A problémamegoldás, a modellalkotás és a szövegértés fejlesztése a matematikában

1. A problémamegoldás, a modellalkotás és a szövegértés fejlesztése a matematikában 2009. november 18. Lukács Judit lukacs.judit@ofi.hu

2. OKOK • Nemzetközi mérések • Kompetencia mérések • Érettségi • A munkában és az életben jelentkező kompetenciaigények

3. A PISA-felmérés tartalmi kereteMatematikai eszköztudás • „…olyan gondolkodásmód, amely hozzásegíti a diákokat a matematikailag leírható mindennapi problémák megértéséhez, modellezéséhez és megoldásához.” • A feladat tartalmi kategóriája: Mennyiség Változások és relációk Tér és alakzat Bizonytalanság • A feladat készségosztálya:Reprodiktív Integratív Kreatív • A feladat kontextusa: Személyes Közösségi, társadalmi Tudományos Forrás: Balázsi Ildikó: A PISA-ról közhelyek nélkül – ami az újságcikkekből kimaradt. http://www.oecd-pisa.hu/

4. Példafeladatok – PISA matematika A szingapúri Mei-Ling cserediákként három hónapra Dél-Afrikába készül. Szingapúri dollárt (SGD) kellett dél-afrikai randra (ZAR) váltania. 1. kérdés Mei-Ling megtudta, hogy a szingarpúri dollár és a dél-afrikai rand közötti átváltási arány a következő: 1 SGD = 4,2 ZAR. Mei-Ling 3000 szingarpúri dollárt váltott dél-afrikai randra ezen a valutaárfolyamon. Mennyi pénzt kapott Mei-Ling dél-afrikai randban? 2. kérdés Amikor Mei-Ling 3 hónap után visszatért Szingapúrba, még maradt 3 900 ZAR-ja. Ezt visszaváltotta szingarpúri dollárra, és észrevette, hogy a valutaárfolyam megváltozott: 1 SGD = 4,0 ZAR. Mennyi pénzt kapott Mei-Ling szingarpúri dollárban? Forrás: Balázsi Ildikó: A PISA-ról közhelyek nélkül – ami az újságcikkekből kimaradt. http://www.oecd-pisa.hu/

5. Példafeladatok – PISA matematika Egy tévériporter az alábbi diagramot mutatva a következőket mondta: „A diagram szerint a betörések száma óriásit nőtt 1999-ben 1998-hoz képest.” Mit gondolsz, helyesenértelmezte a riporter a diagramot? Válaszodat indokold is meg! Forrás: Balázsi Ildikó: A PISA-ról közhelyek nélkül – ami az újságcikkekből kimaradt. http://www.oecd-pisa.hu/

6. Példafeladatok, kompetenciamérés, 2009 Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/orszmer2009/okm2009_6_evfolyam_a.pdf

7. Példafeladatok, kompetenciamérés, 2009 Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/orszmer2009/okm2009_6_evfolyam_a.pdf

8. Példafeladatok, kompetenciamérés, 2009 Gombos úr gabonatermesztéssel foglalkozik, és az aratás előtt szeretné megbecsülni, hogy az idei aszályos évben hány kg gabona várható 2,5 hektáros termőföldjén. Egy 5 négyzetméteres területen „próbaaratást” végez. Írj egy matematikai módszert arra, hogy a próbaaratás alapján hogyan lehet kiszámítani, hogy mennyi lesz majd a várható termés! 1 hektár = 10 000 négyzetméter Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/orszmer2009/okm2009_8_evfolyam_a.pdf

9. Példafeladatok, kompetenciamérés, 2009 Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/orszmer2009/okm2009_8_evfolyam_a.pdf

10. Érettségi eredmények - középszint Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/gyorsadatok_2009_tavasz.ppt

