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Instituto Tecnológico de Puebla. Límites. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx. Instituto Tecnológico de Puebla. Resumen. La notación para la definición de límite, es muy

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    Presentation Transcript
    1. Instituto Tecnológico de Puebla Límites Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx

    2. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Resumen La notación para la definición de límite, es muy compleja y confusa cuando los alumnos tratan con ella por primera vez en los cursos de Cálculo Diferencial, sin embargo, es la manera precisa de definir el límite de una función, cuando este existe. Una manera de visualizar de forma dinámica este concepto, se basa en el paquete Cabri Geometre II y la interpretación geométrica de la definición de límite.

    3. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Introducción Sea la función Se quiere ver el comportamiento de la función cuando al variar x, ésta se acerca a un punto fijo que se ha seleccionado (pero nunca es este punto).

    4. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla En este ejemplo, se quiere ver el comportamiento de f(x) cuando x toma diferentes valores cercanos a 1, es decir x y y = 3x + 4 cuando x tiende a 1, o de manera formal

    5. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Con Cabri marcamos tres puntos, O, P y Q (al mover P se representa a x ) Q O x = 1.9050 y = 9.7150 y = 3x + 4 P se mueve P sobre el eje x, acercándose a 1

    6. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y Q O x = 1.7992 y = 9.3975 y = 3x + 4 P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es...

    7. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y Q x = 1.7198 O y = 9.1594 y = 3x + 4 P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es...

    8. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y x = 1.5875 Q O y = 8.7625 y = 3x + 4 P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es...

    9. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y x = 1.4817 Q y = 8.4450 O y = 3x + 4 P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es...

    10. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y x = 1.3758 y = 8.1275 Q O y = 3x + 4 P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es...

    11. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y x = 1.3229 y = 7.9687 Q O y = 3x + 4 P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es...

    12. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y x = 1.2435 y = 7.7306 Q O y = 3x + 4 P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es...

    13. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y x = 1.1906 y = 7.5719 Q O y = 3x + 4 P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es...

    14. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla y al hacerlo, también se mueve el puntog Q variando los valores de x y y x = 1.1377 y = 7.4131 Q O y = 3x + 4 P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es...

    15. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y x = 1.0848 y = 7.2544 Q O y = 3x + 4 P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es...

    16. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla y al hacerlo, también se mueve el punto Q variando los valores de x y y x = 1.0583 y = 7.1750 Q O y = 3x + 4 P al mismo tiempo que O se mueve hacia abajo acercándose a un valor fijo, que es...7

    17. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Se puede observar que a medida que x se acerca a 1, y se acerca a 7, pero y = f(x) x = 1.0054 y = 7.0162 Q O y = 3x + 4 P por lo que se puede escribir lo anterior de la manera:

    18. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.0950 y = 4.2850 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1

    19. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.2008 y = 4.6025 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...

    20. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.2802 y = 4.8406 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...

    21. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.4125 y = 5.2375 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...

    22. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.5183 y = 5.5550 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...

    23. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.6242 y = 5.8725 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...

    24. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.6771 y = 6.0313 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...

    25. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.7565 y = 6.2694 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...

    26. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.8094 y = 6.4281 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...

    27. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.8623 y = 6.5869 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...

    28. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.9152 y = 6.7456 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...

    29. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.9417 y = 6.8250 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...

    30. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Pero aproximarse a 1 no solamente se puede hacer a la derecha, también se puede aproximar por puntos cercanos x = 0.9946 y = 6.9838 Q O y = 3x + 4 P a la izquierda, como lo muestra P al acercarse a 1 al mismo tiempo que O se mueve hacia arriba acercándose a un valor fijo, que es...7

    31. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla En ambos acercamientos a 1, tanto a la derecha como a la izquierda el valor límite es 7, cuando esto sucede, se dice que el límite existe y se representa en notación matemática

    32. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Donde representa el límite por la derecha representa el límite por la izquierda y

    33. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Cuando el límite por la derecha no es igual al límite por la izquierda, no existe el límite de la función. Con esto se concluye que la distancia a la izquierda debe ser igual a la distancia a la derecha (de otro modo, el radio que esté a una distancia más corta tenderá a un valor, y el de la derecha a otro).

    34. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente 7 1

    35. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente 7 1

    36. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente 7 1

    37. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente 7 1

    38. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente 7 1

    39. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente 7 1

    40. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente 7 1

    41. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Así, se pueden establecer radios y alrededor de los puntos 1 y 7 respectivamente 7 1

    42. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Que se les pueden llamar y 7 1

    43. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Que se les pueden llamar y 7 1 y que se pueden hacer tan pequeños como se necesite

    44. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Que se les pueden llamar y 7 1 y que se pueden hacer tan pequeños como se necesite

    45. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Que se les pueden llamar y 7 1 y que se pueden hacer tan pequeños como se necesite

    46. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Que se les pueden llamar y 7 1 y que se pueden hacer tan pequeños como se necesite

    47. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Que se les pueden llamar y 7 1 y que se pueden hacer tan pequeños como se necesite

    48. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Se han creado dos intervalos que tienen como centros 1 y 7 y radios y respectivamente 7 + 7 - 1 + 1 - por lo que se forman los intervalos:

    49. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Se han creado dos intervalos que tienen como centros 1 y 7 y radios y respectivamente 7 + 7 - 1 + 1 - por lo que se forman los intervalos:

    50. Oscar Cid Turcott correo electrónico: buran@prodigy.net.mx Instituto Tecnológico de Puebla Se han creado dos intervalos que tienen como centros 1 y 7 y radios y respectivamente 7 + 7 - 1 + 1 - por lo que se forman los intervalos: