1 / 27

MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL

MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL. PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat sebuah fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya . Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari suatu fungsi yang tidak diketahui . . Contoh .

benson
Download Presentation

MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL

  2. PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaandiferensialadalahpersamaan yang memuatsebuahfungsi yang tidakdiketahuidanturunan-turunannya. Menyelesaikansuatupersamaandiferensialadalahmencarisuatufungsi yang tidakdiketahui. Contoh PD orde satu variabel terpisah Persamaan diferensial orde satu variabel terpisah atau f(x)dx + g(y) dy = 0 atau Persamaan diferensial linier orde dua

  3. Contoh penerapan Rangkaian Listrik R-L Pada rangkaian seri menyatakan bahwa hubungan antara hambatan R ohm dan induktansi L henry dengan sebuah sumber arus listrik konstan yang tegangannya V volt. Andaikan i(t) menyatakan arus listrik dalam ampere yang mengalir pada rangkaian setelah waktu t, dan t menyatakan waktu dalam detik sejak rangkaian ditutup. Menurut hukum Kircoff, diperoleh : HukumPendinginan Newton Hukum Newton menyatakanbahwalajuperubahanlajupendinginansuhubendasebandingdenganselisihsuhuantarabendadan medium yang mengelilinginya. Andaikantadalahwaktutsetelahbendamulaimendingin. JikaT(t) adalahsuhubendapadasaatt, Tmsuhu medium yang mengelilinginya, dT/dtlajuperubahansuhupadasaatt, dankfaktorpembandingmaka,

  4. PENERAPAN INTEGRAL TENTU Contoh 1 Hitunglah luas daerah R, yang terletak dibawah kurva f(x) = 4x2 – x3, sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 3. Luas Bidang Datar Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x pada [a,b] seperti pada gambar Jawab y y=f(x) f(x) = 4x2 – x3 R f(xi) f(xi) x x=a x=b x=1 x=3 xi Luas empat persegi panjang Ai=(4xi2 – xi3)xi, 1  xi  3 Ai=f(xi) xi, a  xi  b

  5. Contoh : f(x)=x3 – 2x2 – 8x A(R1) –2 0 4 A(R2)

  6. Luas diantara dua kurva Misalkan daerah R dibatasi oleh dua kurva y=f(x), y=g(x) pada [a,b] seperti pada gambar Prosedur Menghitung Luas Daerah Langkah-langkah untuk menghitung luas daerah dengan integral tertentu y • Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, beserta batas-batasnya. • Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu. • Hampiri luas suatu jalur tertentu langkah 2 dengan luas empat persegi panjang. • Jumlahkan luas aproksimasi dari langkah 3. • Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu. xi y=f(x) R f(x)-g(x) y=g(x) x x=a x=b Luas empat persegi panjang : Ai=[f(xi) – g(xi)] xi, a  xi  b

  7. Contoh 2 Hitunglah luas daerah R, terletak y = 4x2 – x3, dan x+y = 4. Jawab : Sketsa grafik R lihat gambar berikut Menghitung A(R) A1 = [g(xi)-f(xi)]xi = [(4-xi)-(4xi2 – xi3)]xi, -1xi 1 y f(x) = 4x2 – x3 R2 A2 R1 A2 = [f(xi)-g(xi)]xi = [(4xi2 – xi3)-(4-xi)]xi, 1xi 4 A1 g(x)=4-x x x=4 x=-1 x=1 Titik potong kedua kurva diperoleh : 4-x = 4x2 -x3 X3-4x2– x + 4 = 0, x1=-1,x2=1,x3=4

  8. Contoh : f(x)=x3 – 2x2 – 8x –3 –2 0 1 4 A(R1) A(R2) g(x)=3x – 12

  9. FungsiDensitas : • Fungsi f(x) dikatakansebagaifungsidensitas (probabilitas), jikahanyajika f(x) memenuhisifat-sifatberikutini : • f(x)  0 Mean dan variannya diberikan oleh :

  10. TUGAS LUAS BIDANG DATAR Soal 3. Hitunglahluasdaerah yang dibatasiolehkurvaberikutini: (a). y = a – (x – 4)2, dan x + y = (a + 2), (b). y = x2, x + y = 2, dan x=y3. (c). y = x2, y = 8 – x2, dan 4x–y+12 = 0. Soal 4.Hitunglahluassegitigadimanatitik-titiksudutnyaadalah : (a). (1,2), (7,4), dan (-1,8) (b). (2,1), (6,5), dan (0,8) Soal 5. Hitunglahluassegiempatdimanakoordinattitiktitiksudutnyaadalah (a). (1,1), (4,2), (–2, 6) dan (2,7) (b). (2,1), (5,3), (–2,7) dan (1,9) • Soal1 • Suatufungsidensitas (kepadatan) didefinisikanoleh • (i) f(x) = k x(2 – x)4, 0 x  2 • (ii) f(x) = kxa(8 – x3) 0  x  2 • (III) f(x) = kxb(4 – x2), 0 x  2 • Hitunglahnilai k • Berapa, P(x>1) • Hitunglah E(x) danvarian • Soal 2 • Hitunglahluasdaerah yang dibatasiolehkurva, berikutdengansumbu x • f(x)=(x+a)(x – 1)(x – a – 1) • f(x) = (x2 – 1 )(x – a – 1)

  11. Volume Benda Pejal, MetodeSilinder Perhatikanlah sketsa silinder berikut ini Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b. y r h=xi xi y=f(x) R f(xi) r=f(xi) V=r2h h x x=a x=b h Jika R diputarterhadapsumbu x dihasilkanbendapejal. Elemen volume V = r2h =[f(xi)]2xi, axib Jadi : r2 r1

  12. Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, garis y=5, dari x=1 sd x=3, jika diputar terhadap garis y=5 Jawab Contoh 3 : Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, jika diputar tehadap sb x Jawab y y=1+(x-1)2 h=xi R x=1 x=3 r=f(xi) x=1 x y=5 x=3 R r=5-f(xi) V = r2h =[1+(x-1)2]2xi, 1xi3 y=1+(x-1)2 x V = r2h =[4-(x-1)2]2xi, 1xi3

  13. MetodeCincin, Silinder MisalkandaerahRdibatasiolehkurva-kurvay = f(x) dany = g(x), garisx = adangarisx = b, denganf(x) g(x). AndaikandaerahRdiputardengansumbuputarsumbux, makaakandihasilkansuatubendapejal, dimanabagiantengahnyalubang. Metodedemikiandisebutmetodecincin y y xi y=f(x) h=xi R f(x)-g(x) r2=f(x) y=g(x) r1=g(x) x x=a x=b Dengan metode silinder : V=[r22 – r12]h = [f(xi)2–g(xi)2]xi,axib

  14. Contoh 4 Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu x, garis y=6, y=1 Jawab : Kasus 1. Sumbu putar sumbu x Karena, A  SP . denganmetodesilinder : V=[r22 – r12]h = [f(x)2–g(x)2]x,1x4 = [(6-x)2–(1+(x-3)2)2]x,1x4 Jadi, y=g(x)=(x-3)2+1 h=xi y=f(x)=6-x r2=f(x) R r1=g(x) x a=1 b=4

  15. Kasus 2 : Sumbu putar garis y = 6 Karena, A  SP, Dengan metode silinder : V=[r22 – r12]h = {[6-g(x)]2–[6-f(x)]2}x,1xi4 = {[6–(1+(x-3)2)]2-[6-(6-x)]2}x, = {[5–(x-3)2]2- x2}x, 1x4 Jadi, y y=6 y=f(x)=6-x r1=6-f(x) r2=6-g(x) h=xi R y=g(x)=(x-3)2+1 x a=1 b=4

  16. Kasus 3 : Sumbu putar garis y = 1 Karena, A  SP, maka dengan metode silinder : V=[r22 – r12]h = {[f(x)-1]2– [g(x)-1]2}x,1x4 = {[(6–x)-1]2 – [(1+(x-3)2)-1]2}x, = {[5–x]2 – (x-3)4}x, 1x4 Jadi, y y=f(x)=6-x h=xi r2=f(x)-1 R r1=g(x)-1 y=1 y=g(x)=(x-3)2+1 x a=1 b=4

  17. Metode Sel Silinder Perhatikanlah sel silinder berikut ini Volume sel silinder adalah : V = r22h – r12 h = [r22 – r12 ] h = (r2 + r1)(r2 – r1)h r2 r1 h r Jika diambil r = r2 – r1 r1 : jari-jari dalam r2 : jari-jari luar r : jari-jari rata-rata h : tinggi silinder Dihasilkan rumus V = 2  r h r

  18. Volume benda pejal, Metode Sel Silinder Andaikan daerah R dibatasi oleh f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b. Contoh 5 : Hitung volume benda pejal jika R dibatasi oleh y=1+(x-1)2, sumbu x, dari x=1 sd x=3, diputar terhadap y Jawab r=xi y=f(x) R r=x r=xi h=f(x) r=x h=f(x) x=a x=b R Jika R diputar terhadap sumbu y dihasilkan benda pejal. Elemen volume V = 2rhr = 2x f(x)x, axb Jadi : x=1 x=3 V = 2rhr = 2 x f(x) x =2 x[1+(x-1)2]x, 1x3 Jadi,

  19. Metode Sel Silinder Lanjutan Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, dengan f(x) g(x). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, berbentuk sel silinder. Metode demikian disebut metode sel silinder y y r=x xi y=f(x) R r=x h=f(x)-g(x) h=f(x)-g(x) y=g(x) x x x=a x=b Dengan metode sel silinder : V= 2 r h r = 2 x[f(x)–g(x)]x, axb

