gazdas gi matematika l.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Gazdasági matematika PowerPoint Presentation
Download Presentation
Gazdasági matematika

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 34

Gazdasági matematika - PowerPoint PPT Presentation


  • 149 Views
  • Uploaded on

Gazdasági matematika. előadások, konzultációk. Kétváltozós függvények, Integrálszámítás, Lineáris algebra (mátrixok, lineáris tér, egyenletrendszerek). Kétváltozós függvények. Alapfogalmak, jelölések.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Gazdasági matematika' - cheri


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
gazdas gi matematika

Gazdasági matematika

előadások, konzultációk

Kétváltozós függvények, Integrálszámítás, Lineáris algebra (mátrixok, lineáris tér, egyenletrendszerek)

alapfogalmak jel l sek
Alapfogalmak, jelölések

Az f(x,y) kétváltozós valós függvény rendezett valós számpárokhoz rendel pontosan egy valós számot. Ekkor az értelmezési tartomány R×R (másként jelölve R2), vagy ennek egy részhalmaza, a képhalmaz pedig R.

Pl.

k tv ltoz s f ggv nyek br zol sa
Kétváltozós függvények ábrázolása

Mivel kölcsönösen egyértelmű leképezés létesíthető az R×R halmaz és a sík pontjai között, ezért az értelmezési tartomány szemléltethető a síkkal, vagy annak részhalmazával. Az (x,y)z hozzárendelés pedig egy térbeli derékszögű koordináta-rendszerben egy térbeli ponttal. Ezek a pontok egy „felületet” alkotnak térben.

A példa esetén az értelmezési tartomány az origó középpontú, 5 sugarú körlappal szemléltethető, a függvénypontok pedig egy origó középpontú, 5 sugarú félgömb felületét alkotják.

parci lis f ggv nyek s differenci lhat s guk
Parciális függvények és differenciálhatóságuk

Parciális (egyváltozósra szűkített) függvények:

Definíció: Az f: R2R függvény az (a,b) belső pontban parciálisan differenciálható az x változó szerint, ha a g1 függvény differenciálható az a pontban. Az f függvény (a,b) pontbeli x szerinti parciális differenciálhányadosának jelölése: fx’(a,b).

Tehát fx’(a,b)=g1’(a).

Hasonlóan definiálható az y szerinti parciális differenciálhányadosa. Ennek jelölése: fy’(x,y).

parci lis deriv ltf ggv nyek
Parciális deriváltfüggvények

Definíció: Ha az f függvény az A halmaz minden pontjában parciálisan differenciálható az x változó szerint, akkor a függvény x szerinti parciális deriváltfüggvénye az A halmaz minden pontjához hozzárendeli az f függvény x szerinti parciális differenciálhányadosát. Jelölése: fx’(x,y).

Hasonlóan definiálható az y szerinti parciális deriváltfüggvény, vagyis fy’(x,y).

magasabb rend parci lis deriv ltak
Magasabb rendű parciális deriváltak

Definíció: Az f függvény másodrendű parciális deriváltfüggvényei, ha léteznek:

Feladat: Határozza meg az alábbi függvény első és másodrendű parciális deriváltjait:

k tv ltoz s f ggv nyek sz ls rt ke
Kétváltozós függvények szélsőértéke

Tétel: Ha az f(x,y) függvénynek helyi szélsőértéke van az (a,b) pontban, akkor szélsőértéke van a g1(x)=fx(x,b) függvénynek az a helyen, és a g2(y)=fy(a,y) függvénynek a b helyen. Ekkor

Tétel: Ha , az (a,b) pontban léteznek a másodrendű parciális deriváltak és a kifejezés értéke (a,b)-ban:- pozitív, akkor f-nek (a,b)-ban helyi szélsőértéke van ( esetén minimum, esetén maximum)- negatív, akkor f-nek (a,b)-ban helyi nincs szélsőértéke- nulla, akkor még további vizsgálat szükséges

feladat
Feladat

Határozza meg a következő függvények szélsőértékeit:

primit v f ggv ny hat rozatlan integr l
Primitív függvény, határozatlan integrál

Definíció: Az IR intervallumon az F függvény primitív függvénye f-nek, ha I minden belső x pontjában F’(x)=f(x).

Tétel: Ha f-nek az I intervallumon van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van és ezek csak additív konstansban térnek el egymástól.

Definíció: Az f függvény I intervallumon vett határozatlan integrálja az I intervallumon vett primitív függvényeinek halmaza. Jelölése:

Tehát:

integr l si szab lyok
Integrálási szabályok

Tétel: Ha f-nek és g-nek létezik a határozatlan integrálja az I intervallumon, akkor cf-nek és f+g-nek is, valamint:

Példa: Keresse meg a következő határozatlan integrált:

Parciális integrálás

Tétel: Ha f és g differenciálható és f’, g’ folytonos az I intervallumon, akkor:

integr l si szab lyok15
Integrálási szabályok

Példák:

Helyettesítéses integrálás

Tétel:

Példák:

hat rozott integr l
Határozott integrál

Legyen f az [a,b] intervallumon korlátos. [a,b]-t felosztjuk kisebb részintervallumokra (x). Minden részintervallumból választunk egy tetszőleges elemet (), majd elkészítjük a következő közelítő összeget:

Egy felosztás jele legyen , az itteni leghosszabb részintervallum hosszának jele pedig legyen ||.