11. Példafeladatok érettségi - középszint Egy ruházati nagykereskedés raktárában az egyik fajta szövetkabátból már csak 20 darab azonos méretű és azonos színű kabát maradt; ezek között 9 kabáton apró szövési hibák fordulnak elő. A nagykereskedés eredetileg darabonként 17 000 Ft-ért árulta a hibátlan és 11 000 Ft-ért a szövési hibás kabátokat. A megmaradt 20 kabát darabját azonban már egységesen 14 000 Ft-ért kínálja. Egy kiskereskedő megvásárolt 15 darab kabátot a megmaradtakból. Ezeket egyenlő valószínűséggel választja ki a 20 kabát közül. a) Számítsa ki, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kabátok között legfeljebb 5 olyan van, ami szövési hibás! (A valószínűséget három tizedesjegyre kerekítve adja meg!) b) Legfeljebb hány hibás kabát volt a 15 között, ha a kiskereskedő kevesebbet fizetett, mint ha a kabátokat eredeti árukon vásárolta volna meg? Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_2009/k_mat_09maj_fl.pdf

12. Példafeladatok érettségi - középszint Egy vetélkedőn részt vevő versenyzők érkezéskor sorszámot húznak egy urnából. Az urnában 50 egyforma gömb van. Minden egyes gömbben egy-egy szám van, ezek különböző egész számok 1-től 50-ig. a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az elsőnek érkező versenyző héttel osztható sorszámot húz? A vetélkedő győztesei között jutalomként könyvutalványt szerettek volna szétosztani aszervezők. A javaslat szerint Anna, Bea, Csaba és Dani kapott volna jutalmat, az egyesjutalmak aránya az előbbi sorrendnek megfelelően 4 : 3 : 2 : 1 . Közben kiderült, hogyakinek a teljes jutalom ötödét szánták, önként lemond az utalványról. A zsűri úgydöntött, hogy a neki szánt 16 000 forintos utalványt is szétosztják a másik háromversenyző között úgy, hogy az ő jutalmaik közötti arány ne változzon. b) Összesen hány forint értékű könyvutalványt akartak a szervezők szétosztani a versenyzők között, és ki mondott le a könyvutalványról? c) Hány forint értékben kapott könyvutalványt a jutalmat kapott három versenyző külön - külön? Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_2009/k_mat_09maj_fl.pdf

13. Példafeladatok érettségi – emelt szint András edzőtáborban készül egy úszóversenyre, 20 napon át. Azt tervezte, hogy naponta 10 000 métert úszik. De az első napon a tervezettnél 10%-kal többet, a második napon pedig az előző napinál 10%-kal kevesebbet teljesített. A 3. napon ismét 10%-kal növelte az előző napi adagját, a 4. napon 10%-kal kevesebbet edzett, mint az előző napon, és így folytatta, páratlan sorszámú napon 10%-kal többet, pároson 10%-kal kevesebbet teljesített, mint a megelőző napon. a) Hány métert úszott le András a 6. napon? b) Hány métert úszott le összesen a 20 nap alatt? c) Az edzőtáborozás 20 napjából véletlenszerűen választunk két szomszédos napot. Mekkora a valószínűsége, hogy András e két napon együttesen legalább 20 000 métert teljesített? Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_2009/e_mat_09maj_fl.pdf

14. Példafeladatok érettségi – emelt szint Öt egyetemista: Bence, Kati, Márti, Pali és Zoli nyáron munkát szeretne vállalni egy üdülőhelyen. A helyi újságban több megfelelőnek látszómunkahelyet is találtak,mégpedig a következőket: három éttermet, amelyekbe csak fiúkat, két fodrászatot,amelyekbe csak lányokat vesznek fel és két fagyizót, amelyekbe viszont alkalmaznakfiúkat és lányokat is. (Egyik munkahelyen sincs létszámkorlátozás.) a) Hányféleképpen helyezkedhet el az öt fiatal, ha mind az öten egymástól függetlenül döntenek az állásokról, és minden fiatal csak egy állást vállal? (Az azonos típusú munkahelyeket is megkülönböztetjük.) b) Hányféleképpen helyezkedhet el az öt fiatal, ha a 2 lány nem akar ugyanazon amunkahelyen dolgozni, és a 3 fiú közül is bármelyik kettő különböző munkahelyre szeretne menni? Bence, Kati, Pali és Zoli asztaliteniszben körmérkőzést akarnak játszani. (A körmérkőzésazt jelenti, hogy mindenki mindenkivel pontosan egy mérkőzést játszik.) Az első este csak három mérkőzést játszanak le. c) Hányféle lehet a három mérkőzésben a játékosok párosítása, ha tudjuk, hogy négyük közül pontosan két játékos két-két mérkőzést játszott? Forrás: http://www.oh.gov.hu/letolt/okev/doc/erettsegi_2009/e_mat_09maj_fl.pdf