  20. Contoh 4 Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu y, garis x=1, dan x=4 Jawab : Kasus 1. Sumbu putar sumbu y KarenaA // SP, makadenganmetodeselsilinder : V= 2 r h r = 2 x [f(x)–g(x)]x,1x4 = 2 x [(6-x)–(1+(x-3)2)]x,1x4 Jadi, y y=6-x R r=xi r=x h=f(x)-g(x) y=(x-3)2+1 x x=1 x=4

  21. Kasus 3 : Sumbu putar garis x=4 Kasus 2 : Sumbu putar garis x=1 y=6-x y=6-x r=xi h=f(x)-g(x) h=f(x)-g(x) r=4-x x r=xi r=x-1 R x y=(x-3)2+1 y=(x-3)2+1 1 x=1 x=4 x=4 x=1 Dengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (x-1)[(6-x) – (1+(x-3)2]x, Jadi, Dengan metode sel silinder V = 2 r hr = 2 (4 - x)[(6-x) – (1+(x-3)2] x Jadi,

  22. Prosedur Menghitung Volume Banda Pejal Langkah-langkah untuk menghitung volume bendapejaldenganintegral tertentu adalahsebagaiberikut : • Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, tentukanfungsi f(x) dan g(x) beserta batas-batasnya (batas integral). • Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu (luasempatpersegipanjang), danbuatlahsumbuputarnya yang tidakmemotongdaerah R. • Hampiri volume bendapejalnyadenganpendekatan : • (a) Volume silinder, V = r2h jikaA tegaklurusdengansumbuputar • (b) Volume sel slilinder, V = 2rh r, jika A sejajardengansumbuputar. • Jumlahkan volume silinderaproksimasi dari langkah 3. • Ambillimitnyasehinggadiperolehsuatu integral tertentu, atauhitunglah volume bendapejalnyadengan integral tentu.

  23. MomendanPusat Massa Misalkansepotong lamina homogendibatasiolehkurvay = f(x) dany = g(x) denganf(x) g(x) garisx = a, dangarisx = b. Andaikanbahwakerapatan lamina adalah, Andaikanlah, pusat masaa lamina y y=f(x) xi R dimana,  y=g(x) xi x My : moment terhadap sumbu y Mx : moment terhadap sumbu x m : massa lamina x=b x=a

  24. Contoh 5 Hitung pusat massa daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3)2+1. Jika kerapatannya adalah konstan k Jawab : y=6-x xi y=f(x) xi  y=g(x) y=(x-3)2+1 Jadi, x=1 x=4

  25. TeoremaPappus Jika sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar terhadap sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R, maka volume benda putar yang dibentuk oleh R sama dengan luas daerah R dikalikan dengan keliling yang ditempuh oleh titik pusat R itu Bilamanadaerahdiputarterhadapsebuahsumbuputar yang tidakterletakpadadaerahR, maka volume bendaputarnyadiberikanoleh, V = 2r A dimanaradalahjari-jarilingkaranyaknipanjangjaraktegaklurusdarititikpusatmassakesumbuputar, danAadalahluasdaerahR, lamina.

  26. TugasKhusus Volume Benda Putar Soal1. PerhatikanlahdaerahRdibatasioleh, y = (b – 5) + (x – a + 4)2dangarislurus yang menghubungkantitik (a–5, b–4) dan (a–2,b –1). Hitunglah volume bendaputarnya, jikadaerahRdiputarterhadap : (a). Garisy = b – 6, y=b+5 (b). Garisx = a +1 , x=a – 6 Soal2. Suatudaerah R dibatasiolehkurva, y = a – (x – b)2, dan x + y = (a + b – 2), hitunglah volume bendaputarnya, jikadaerah R diputarterhadap : a. garis y = a+1, y=a - 5 b. garis x = b + 3, x=b – 3 Soal3. Daerah R adalahsebuahsegitigadimanatitik-titikujungnyaadalah (a,b), (2a,2b), dan (a,2a+2b). Dengan integral tentuhitunglah, a. Volume bendaputarnyajika R diputarterhadapgaris y = b b. Volume bendaputarnyajika R diputarterdadapgaris x = a

  27. Soal 4 Perhatikanlahgambardaerahberikutini Hitunglah volume bendaputarnyajikadaerah R diputarterhadap : (a). Garis, y=b-5, (b). Garis, y= b+1 (c). Garis, x=a – 3 (d). Garis, x= a + 2 GambarSoal No. 4 • Soal 5. • Tugas Massa danPusat Massa • Untuksoalnomor1,2 dan 4 hitunglahpusatmassadenganasumsikerapatankonstan • Hitunglah volume yang ditanyakandenganmetodeteoremapappus.

More Related