat bersifat menceng kanan (nilai positif), semakin meningkat jumlah derajat bebas maka semakin mendekati distribusi normal.

11. Latihan 1 Sebuah Distributor alatpenggilinganpadimembagipasarmenjadi 4 wilayah (A, B, C, dan D). Ada informasibahwapendistribusianalatpenggilinganmeratapadasetiapwilayah. Untukmembuktikanpernyataantersebutdiambil 40 arsipsebagaisampel. Data distribusialatpenggilingan di empatwilayahadalahsbb Wilayah A B C D Frekuensi 6 12 14 8 Gunakantingkiatsignifikansi 5% untukpengujian.

12. Latihan 2 Seorangmanajerpemasaransebuahpabrikkartuolahragamerencanakanmembuatserikartudengangambarpemainsepak bola terkenal. PemainterkenaltersebutadalahMessi, Ronaldo, Sneijder, Torres, Xavi, danGerrard. Di hariterakhir, iaberhasilmenjualsebanyak 120 kartudengan data sebagaiberrikut: Pemain M R S T X G Kartuterjual 13 33 14 7 36 17 Ujiapakahpopularitaspemainmempengaruhitingkatpenjualankartuolahraga tersebutseandainyatidakadaperbedaan yang signifikanpadapopularitasparapemain.

13. Latihan 3 BPS mengindikasikan bahwa 63,9% penduduk Indonesia berstatus kawin, 7,7% cerai mati, 6,9% cerai hidup (dan tidak menikah lagi), dan 21,5% belum kawin. Sampel 500 orang dewasa dari DKI Jakarta menunjukkan bahwa 310 kawin, 40 cerai mati, 30 cerai hidup, dan 120 belum kawin. Pada tingkat signifikansi 5% dapatkah disimpulkan bahwa DKI Jakarta berbeda (distribusi berubah) dari Indonesia?

14. Jawab Latihan 1 Distribusialatpenggilingan di daerah A, B, C, dan D

15. Jawab Latihan 1

16. Jawab Latihan 2 DistribusiKartuterjual Pemain M R S T X G Kartuterjual 13 33 14 7 36 17 HarapanKartu 20 20 20 20 20 20 terjual Hasil2adalah (13-20)2/20 + ……….+ (17-20)2/20 = 34,40 Daerah kritisuntuktarafnyata 0,05 danderajatbebas 5 adalah 11,070. Karenanilai2 > 11,070 makakeputusantolak H0 yang berartibahwapopularitaspemainmempengaruhitingkatpenjualandarikartuolah raga tersebut.

17. Jawab Latihan 3 Ei Oi (Oi-Ei)2/Ei

18. Jawab Latihan 3 Step 1: H0: The distribution has not changed. H1: The distribution has changed. Step 2: H0 is rejected if 2 >7.815, df=3, α=0.05 Step 3: 2-hit = 2.3824 Step 4: Fail to reject H0. The distribution has not changed.

19. Tes Satu Sampel Kolmogorov Smirnov SekolahTinggiIlmuStatistik

20. Fungsi • Tes ini menetapkan apakah skor-skor dalam sampel (observasi) dapat secara masuk akal dianggap berasal dari suatu populasi dengan distribusi teoretis tertentu. • Tes ini mencakup penghitungan distribusi frekuensi kumulatif yang akan terjadi di bawah distribusi teoretisnya, serta membandingkan distribusi frekuensi itu dengan distribusi frekuensi kumulatif hasil observasi. • Distribusi teoretis  diharapkan di bawah H0.

21. Prosedur • Tetapkanfungsikumulatifteoretisnya, yaknidistribusikumulatif yang diharapkan di bawah H0. • Aturlahskor-skor yang diobservasidalamsuatudistribusikumulatifdenganmemasangkansetiap interval SN(X) dengan interval F0(X) yang sebanding. • F0(X) = suatufungsidistribusifrekuensikumulatif yang sepenuhnyaditentukan, yaknidistribusikumulatifteoretis di bawah H0. • SN(X) = distribusifrekuensikumulatif yang diobservasidarisuatusampel random dengan N observasi.

22. Prosedur Untuk tiap-tiap jenjang pada distribusi kumulatif, kurangilah F0(X) dengan SN(X). Tentukan D = maksimum | F0(X) – SN(X) | Lihatlah tabel E untuk menentukan kemungkinan (dua sisi) yang dikaitkan dengan munculnya harga-harga sebesar harga D observasi di bawah H0. Jika p ≤ α, H0 ditolak.

