Vorlesung: 11050: Technische Hydraulik (Teil 2) Semester: 2. Semester

1. Vorlesung: 11050: Technische Hydraulik (Teil 2) Semester: 2. Semester Raum: siehe aktueller Stundenplan Zeit: siehe aktueller Stundenplan Prüfung: Modulprüfung (Klausur) Prof. Dr.-Ing. E. Ruiz Rodriguez email: errodriguez@fab.fh-wiesbaden.de privat: 0611/ 18 99 375 Sprechstunde: siehe Aushang

3. Grundgleichungen der technischen Hydraulik Die drei wichtigen Grundgleichungen der technischen Hydraulik sind Bilanzgleichungen. In einem bewegten bzw. strömenden System werden Ströme (Strom = Bilanzgröße/Zeit) bilanziert. Massenbilanz (Kontinuitätsgleichung) In Falle der Massenbilanz wird der Massenstrom bilanziert. In der Praxis wird statt dem Massenstrom gerne der Volumenstrom verwendet. Der Volumenstrom wird als Durchfluss oder Abfluss bezeichnet. oder Dabei gilt:

4. Massenbilanz (Kontinuitätsgleichung) Dividiert man den Massenstrom oder Volumenstrom durch den durchströmten Querschnitt, erhält man die Massenstrom- oder die Volumenstromdichte. Die Volumenstromdichte lässt sich als mittlere Fließgeschwindigkeit im betrachteten durchströmten Querschnitt interpretieren. v - mittlere Fliessgeschwindigkeit [m/s] Q - Abfluss oder Durchfluss [m³/s] A - durchströmter Querschnitt [m²] Die wirkliche Geschwindigkeitsverteilung in einem durchströmten Querschnitt ist von der Fließart, der Querschnittsform, der Wandrauheit und vielen anderen Faktoren abhängig. Für Abschätzungen und Berechnungen in der technischen Hydraulik genügt es oftmals nur die mittlere Geschwindigkeit zu betrachten. Deshalb enthalten eine Vielzahl von Arbeitsgleichungen die mittlere Geschwindigkeit als Parameter.

5. Massenbilanz (Kontinuitätsgleichung) Setzt man Quellen- und Senkenfreiheit, d.h. keine Zu- oder Abflüsse zur Stromröhre voraus, bleibt der Massenstrom in einer Stromröhre konstant. Unter der Annahme eines inkompressiblen Fluides (F=konst) bleibt auch der Volumenstrom oder Durchfluss Q konstant. Es gilt dann die folgende Kontinuitätsgleichung: Q - Abfluss oder Durchfluss [m³/s] vi - mittlere Fließgeschwindigkeit im Querschnitt i [m/s] Ai - durchströmter Querschnitt i [m²]

6. Impulsbilanz (Stützkraftsatz) In Falle der Impulsbilanz wird der Impulsstrom bilanziert. Der Impulsstrom besitzt die Einheit einer Kraft. Impulsstrom oder Stützkraft = Impuls / Zeit [kgm / s² = N] Der Impulsstrom wird nach Anwendung der Produktregel und der Annahme einer stationären Strömung zu Mit bzw. (=Massenstrom) lautet der Impulsstrom: Betrachtet man die Ein- und Auftrittsquerschnitte i lautet die Gleichung für den Impulsstrom:

7. Impulsbilanz (Stützkraftsatz) Bilanziert man nun den Impulsstrom mit allen am betrachteten Kontrollraum angreifenden äußeren Kräfte erhält man den Stützkraftsatz: Q - Abfluss oder Durchfluss [m³/s] Ai - durchströmter Querschnitt i [m²] vi - mittlere Fließgeschwindigkeit im Querschnitt i [m/s] pi - Querschnittsmittel des Druckes im Querschnitt i [N/m²] Fwi - Druckkräfte im Querschnitt i [N] Qvi - Impulsstromvektoren an den Ein- und Austrittsquerschnitten [N] FU - Umfangskräfte am Kontrollraum (z.B. Wandreibungskräfte) [N] FG - Gewichtskraft des betrachteten Kontrollraums [N]

8. Impulsbilanz (Stützkraftsatz) Die nachfolgende Checkliste beschreibt alle erforderlichen Arbeitsschritte zur Anwendung des Stützkraftsatzes: • Fluidkörper (Kontrollraum) definieren und von allen Berandungen freischneiden.Zu Beachten: Schnittflächen an den Ein- und Ausströmquerschnitten senkrecht zu den Stromlinien führen. • Schnittkräfte an den Schnittflächen eintragen:- hydrostatische Druckkräfte FWi- Umfangskräfte FU- Gewichtskräfte FG • - Impulstromvektoren Qvi an allen Ein- und Ausströmquerschnitten. Zu Beachten: Impulsstromvektor immer auf das Kontrollvolumen zeigend eintragen.- gesuchte Wasserkraft FW • Kräftegleichgewicht bilden:Summe aller Kräfte =0, Summe aller Momente =0 • Nach der gesuchten Wasserkraft FW auflösen. Der Stützkraftsatz wird häufig zur Ermittlung von hydrodynamischen Kräften auf Bauwerke eingesetzt . Für diese räumlich kleinen lokalen Betrachtungen können in der Regel die Umfangskräfte FU (z.B. Wandreibungskräfte entlang der Bauwerksränder) vernachlässigt werden FU0.

9. Impulsbilanz (Beispiel) Wie groß ist die gesamtresultierende Wasserkraft Fw auf das Schütz ? Die Breite des Gerinnes ist B. Zur Lösung dieser Aufgabe sollten die Arbeitsschritte der Checkliste zur Anwendung des Stützkraftsatzes abgearbeitet werden. 1. Betrachter Kontrollraum definieren und von allen Berandungen freischneiden Zu Beachten: Schnittflächen an den Ein- und Ausströmquerschnitten senkrecht zu den Stromlinien führen.

10. Impulsbilanz (Beispiel) 2. Schnittkräfte an den Schnittflächen eintragen. - hydrostatische Druckkräfte FWi- Umfangskräfte FU- Impulstromvektoren ρQvi an allen Ein- und Ausströmquerschnitten. Zu Beachten: Impulsstromvektor immer auf das Kontrollvolumen zeigend eintragen.- gesuchte Wasserkraft FW

11. Impulsbilanz (Beispiel) 3. Kräftegleichgewicht bilden:Summe aller Kräfte =0, Summe aller Momente =0 hier: Summe aller horizontaler Kräfte =0: Die Reibungs- bzw. Umfangskräfte FU0 können vernachlässigt werden. Die Gewichtskraft FG und die Sohldruckkraft Fw,Sohle haben keine horizontalen Komponenten. 4. Nach der gesuchten Wasserkraft FW auflösen:

12. Energiebilanz Im Falle der Energiebilanz wird der Energiestrom bilanziert. Der Energiestrom besitzt die Einheit der Leistung. Energiestrom = Energie / Zeit [kgm²/s³ = J/s= W] Der zu bilanzierende Energiestrom enthält drei Anteile. Den kinetischen Anteil: dabei ist der Ausdruck ( ·Q) der Massenstrom und die zwei potentiellen Anteile: Druckenergie: dabei ist p der Fluiddruck im betrachteten Massenstrom Lageenergie: dabei ist z die Lagehöhe zum gewählten Bezugshorizont Bilanziert man unter Anwendung des Energiesatz der Mechanik den Energiestrom, ergibt sich folgende Bilanzgleichung:

14. Bilanziert man die Energie Wpot und Wkin zwischen zwei Querschnitten entlang einer Stromröhre ergibt sich die nach dem schweizer Mathematiker benannten Bernoullische Gleichung. Alle drei nachfolgenden Gleichungen beschreiben den gleichen physikalischen Sachverhalt, sie unterscheiden sich nur in der Schreibweise.

15. Als Energiegleichung: Als Druckgleichung: Als Energiehöhengleichung:

16. - als Geschwindigkeitshöhe, - als Druckhöhe, - als geodätische Höhe und - als Verlusttherm bezeichnet. Als erweiterte Energiehöhengleichung mit dem Verlusttherm hv: In der im Bauwesen häufig verwendeten Energiehöhengleichung werden die Ausdrücke: Die Anteile der kinetischen und der potentiellen Energie der Strömung lassen sich mit der Energiehöhengleichung sehr anschaulich als Längen darstellen.

17. Beispiele zu den Grundgleichungen, Ausfluss aus einem Behälter (Toricelly-Ausfluss) Teil 1: Mit welcher Fließgeschwindigkeit fließt das Wasser aus dem Behälter mit der Füllhöhe H heraus? Welcher Durchfluss Q ist zu erwarten? Randbedingungen:Der Behälterdurchmesser D ist viel größer als die Ausflussöffnung d (D>>d, z.B.: Betriebsöffnung einer Talsperre). Lösung: Energiehöhenvergleich zwischen Querschnitt 1 (Wasseroberfläche im Behälter) und Querschnitt 2 (Ausflussöffnung im Behälter): mit und über dem Bezugshorizont, sowie der Annahme, dass die Reibungsverluste vernachlässigbar klein sind, ergibt sich: Unter der Annahme, dass der Luftdruckunterschied zwischen Querschnitt 1 und Querschnitt 2 vernachlässigbar klein ist, d.h. ergibt sich: ergibt sich:

18. Da der Behälterdurchmesser D viel größer ist als der Durchmesser d der Ausflussöffnung, kann davon ausgegangen werden, dass die Absenkgeschwindigkeit der Wasseroberfläche sehr klein sein wird . Es verbleibt: bzw. Unter Zuhilfenahme der Kontinuitätsgleichung: und unter Berücksichtigung, dass zum Abfluss nicht der volle Ausflussquerschnitt 2 zur Verfügung steht, ergibt sich: Strahleinschnürung am Ausflussquerschnitt 2: μ - Ausflussbeiwert (μ<1)

19. Beispiele zu den Grundgleichungen, Ausfluss aus einem Behälter (Toricelly-Ausfluss) Teil 2: Verändert man das Verhältnis des Behälterdurchmessers D zur Ausflussöffnung d so, dass diese von gleicher Größenordnung sind (vgl. Einschränkungen in Kapitel 5.X) kann nicht mehr davon ausgegangen werden das die Absenkgeschwindigkeit v1 der Wasseroberfläche vernachlässigbar ist. Die Lösung verändert sich wie folgt: Energiehöhenvergleich zwischen Querschnitt 1 (Wasseroberfläche im Behälter) und Querschnitt 2 (Ausflussöffnung im Behälter): mit und über dem Bezugshorizont, sowie der Annahme, dass die Reibungsverluste vernachlässigbar klein sind, ergibt sich: Unter der Annahme, dass der Luftdruckunterschied zwischen Querschnitt 1 und Querschnitt 2 vernachlässigbar klein ist, d.h. ergibt sich:

20. Unter Zuhilfenahme der Kontinuitätsgleichung: ergibt sich: Unter Zuhilfenahme der Kontinuitätsgleichung Q = v2 · A2und unter Berücksichtigung, dass zum Abfluss nicht der volle Abflussquerschnitt 2 zur Verfügung steht, ergibt sich: μ - Ausflussbeiwert (μ<1)

21. Beispiele zu den Grundgleichungen, Entleerungszeit eines Behälters Wie ist groß die Entleerungszeit einesBehälters mit der Füllhöhe H? Randbedingungen: Der Behälterdurchmesser D ist viel größer als die Ausflussöffnung d (D>>d, z.B.:Betriebsöffnung einer Talsperre). Lösung: Zum Zeitpunkt t=0 gilt: und t>0 gilt: und Unter Zuhilfenahme der Kontinuitätsgleichung ergibt sich folgendeDifferentialgleichung, die die Entleerung des Behälters beschreibt:

22. Zur Lösung der Differentialgleichungen werden die Veränderlichen z und t getrennt und beide Seiten der Gleichung bestimmt integriert. Die Integrationsgrenzen ergeben sich aus folgenden Überlegungen: - zum Zeitpunkt t=0 ist die Füllhöhe z=H. - nach der Entleerung in der Zeit T ist die Füllhöhe z=0. Als Ergebnis der Integration erhält man: bzw. eine Entleerungszeit:

23. Beispiele zu den Grundgleichungen, Staudruck/ Staupunkt

24. Beispiele zu den Grundgleichungen, Pitot-Rohr

25. Beispiele zu den Grundgleichungen, Prandtl-Rohr

26. Beispiele zu den Grundgleichungen, Venturi-Rohr, Venturi-Düse Das Ende des 18. Jahrhunderts von Venturi zuerst angewandte Prinzip ermöglicht es durch messen der an einer Endstelle auftretenden Druckänderung (Wirkdruck) die Durchflussmenge in einem geschlossenen Rohr abzuschätzen. Der Wirkdruck zwischen Querschnitt 1 und Querschnitts (Engstelle) kann mit Hilfe eines Differenzdruckaufnehmers gemessen werden.

27. Der Energiehöhenvergleich zwischen Querschnitt 1 und Querschnitt 2 ergibt: Mit und der Annahme, dass die Reibungsverluste vernachlässigbar klein sind, ergibt sich: Unter Zuhilfenahme der Kontinuitätsgleichung bzw. ergibt sich: bzw. mit und ergibt sich Vgl. hierzu DIN 1952 Durchflussmessung mit Blenden, Düsen und Venturirohren in voll durchströmten Rohren mit Kreisquerschnitt.

28. Berechnungen hydraulischer Grundelemente Zur besseren Übersicht der Sachverhalte ist der nachfolgende Stoff an den hydraulischen Grundelementen bzw. an typischen hydraulischen Bauwerken/ Systemen wie Überfälle frontal angeströmte Überfälle radial angeströmte Überfälle (Kelchüberfälle) parallel angeströmte Überfälle (Streichwehre) Ausfluss unter Schützen Ausfluss aus Öffnungen Fluidtransport in Rohrleitungen offenen Gerinnen orientiert. Komplexe hydraulische Systeme setzen sich aus einer Vielzahl von miteinander verbundenen Grundelementen zusammen.

29. Frontal angeströmte gerade Überfälle Überfälle kommen z.B. immer dann vor, wenn ein Gewässer durch ein festes Wehr oder ein bewegliches Verschlussorgan gestaut wird. Die überfallende Wassermenge nimmt dabei überproportional mit der Überfallhöhe zu. Überfälle sind deshalb geeignete Bauwerke für Hochwasser- oder Notfallentlastungen. Umgekehrt nimmt die Überfallhöhe bei steigender Überfallwassermenge nur unterproportional zu. Deshalb eignen sich Überfälle gut zur Wasserstandsregulierung bei wechselnden Abflüssen.

30. Systemverhalten Bei Überfällen kann man zwischen zwei verschieden Systemzuständen unterscheiden: vollkommener Überfall/ unvollkommener Überfall/rückstaufreier Abfluss rückgestauter Abfluss Der Oberwasserstand h wird zusätzlich durch den Unterwasserstand hu beeinflusst Der Oberwasserstand h wird durch die Überfallwassermenge Q und die Form des Überfalles bestimmt.

31. Vollkommener Überfall Beim vollkommenen Überfall strömt das Wasser unbeeinflusst vom Unterwasser über den Überfall. Unter der Annahme geringer Anströmgeschwindigkeit gilt: Q - Überfallwassermenge [m³/s] - Überfallbeiwert [-] b - Überfallbreite [m] h - Überfallhöhe [m] Der Überfallbeiwert  ist primär eine Funktion der Überfallform und berücksichtigt damit die Form der Strahlumlenkung.

32. Überfallbeiwert Der Überfallbeiwert  ist primär eine Funktion der Überfallform und berücksichtigt damit die Form der Strahlumlenkung. Die nachfolgenden Bilder geben die Größenordnung der Überfallbeiwerte je nach Überfallform an. In zweiter Linie ist der Überfallbeiwert  auch eine Funktion der Anströmgeschwindigkeit und der Überfallwassermenge bzw. der Überfallhöhe selbst. Für eine erste Vordimensionierung genügt es den Überfallbeiwert nach den nachfolgenden Angaben anzunehmen.

33. Unvollkommener Überfall Steigt der Unterwasserstand über die Wehrkrone muss untersucht werden, ob der Überfall noch als vollkommener Überfall berechnet werden kann, oder ob der Einfluss des Unterwassers beachtet werden muss. Die Arbeitsgleichung zur Abschätzung der Überfallwassermenge behält die gleiche Struktur wie beim vollkommenen Überfall. Der leistungsmindernde Einfluss des Unterwassers wird mit der Abminderung des Überfallbeiwertes berücksichtigt. Q - Überfallwassermenge [m³/s] *- abgeminderter Überfallbeiwert [-] c - Abminderungsfaktor [-]b - Überfallbreite [m] h - Überfallhöhe [m] Der Abminderungsfaktor c kann aus den nachfolgenden Diagrammen entnommen werden. Eingangsgröße für die Diagramme ist das Verhältnis hu/h bzw. h/w.

34. Unvollkommener Überfall Abminderungsfaktor c für verschiedenen Überfallformen

35. Unvollkommener Überfall Abminderungsfaktor c für rundkronige Überfälle Typ 3 (h/w=1) und Typ 4 (h/w=0,4) C=0,925

36. Radial angeströmte Überfalle (Kelchüberfälle, Schachtüberfälle) Das Prinzip des radial angeströmten Überfalles wird häufig bei Hochwasserentlastungsanlagen genutzt. Die platzsparende Anordnung der Überfalllänge (wirksamer Kelchumfang) steht dem hohen konstruktiven Aufwand gegenüber. Kelchüberfälle werden bei Staudämmen gerne als Hochwasserentlastungsanlagen eingesetzt. Sie können nahezu unabhängig vom Damm errichtet werden und stellen durch ihre Anordnung außerhalb des Dammkörpers keine steife Inhomogenität im setzungsempfindlichen Dammkörper dar.

37. Unter Verwendung des gleichen Ansatzes wie beim senkrecht angeströmten Überfall ergibt sich folgende Arbeitsgleichung: Q - Überfallwassermenge [m³/s] μ - Überfallbeiwert [-] u - wirksame Kelchumfang [m] a - Breite von Aufbauten [m] (z.B. Belüftungsschacht) d - Kelchdurchmesser [m] h - Überfallhöhe [m]

38. Konstruktionsgrundsätze von radial angeströmte Überfalle (Kelch- oder Schachtüberfälle) Beim Entwurf eines Kelchüberfalles sind folgende Konstruktionsgrundsätze zu beachten: • Das ableitende System ist so zu dimensionieren, dass kein Rückstau entsteht und sich vollkommener Überfall einstellt. • Das ableitende System ist so zu konstruieren, dass sich Freispiegelabfluss einstellt. • Es ist ein Belüftungsschacht anzuordnen, um Unterdrücke an Krümmer zu vermeiden und den Freispiegelabfluss im ableitenden System zu gewährleisten. • Die endgültige Bemessung eines Kelchüberfalles sollte im Modellversuch erfolgen.

39. Der Überfallbeiwert μ kann aus dem nachfolgende Diagramm entnommen werden. Eingangsgröße für die Diagramme ist das Verhältnis h/d. Der Überfallbeiwert ist beim radial angeströmten Überfall auch eine Funktion des Kelchdurchmessers.