15. Fejlesztő feladatok matematikából 7., 8., 11. és 12. osztály (HEFOP 3.1.) www.tanszertar.hu Négy évfolyamban tematikus rendezett anyag Nem fedi le az egyes évfolyamok tartalmát Jellemzők Világos feladatinstrukciók Tevékenységre épülnek A tartalmak változatosak, többnyire motiválók Feladatsorba, didaktizált blokkba rendezett feladatok Feladatsor célja Feladatsor tárgya, témája Tanulói tevékenységek Ajánlott vagy kötött munkaformák A feladatsor alkalmazásához szükséges eszközök, időtartam Fejlesztő értékelés

16. Fejlesztő feladatok – matematika 7., 8., 11., 12. osztály • Tematika • 7. osztály • Számelmélet, aritmetika • Területszámítás • Logika, gondolkodási műveletek • Geometriai transzformációk • Függvények • Kombinatorika

17. Fejlesztő feladatok – matematika 7., 8., 11., 12. osztály • Tematika • 8. osztály • Algebra – hatványozás – egyenletrendszerek Valószínűség-számítás, statisztika • Geometria • Logika, gondolkodási műveletek • Függvények

18. Fejlesztő feladatok – matematika 7., 8., 11., 12. osztály • Tematika • 11. osztály • Kombinatorika és gráfelmélet • Valószínűség-számítás, statisztika • Exponenciális és logaritmusos kifejezések, függvények, egyenletek • Koordináta-geometria

19. Fejlesztő feladatok – matematika 7., 8., 11., 12. osztály • Tematika • 12. osztály • Térgeometria • Trigonometria • Algebra (sorozatok, hatvány, logaritmus, egyenletek) • Koordináta-geometria • Gondolkodási műveletek, kombinatorika • Valószínűség-számítás, statisztika

20. Fejlesztő feladatok – matematika Szakközépiskola – szakiskola • Szerkezet • Bevezető • 11 témakörben feladatsorok (szakiskola: több mint 60 feladatsor, szakközépiskola: több mint 80 feladatsor) • Halmazok, logikai műveletek • Kombinatorika, gráfok • Számelmélet, számrendszerek, hatványozás • Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek • Függvények, sorozatok • Síkgeometria • Térgeometria • Koordináta-geometria • Leíró statisztika • Valószínűség-számítás • Vegyes feladatok

21. Feladatsor • Szerkezet • A feladatsor jellemzői • Tárgy, téma • Előzmények • Cél • A feladatsor által fejleszthető kompetenciák • Felhasználási útmutató • Feladatsor • 3-8 feladat további alkérdésekkel • Megoldások • részletes, gyakran kivetíthető ábrákkal

22. Feladatsor • Tárgy, téma • Az algebrai, geometriai és kombinatorikai gondolkodás tipikus hibái. • Előzmények • Mérlegelv, szimmetria, hasonlóság, súlypont, Thalész-tétel, logikai következtetések. • Cél • A gyakran előforduló gondolkodási hibák bemutatása, figyelemre, önellenőrzésre nevelés.

23. Feladatsor A feladatsor által fejleszthető kompetenciák

24. Feladatsorok - részletek Lakásfelújítás 1. Az alábbi két rajz egy lakás eredeti, illetve átépítés utáni alaprajzát mutatja. Az átépítés után a rajz felső részén látható három szoba ugyanolyan széles lesz. Számítsd ki, hogy hány méter hosszú falat kell elbontani, illetve építeni! (A bontásba és az építésbe az ajtók hosszát is számítsd bele!)