23. Contoh Seorangpenelitiinginmenguatkanpendapatbahwa orang-orang Negro Amerikamemilikikecenderunganmenyukaiwarnakulitmenurutgelapterangnya. Untukmengujiseberapasistematisnyakecenderungankesukaan tingkat2 warnakulititu, penelitimelakukanpemotretansatu per satuatas 10 orang negro. Fotografermemrosesnyasedemikianrupasehinggadarisetiapsubyek yang samadidapatkan 5 cetakan yang satudengan yang lain sedikitberbedadalamhalgelapterangnya. Kelimalembarfotodengansubyek yang samaitudiurutkandari yang paling gelap (tingkat 1) hingga paling terang (tingkat 5).

24. Contoh Lanjutan Selanjutnyasetiapsubyekdimintamemilih di antarakelimafotowajahnyasendiriitu. Jikagelapterangnyawarnawajahmerekatidakpenting, makakelimalembarfotoituakandipilihsamaseringnya, denganperbedaan-perbedaan random saja. Jikagelapterangnyakulitmemangpentingbagimereka, maka orang-orang itusecarakonsistenakanlebihmenyukaisalahsatudaritingkat-tingkat yang ekstrim.

25. Solusi Hipotesis: H0 : tidakterdapatbanyakperbedaanpilihan yang diharapkanuntukmasing-masingdarikelimatingkatan, dansetiapperbedaan yang terobservasihanyalahvariasi yang kebetulansemata-mata yang dapatdiharapkanterjadidalamsuatusampel random daripopulasi di mana f1=f2=…=f5 H1 : Frekuensitidaksemuanyasama Statistikuji: Tessatusampelkolmogorovsmirnovkarenainginmembandingkandistribusiskor yang diobservasidengansatudistibusiteoretis

26. Solusi Tingkat signifikansi: digunakantarafsignifikansiα= 0,01.Banyaknya orang negro yang berindekssebagaisubyekpenelitian, N=10. Tabel E  D = maks| F0(X) – SN(X) | untukα = 0,01 dan N=10 adalah 0,490 Daerah penolakan: H0ditolakapabila D-hitung > 0,490 H0gagalditolakapabila D-hitung ≤ 0,490

27. Solusi Nilai D-hitung Nilai D maksimum Keputusan: Oleh karena D-hitung lebih besar dari D-tabel (0,5>0,490), maka H0 ditolak, dan disimpulkan bahwa subyek-subyek penelitian menunjukkan preferensi yang nyata dalam hal gelap terangnya warna kulit.

28. Latihan 1 Data mengenai durasi pemogokan sejak 1965 di UK dikumpulkan, dianalisis, dan prediksi dibuat dengan menggunakan suatu model matematika. Tabel berikut adalah distribusi frekuensi kumulatif dari N=840 durasi pemogokan. Apakah distribusi durasi pemogokan mengikuti prediksi dari model matematika. Gunakan taraf signifikansi 5%.

29. Latihan 2 Data berikut menunjukkan jumlah pemakaian jasa telepon di kantor pusat telepon suatu kota. Pengamatan dilakukan sebanyak 3754 waktu yang berbeda. Dengan tes kolmogorov smirnov, ujilah hipotesis bahwa data tersebut tersusun dari random sampel yang berasal dari suatu populasi Poisson dengan mean sama dengan 10,5. Gunakan taraf signifikansi 0,01.

30. Latihan 2

31. Uji Liliefors Uji Liliefors tidak jauh berbeda dengan uji Kolmogorov-Smirnov. Bila pada uji Kolmogorov-Smirnov, nilai SN(X) berdasarkan pada observasi data asli yang disesuaikan namun pada uji liliefors nilai SN(X) diperoleh dari sampel yang dinormalkan.

32. Latihan 2 digit terakhir no telp diambil secara acak dari buku telepon sebanyak 50 angka. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut Dengan  = 0,05, dapatkah kita mengatakan bahwa data di atas berdistribusi normal?

33. H0: Jumlah angka 2 digit yang diambil dari buku telepon berdistribusi normal. • H1: Jumlah angka 2 digit yang diambil dari buku telepon tidak berdistribusi normal. Berdasarkan data di atas diperoleh nilai xbar = 55,04 dan s = 19,00.

35. Bila dilihat dari tabel,  = 0,05 adalah 0,886/50 = 0,125. • Karena nilai Dhitung < Dtabel (0,07<0,125), maka kita putuskan terima H0 yang artinya bahwa jumlah angka 2 digit yang diambil dari buku telepon berdistribusi normal.