TBF - Genel Matematik I DERS – 8 : Grafik Çizimi

1. TBF - Genel Matematik IDERS – 8 : Grafik Çizimi Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

2. y (x,f(x)) y=f(x) x y= f(x) x Artan – Azalan Fonksiyonlar. a r t a n a z a l a n a r t a n Bir (a , b) aralığında tanımlı bir f fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer x1, x2(a , b) ve x1<x2olunca daima f(x1)< f(x2) oluyorsa, f fonksiyonu (a , b) aralığındaartan fonksiyondur denir. Eğer x1, x2(a , b) ve x1<x2olunca daima f(x1)> f(x2) oluyorsa,f fonksiyonu (a , b) aralığındaazalan fonksiyondur denir.

3. Eğim sıfır y Eğim negatif Eğim pozitif x y=f(x) y (0,22) x a z a l a n a r t a n (a , b) aralığında  fartan • f´(x) > 0 yatay teğet  fazalan • f´(x) < 0 a z a l a n  (c , f (c))de yatay teğet • f´(c) = 0 a r t a n Örnek.f(x)=(1/2) x2 – 6x +22 = (1/2)(x – 6)2 + 4fonksiyonu İçin f ´ (x) = x – 6ve f ´ (6) = 0. y=(1/2)x2– 6x + 22 - x  6 f´(x) - - - - - - - + + + + + 0 (6,4)

4. y a z a l a n a z a l a n a z a l a n x Örnek . fonksiyonu (- , ) aralığında artandır. dır. Çünkü, her x reel sayısı için Örnek.f(x) = x3– 3x2 +4fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıklar: f´(x) = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) = 0 x=0 veya x=2. y 0 - x  2 - - - f´(x) + + + 0 + + + 0 f(x) –1 x 0 2 a r t a n a r t a n Örnek. - x  2 f´(x) - - - - - - - - - - - - - 2

5. - x 3  0 1 2 - - - - - f´(x) + + + + + + 0 0 y 2 x 3 1 Örnek. fonksiyonunun tüm artan ve azalan olduğu aralıklar: f´(x) = 0x = 1veya x = 3 Aşağıdaki tablodan fonksiyonun (-,1) ve (3,) aralıklarında artan, (1,2) ve (2,3) aralıklarında azalan olduğu görülür.

6. - x 7  1 - - - - - - - - - - - - - + + f ´(x) 0 0 fonksiyonunun artanveya azalan olduğu Örnek. aralıkları belirleyelim. Sağ tarafta parantez içindeki ifade (örneğin x=1için bu ifadenin sıfır olduğuna dikkat edilerek) çarpanlara ayrılırsa, ve böylece f ’(x)in işareti incelenince f nin (- , 7) aralığında azalan, (7 , ) aralığında artan olduğu görülür.

7. y = f(x) y = f(x) y y x x Konkavlık , İkinci Türev. a b a b (a , b) aralığında yukarı doğru konkav (concave - up) (a , b) aralığında aşağı doğru konkav (concave - down) (a , b) aralığında  grafik yukarı doğru konkav. • f´(x) artan • f´(x) azalan grafik aşağı doğru konkav.  grafik yukarı doğru konkav. • f´(x) in türevi pozitif • f´(x) in türevi negatif grafik aşağı doğru konkav.

8. ffonksiyonunun (birinci) türevi f´(x) mevcutsa ve f´(x) in de türevi mevcutsa, f´(x) in türevine fnin ikinci türevi denir ve f´´ (x) ile gösterilir. y = f (x) ise, fnin ikinci türevi tir ve bu türev sembolleri ile de gösterilir. Örnekler.

9. Örnekler.

10. y x (a , b) aralığında  y = f (x)in grafiği yukarı doğru konkav • f ´´ (x) > 0  y = f (x)in grafiği aşağı doğru konkav • f ´´ (x) < 0 Örnek.f(x) = x3fonksiyonunun yukarı ve aşağı doğru konkav olduğu aralıkları belirle-yelim. f´(x) = 3x2 , f ´´(x) = 6x - x  0 f´´(x) - - - - - + + + + + 0 Her x  0 için f ´(x) = 3x2 nin pozitif olduğu da göz önüne alınarak , f(x) = x3fonksiyonunun grafiği elde edilir.

11. Şimdiye kadar yapılanlardan şu sonucu çıkarabiliriz: Bir f fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıklar f nin birinci türevinin,yukarıya veya aşağı doğru konkav olduğu aralıklar da fnin ikinci türevinin işaretinin değişimine bakılarak belirlenebilir.Şu kuralları elde ettik: (a , b) aralığında • f ´(x) > 0  f artan  f azalan • f ´(x) < 0  (c , f (c))’de yatay teğet • f ´(c) = 0  y = f (x)in grafiği yukarı doğru konkav • f ´´ (x) > 0 • f ´´ (x) < 0  y = f (x)in grafiği aşağı doğru konkav

12. Bir ffonksiyonunun grafiğinde konkavlığın değiştiği noktaya f nin dönüm noktası denir. Bu durumda, “f nin x = c’de dönüm noktası var” denir. dönüm noktası y (0,0) x Dönüm noktası ile ikinci türev arasında şu ilişki vardır: y = f (x)fonksiyonu (a , b) de sürekli ve a < c < bolmak üzere, f ninx = c’de dönüm noktası varsa, ya f ´´ (c) = 0 yada f ´´ (c) tanımsızdır. Örnek. fonksiyonunun grafiğininyukarı doğru veya aşağı doğru konkav olduğu aralıkları, ve varsa dönüm noktalarını belirleyelim. f´(x) = 3x2-6x = 0 x = 0veyax = 2. f´´(x) = 6x –6= 0 x = 1. ffonksiyonunun grafiğinin yukarı doğru veya aşağı doğru konkav olduğu aralıkları, ikinci türevin işaret tablosu yardımıyla belirleyebiliriz. - x  1 Bu tablodan ffonksiyonunun x = 1’de dönüm noktası bulunduğu da görül-mektedir. f´´(x) - - - - - + + + + + 0 Fonksiyonun daha önce de çizilen grafiği bir sonraki slaytta verilmiştir.

13. y 1 x -1 2 0

14. Yerel Maksimum , Yerel Minimum (Yerel Ekstremum). y y f(c) f(c) x x a c a x x c b b İç Nokta Ekstremumları. c bir reel sayı ve fbir fonksiyon olsun. f fonksiyonucyi içine alan bir açık aralıkta tanımlı ise, cyefnin tanım kümesinin bir iç noktası denir. c, f fonksiyonunun tanım kümesinin bir iç noktası olsun. Eğer her x(a,b) için f(x) < f(c) koşulunu sağlayan, cyi içeren bir (a,b) aralığı varsa, f(c) değeri fnin bir yerel maksimum değeridir denir. Benzer şekilde, herx(a,b) için f(x) > f(c) koşulunu sağlayan, cyi içeren bir (a,b) aralığı varsa, f(c) değeri fnin bir yerel minimum değeridir denir. f(c)yerel maksimum f(c)yerel minimum f(c) değeri fnin yerel maksimum (veya yerel minimum) değeri ise, fninx = c’de yerel maksimum (veya yerel minimum) değeri vardır denir.

15. Örnek. Karesel fonksiyonlarla ilgili tartışmalarımızdan, y 1 x 2 0 karesel fonksiyonunun olmak üzere • a > 0 ise, x = h’deyerelminimum değere • a < 0 ise, x = h’deyerelmaksimum değere sahip olduğunu anımsayınız. -1 Örnek. Daha önce, f(x) = x3 – 3x2 + 4 fonksiyonunun grafiği yandaki gibi çizilmişti. Grafikten de kolayca görülebileceği üzere bu fonksiyonun x =0’da yerel maksimum (f(0) = 4) vex =2’deyerel minimum (f(2) = 0) değeri bulunmaktadır.

16. Uç Nokta Ekstremumları. Eğer a, birffonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sol uç noktası olup aya yakın ve adan büyük olan herxiçinf(x) < f (a) ise, f(a) yaf nin bir uç nokta yerel maksimum değeridenir. Eğer b,birffonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sağ uç noktası olup bye yakın ve bden küçük olan her xiçinf(x) < f (b) ise, f(b) ye f nin bir uç nokta yerel maksimum değeridenir. Aşağıdaki şekiller uç nokta maksimum değer tanımını açıklar: (a,f(a)) y y (b,f(b)) a x x b fonksiyonu [0,∞) aralığında tanımlıdır ve f(0)=0 değeri bu Örnek. fonksiyonun bir uç nokta maksimumudur. Çünkü, her xϵ (0,9) için ve f(x) < f (0) = 0 dır.

17. Eğer c, birffonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sol uç noktası olup cye yakın ve cden büyük olan herxiçinf(x) > f (c) ise, f(c) yef nin bir uç nokta yerel minimum değeridenir. Eğer d,birffonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sağ uç noktası olup dye yakın ve dden küçük olan her xiçinf(x) > f(d) ise, f(d) ye f nin bir uç nokta yerel minimum değeridenir. Aşağıdaki şekiller uç nokta minimum değer tanımını açıklar: y y (d,f(d)) (c,f(c)) x x b a fonksiyonu [0,∞) aralığında tanımlıdır ve f(0)=0 değeri bu fonksiyonun Örnek. bir uç nokta maksimumudur. Çünkü, her xϵ (0,4) için ve f(x) > f (0) = 0 dır.