40. Parallel angeströmte Überfälle (Streichwehre) Parallel angeströmte Überfälle werden zur seitlichen Ableitung verwendet. Häufigster Einsatz der parallel angeströmten Überfälle ist, in Verbindung mit einer Rohrdrossel, als Regenüberlauf (RÜ, siehe ATV-DVWK Arbeitsblatt 128) in Kanalnetzsystemen.

41. Im Unterschied zu den senkrecht oder radial angeströmten Überfällen, stellt sich beim parallel angeströmten Streichwehr über der Überfalllänge L keine gleichmäßige Überfallhöhe h ein.

42. Unter Verwendung des gleichen Ansatzes wie bei senkrecht und radial angeströmten Überfällen ergibt sich folgende Arbeitsgleichung: Q- Überfallwassermenge [m³/s] s - Überfallbeiwert [-] L - Überfalllänge [m] hm - mittlere Überfallhöhe [m] Der leistungsmindernde Einfluss der zusätzlichen Richtungsänderung des Abschlages wird mit der Abminderung des Überfallbeiwertes berücksichtigt. Für die mittlere Überfallhöhe hat sich in der Praxis der Ansatz bewährt. Aus dem Energiehöhenvergleich zwischen dem Abflussquerschnitten im OW und UW des Streichwehres lässt sich bei bekannter Fließtiefe (hu+w) im UW und strömenden Fließzustand die Fließtiefe (ho+w) im OW mit folgender Gleichung berechnen: mit Diese kubische Gleichung liefert in der Regel eine imaginäre und zwei reelle Lösungen. Eine der beiden reellen Lösungen ist die gesuchte Fließtiefe (ho+w).

43. Ausfluss unter SchützenSystemverhalten Wie bei den Überfällen kann man auch beim Ausfluss unter den Schützen zwischen zwei verschieden Systemzuständen unterscheiden: vollkommener Ausfluss unter einem Schützen/ rückstaufreier Abfluss: unvollkommener Ausfluss unter einem Schützen/ rückgestauter Abfluss: Der Oberwasserstand ho wird durch die Ausflusswassermenge Q und die Form des Schützes bestimmt. Der Oberwasserstand ho wird zusätzlich durch den Unterwasserstand hu beeinflusst

44. Vollkommener Ausfluss unter einem Schützen β Unter der Annahme geringer Anströmgeschwindigkeit gilt: Q- Ausflusswassermenge [m³/s] - Ausflussbeiwert [-] a - Schützweite [m] - Kontraktionsziffer [-] b - Schützbreite [m] h - Stauhöhe im OW [m]

45. Ausflussbeiwerte für Planschützen

46. Ausflussbeiwerte und Kontraktionsziffer δ für senkrechte Planschützen ß=90°

47. Ausflussbeiwerte für Kreissegmentschützen

48. Unvollkommener Ausfluss unter einem Schützen Unter der Annahme geringer Anströmgeschwindigkeit gilt: mit Q- Ausflusswassermenge [m³/s] * - Ausflussbeiwert [-] - Abminderungsfaktor [-] a - Schützweite [m] b - Schützbreite [m] h - Stauhöhe im OW [m]

49. Grenzfall χ = 1 Abminderungsfaktor  bei unvollkommenen Ausfluss unter Schützen unvollkommen vollkommen δa

50. OW OW UW ho ho hu Q Q UW a a Ausfluss aus Öffnungen mit begrenzter BreiteSystemverhalten Wie bei den Überfällen kann man auch beim Ausfluss aus Öffnungen zwischen zwei verschiedene Systemzuständen unterscheiden: vollkommener Ausfluss aus Öffnungen/ rückstaufreier Abfluss: unvollkommener Ausfluss ausÖffnungen/ rückgestauter Abfluss: Der Oberwasserstand h wird durch die Ausflusswassermenge Q und die Form der Öffnung bestimmt. Der Oberwasserstand h wird zusätzlich durch den Unterwasserstand hu beeinflusst