Definíció: A felosztásoknak egy n sorozatát normálisnak nevezzük, ha

hat rozott integr l17
Határozott integrál

Definíció: Az f függvény integrálható, vagyis létezik a határozott integrálja az [a,b] intervallumon, ha minden normális felosztássorozat esetén a megfelelő An közelítő összegek (An) sorozata a  pontok megválasztásától függetlenül konvergens.

Tétel: Az (An) sorozatoknak minden normális felosztássorozat esetén ugyanaz a határértéke.

Definíció: Az f függvény [a,b] intervallumon vett határozott integrálja a normális felosztássorozatok közös határértéke. Jelölése:

hat rozott integr l tulajdons gai
Határozott integrál tulajdonságai

Tételek:

Definíció: Ha f integrálható [a,b]-n, akkor a

függvényt f integrálfüggvényének nevezzük.

Tétel: Ha G f-nek integrálfüggvénye és f folytonos [a,b]-n, akkor G’(x)=f(x) minden x(a,b)-re.

newton leibniz formula
Newton-Leibniz formula

Területszámítás

Feladat: Számítsa ki az f függvény grafikonja és az x tengely által bezárt területet:

Feladat: Számítsa ki a g függvénygrafikon alatti területet az [1,3] intervallumon:

Feladat: Számítsa ki az f és g függvények grafikonjai által közrezárt területet: f(x)=x2 és g(x)=2x+3

t rfogatsz m t s
Térfogatszámítás

Ha az f függvény [a,b] intervallum feletti grafikonját megforgatjuk az x tengely körül, akkor az igy származtatható forgástest térfogata:

Feladatok:

és

m trixok vektorok
Mátrixok, vektorok
  • Definíciók: Mátrix, vektor (geometria), skalár, transzponált, nullvektor, egységvektor, kvadratikus mátrixok (főátló, egységmátrix)
  • Műveletek:
  • Összeadás (komm., asszoc.)
  • Skalárral való szorzás (komm., asszoc, disztributív)
  • Vektorok skaláris szorzása (nem komm.)
  • Vektor hossza
  • Mátrixok szorzása (nem komm., asszoc, disztributív), Falk-féle elrendezés, Sor- és oszlopösszeg próba
  • Diadikus szorzat
line ris t r
Lineáris tér
  • Definíció: Az L halmaz lineáris tér, ha
  • L elemein értelmezett egy összeadás és egy valós számmal való szorzás művelet és L zárt ezekre nézve
  • Minden a, b, c L és , 1, 2 R esetén a+b=b+a; a=a; (a+b)+c=a+(b+c); 1(2a)=(12)a; (a+b)=a+b; (1+2)a=1a+ 2a
  • L elemei között van egy 0-val jelölhető elem, melyre minden aL esetén a+0=a (zéruselem)
  • Minden aL esetén található olyan -a-val jelölt -aL, melyre a+(-a)=0.
  • Minden aL esetén 1a=a.
line ris t r24
Lineáris tér

Definíciók: Ln terek, lineáris kombináció, generátor rendszer, lineáris függetlenség, bázis, egységvektorokból álló bázis, dimenzió, adott bázisra vonatkozó koordináták, kompatibilitás, vektorrendszer rangja, mátrix rangja

Bázistranszformáció

Legyen adott a1, a2, a3 bázisa az L3 térnek. Legyen x=x1a1+x2a2+x3a3 és b=b1a1+b2a2+b3a3 tetszőleges, nem 0 elemei L-nek, ahol b20.

Cseréljük ki a2-t b-re.

Kérdés: x koordinátái az a1, b, a3 bázisban?

feladatok line ris t rben
Feladatok lineáris térben
  • Kompatibilitás vizsgálat
  • Lineáris függetlenség vizsgálata
  • Vektorrendszer rangja
  • Mátrix rangja
line ris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek

Általános alak n ismeretlenre és m egyenletre:

Vezessük be a következő jelöléseket:

Ekkor az egyenletrendszer:

inhomog n line ris egyenletrendszer
Inhomogén lineáris egyenletrendszer

a) Az a1, a2 , …, an vektorok mindegyike bevihető a bázisba:

Megoldás: x1=8,5; x2=8,75; x3=6,5; x4=-2,75

Nincs megoldás.

inhomog n line ris egyenletrendszer28
Inhomogén lineáris egyenletrendszer

b) Az a1, a2 , …, an vektorok nem mindegyike vihető be a bázisba:

Végtelen sok megoldás van

Nincs megoldás.

homog n line ris egyenletrendszer
Homogén lineáris egyenletrendszer

a) Az a1, a2 , …, an vektorok mindegyike bevihető a bázisba:

Csak a triviális megoldás van.

Végtelen sok megoldás van.

line ris programoz s
Lineáris programozás

Normál feladat

Megoldás: x1=130; x2=20; Zmax=490000

Megoldás: x1=0; x2=25; x3=0; Zmax=125

m dos tott norm l feladat
Módosított normál feladat

Végtelen sok megoldás van:(1) x1=0; x2=52,5; x3=12,5; x4=45

(2) x1=0; x2=52,5; x3=12,5; x4=45 Zmax=195

Megoldás: x1=11; x2=0; x3=9; x4=69 Zmax=227

ltal nos feladat
Általános feladat

Megoldás: x1=70/3; x2=10/3; x3=40/3; x4=0 Zmax=430/3