18. Her x[-2,3] için , g(x) = x3 – 3x2 + 4 denklemi ile tanımlanan fonksiyon y (3,4) (0,4) 0 –2 x 3 2 y = x3–3x2+4 –2 x 3 (–2,–16) Örnek. g(-2) = -16 uç nokta yerel minimumu g(3) = 4 uç nokta yerel maksimumu denklemi ile tanımlanan fonksiyon Örnek. [1,5] aralığında tanımlı olup (1,3) aralığında artan, (3,5) aralığın-da azalandır. Dolayısıyla, g(1) = 2 =g(5) uç nokta yerel minimumu iç nokta yerel maksimumu

19. y = f(x)in grafiğini çizmek için Grafik Çizimi. (f nin tanım kümesi, f(x)in tanımlı olduğu tüm reelsayıların oluşturduğu kümedir.) Adım 1.f(x) analiz edilir. A)f nin tanım kümesi belirlenir. (Eğer varsa, y-kesişimi f(0)dır; x-kesişimleri de f(x)=0ın çözümleri.) B) Koordinat kesişimleri bulunur. C) Asimptotlar bulunur. Adım 2.f´(x) analiz edilir. (Bir tabloda f´(x)in sıfır olduğu veya tanımsız olduğu yerler, işaret değişimi gösterilir; böylece, f nin hangi aralıklarda artan, hangi aralıklarda azalan olduğu ve ayrıca yerel maksimum ve minimum değerleri belirlenir.) Adım 3.f´´(x) analiz edilir. (Bir tabloda f´´(x)in de sıfır olduğu veya tanımsız olduğu yerler, işaret değişimi gösterilir; böylece, f nin hangi aralıklarda aşağıya doğru, hangi aralıklarda yukarıya doğru konkav olduğunu ve ayrıca varsa dönüm noktaları belirlenir.) Adım 4. Grafik çizilir. (Bir koordinat sistemi alınarak asimptotları çizilir, koordinat kesişimleri, yerel maksimum ve minimum noktaları, dönüm noktaları işaretlenir ve tablolardan da yararlanılarak şekil tamamlanır.) Şimdi bu adımları bazı örnekler üzerinde gerçekleştirelim

20. x 0 3/2 f´(x) - - - - - - - - - + + + + + 0 0 azalan f(x) artan azalan -27/16 0 Örnek 1.f(x) = x4 – 2x3ileverilen fonksiyonun grafiğini çizelim. Adım 1.f(x)i analiz edelim. A)f nin tanım kümesi: tüm reel sayılar kümesiℝ f(0) = 0 B) y – kesişimi: (0,0) noktası f(x) = 0 x– kesişimleri: x4– 2x3= 0 x3(x – 2) = 0  x = 0 , 2 (0,0) ve (2,0) noktaları f bir polinom olduğundan düşey veya yatay asimptot yoktur. C) Asimptotlar: Adım 2.f´(x)i analiz edelim: Kritik Değerler: 0ve3/2 f´(x) = 4x3 – 6x2 = 4x2(x – 3/2) f(x), (-,3/2) aralığında azalan, (3/2 , ) aralığında artan olup x = 3/2’de yerel minimum var-dır. Yerel min.

21. 1 2 -1 1 -1 -2 Adım 4. Grafiği çizelim. y Bulduğumuz noktaları yerleştirelim f(x) = x4 – 2x3 x 0

22. 0 Örnek 2.f(x) = x3 + 3x2 -9x +5in grafiğini çizelim Adım 1.f(x)i analiz edelim. A)f nin tanım kümesi: tüm reel sayılar kümesiℝ B) y – kesişimi: f(0) = 5 (0,5) f(x) = x3+ 3x2 -9x +5 =(x-1)2(x+5) x – kesişimleri: (1,0) ve (-5,0) f bir polinom olduğundan düşey veya yatay asimptot yoktur. C) Asimptotlar: Adım 2-3.f´(x)ve f´´(x)i analiz edelim : f´(x) = 3x2 + 6x -9 = 3(x2 +2x-3) = 3(x-1)(x+3) Kritik Değerler:-3ve1 f´´(x) = 6x + 6= 6(x+1) = 0 x = -1 -3 -1 1 -5 f (x) 0 32 16 5 0 f ‘ (x) 0 - - - - + + + 0 + + + + + + + - - - - - - - - f ‘‘ (x) 0 + + + + + + + + + +

23. y x Adım 4. (-3,32) f(x) = x3+ 3x2 -9x +5 (-1,16) (0,5) (-5,0) (1,0)

24. Örnek 3. nin grafiğini çizelim. Adım 1.f (x)i analiz edelim. ℝ\{2} A)f nin tanım kümesi: B)y – kesişimi: x – kesişimleri: Bir kesrin sıfır olduğu yerler, payın sıfır olduğu, ancak pay-danın sıfırdan farklı olduğu yerlerdir. Dolayısıyla,x-kesişimi x = 1dir. olduğundan,y = 1 yatay asimptottur. C) Yatay asimptot : Düşey asimptot:x = 2.