25. Részletek feladatsorokból • Lakásfelújítás (folyt) 2. A lakásban a parkettát is felszedik, és újrarakják. A fűtésszerelő az új padló alá fogja beépíteni a fűtéscsöveket. Az anyagtakarékosság miatt igyekszik a lehető legkevesebb csövet felhasználni ehhez, de mivel a fűtőkészülék a fürdőszobába kerül, ezért a fürdőszoba falától indulva teszi le a csöveket egyenesen a radiátorok felé, a radiátorok közelebbi, oldalsó széléhez. Az egyik fűtőkör az amerikai konyhás nappali felé indul, onnan megy tovább a mellette levő szobába, a másik fűtőkör pedig a három egymás melletti kis szoba közül a középsőbe indul el, és onnan ágazik jobbra-balra a két mellette levő szobába. A radiátorok a szobák külső (nem a lakás belseje felé eső) rövidebbik oldalfalának közepén helyezkednek el, mindenhol 60 cm szélesek, kivéve az amerikai konyhás nappalit, ahová 90 cm széles radiátor kerül. Hány méternyi csövet kell összesen letennie a fürdőszobán kívül a padló alá? (A fűtőkörben oda-vissza kell kiépíteni a csövet!)

26. Részletek feladatsorokból • Lakásfelújítás (folyt) 3. Az ablakokat és ajtókat is cserélik, az új ajtókat és ablakokat háromkomponensű felületvédő rendszerrel kezelik. Az első komponensből 1 liter 8 m2-re elegendő, ebből 7,5 litert használtak el. A második komponenst már kevésbé szívja a fa, ezért ebből 16%-kal kevesebb kell. a) Hány négyzetméterre elegendő 1 liter második komponens? b) Ebből összesen hány litert fognak elhasználni? (További alkérdések) 4-5. A parketta felújítása (2 módszer, melyiket célszerű választani)

27. Részletek feladatsorokból Főzőcske Egy tízfős baráti társaság hétvégi kirándulásra indul péntek délután, és vasárnap délután érkeznek haza. Egy „kulcsos házban” alszanak, ahol egy jól felszerelt konyha is a turisták rendelkezésére áll, ezért maguknak főznek. A következő étrendet állították össze:

28. Részletek feladatsorokból Főzőcske folyt. Hozzávalók 4 személyre

29. Részletek feladatsorokból Főzőcske folyt. Hozzávalók 4 személyre

30. Részletek feladatsorokból • Főzőcske (folyt.) 1.Készítsetek „bevásárló listát”! (Gondoljatok arra, hogy nem lehet kapni például 70 dkg lisztet!) 2. Otthoni projektmunka: Kiderült, hogy a társaság tíz tagja közül hárman vegetáriánusok, azaz húst nem fogyasztanak. Az alábbi táblázat kitöltésével állítsatok össze olyan étrendet, amely ezt figyelembe veszi! Módosítsátok ennek megfelelően a bevásárló listát! Tüntessétek fel az egyes élelmiszerek árát is, és számoljátok ki a fejenként az étkezésre befizetendő összeget is! Ha tudtok, használjatok számítógépet!

31. Részletek feladatsorokból • Főzőcske (folyt.)

32. Részletek feladatsorokból • Szólás-mondás 1.Két dudás nem fér meg egy csárdában – tartja a mondás. Melyik a jó befejezése a következő mondatoknak, ha a mondásnak megfelelő igaz állítást akarunk létrehozni? (Több jó befejezés is elképzelhető.) a) Ha én egy épületben csak egy dudást látok, akkor (A) ... az egy csárda. (B) ... az lehet, hogy egy csárda. (C) ... az nem lehet csárda. (D) ... az biztos, hogy nem élelmiszer bolt. (E) ... az biztos, hogy nem iskola.

33. Részletek feladatsorokból • Szólás-mondás folyt. 1.b) Ha én egy épületben két dudást látok, ... (A) ... az egy csárda. (B) ... az lehet, hogy egy csárda. (C) ... az nem lehet csárda. (D) ... az biztos, hogy nem vendéglátó-ipari egység. (E) ... az lehet, hogy egy vendéglátói-pari egység.

34. Részletek feladatsorokból • Szólás-mondás folyt. 1.c) Ha én egy épületben három dudást látok, ... (A) ... az egy csárda. (B) ... az lehet, hogy egy csárda. (C) ... az nem lehet csárda. (D) ... az biztos, hogy nem vendéglátó-ipari egység. (E) ... az lehet, hogy egy vendég-látóipari egység.