25. 0 x 2 1 f(x) 1/2 0 f´(x) -1/4 -1 f´´(x) 2 1/4 Bu örnekte de Adım 2 ve Adım 3 ü birlikte gerçekleştirip bir tek tablo yapacağız: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + - - - -

26. y x Adım 4. 1 -1 0 1 2 3

27. in grafiğini çizelim. Örnek 4. Adım 1.f(x)i analiz edelim. A)f nin tanım kümesi: ℝ B)y – kesişimi: x – kesişimleri: Yok. yatay asimptottur. olduğundan,y = 0 C) Yatay asimptot: Düşey asimptot: Yok.

28. =0 x = 0 x 1 f(x) 1 1/2 3/4 3/4 f´(x) 0 f´´(x) 0 0 Adım 2veAdım 3ü birlikte gerçekleştirip bir tek tablo yapalım: = 0  x = 0. - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + - -- - - - + + + + + + + + + + + + + Yerel Maks.

29. y x Adım 4. 1 0

30. Örnek 5. in grafiğini çizelim. Grafik çizim stratejisindeki adımları sırasıyla izliyoruz. x-kesişimi ve y-kesişimi: (0,0). Tanım kümesi: ℝ Düşey asimptot yok.  y= 0yatay asimptot. f´(x) in bu ifadesinden, her x < -1 için f´(x)<0 ve her x > -1 için f´(x)>0 olduğu görülür f´´(x) in bu ifadesinden, her x < -2 için f´´(x)<0 ve her x > -2 için f´´(x)>0 olduğu görülür. Bu verileri bir tabloda özetleyelim ve grafiği çizelim.

31. y x f(x) -1 -2 f´(x) x 0 f´´(x) 0 -2 -1 -e-1 0 -2e-2 - - - - - - - - - + + + + + + + + + 0 - - - - - + + + + + + + + + + + 0 Yerel min.

32. in grafiğini çizelim. Örnek 5. Grafik çizim stratejisindeki adımları sırasıyla izliyoruz. x-kesişimi ve y-kesişimi :YOK. Tanım kümesi: ℝ\{0} x= 0düşey asimptot.  y= 0yatay asimptot. f´(x) in bu ifadesinden, her x < 1 için f´(x)<0 ve her x > 1 için f´(x)>0 olduğu görülür Her x R için ve ex > 0 olduğundan, ikinci türevin asla sıfır olmadığına ve ikinci türevin işaretinin x3 tarafından belirlendiğine dikkat edelim. Bu verileri bir tabloda özetleyelim ve grafiği çizelim.

33. 0 x y x 0 1 1 f(x) e f´(x) - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + f ´´x) e - - - - - - - - - - + + + + + + + + + +

34. in grafiğini çizelim. Örnek 6. Tanım kümesi: x-kesişimi: x = 1, y-kesişimi: yok. = 0  x = 1/e

35. 1/e 0 -1/e - - - - - - - + + + + + + + + + + 0 + + + + + + + + + + + + + ++ + + e x f(x) f´(x) f´´(x) 1 0 Yerel min.

36. y x 1 0 1/e

37. Örnek 7. in grafiğiniçizelim. Tanım kümesi: Fonksiyonun koordinat kesişimi, yatay veya düşey asimptotu yoktur(neden?) y Yerel maks. x 3 5 1 g(x) 2 2 2 g’(x) + + + + 0 - - - - g’’(x) - - - - - - - - - - - x 0 1 3 5

38. y y = N´(x) 15 x 10 20 N(x) 6500 7000 6750 x 15 10 20 Uygulama. Bir şirket, en az 10 bin en çok 20 bin TL harcamayı planladığı bir reklam kampanyası düzenlemek istiyor. Şirket geçmiş satış bilgilerini de kullanarak, bu kampanya için x bin TL harcaması durumunda, günde satabileceği ürün sayısının N(x) = 9000 – 600x + 45x2 – x3 olacağını tahmin ediyor. Satışın reklam harcamalarına göre değişim oranını analiz ediniz. Çözüm. Değişim oranı türeve karşılık geldiğinden, N´(x)= -600 + 90x- 3x2 = -3(x2- 30x +200)= -3(x-10)(x-20), N´´(x) = -6x+90 = -6(x-15). y = N(x) N´(x) 0+ + + + + 75+ + + + + 0 N´´(x) - - - - - - - + + + + + + 0 N(10)= 9000 – 6000 + 4500 - 1000= 6500 N(15)= 9000 - 600 . 15 + 45 . 152 - 153 = 6750 N(20)= 9000 - 600 . 20 + 45 . 202 - 203 = 7000