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EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA

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EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA. Construcciones Elementales. Ejercicio Nº 1.- Bisectriz de un ángulo cuyos lados no se cortan . Sean dos rectas r y s concurrentes que se cortan fuera de los límites del dibujo.

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ejercicios de geometr a m trica

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA

Construcciones Elementales

ejercicio n 1 bisectriz de un ngulo cuyos lados no se cortan
Ejercicio Nº 1.- Bisectriz de un ángulo cuyos lados no se cortan.

Sean dos rectas r y s concurrentes que se cortan fuera de los límites del dibujo.

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2º.- Hallamos las bisectrices de los ángulos que se forman en las intersecciones de las rectas r y s con la recta t, con vértices en los puntos A y B, rectas a, b, c y d.

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3º.- Las bisectrices anteriores se cortan en los puntos E y F, que son puntos de la bisectriz del ángulo que forman las recta r y s.

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Ejercicio Nº 2.- Trazar una recta que pasando por un punto P sea concurrente con otras dos rectas r y s que se cortan fuera de los límites del dibujo.

Sean dos rectas r y s concurrentes que se cortan fuera de los límites del dibujo. Y un punto P.

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4º.- El punto P' es un punto de la recta buscada t concurrente con r y s. 5º.- Unimos P y P' y obtenemos la recta solución t.

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Ejercicio Nº 3En cada uno de los puntos A, B, C hay un faro. Determinar la posición de un barco P teniendo en cuenta que las visuales desde dicho barco hacia los puntos A y B forman 45º y hacia B y C 60º

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Trazamos por A y por B una perpendicular a los ángulos construidos, seguidamente trazamos las mediatrices de A-B y B-C que se cortan con las perpendiculares anteriores en los centros O1 y O2

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Trazamos las circunferencias de centros O1 y O2 que pasen por A, B y por C, D respectivamente que se cortan en el punto P que es el punto buscado.En realidad es una aplicación del arco capaz

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Ejercicio Nº 4Construir un triángulo ABC conocidos dos lados a = 50 b = 25 m/m y el ángulo en A = 60º opuesto al lado a

Trazamos el lado a = 50m/m

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1º.- Trazamos la mediatriz del lado a :CB, en un extremo el C construimos un ángulo dado del vértice opuesto de 60º
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2º.- Trazamos una perpendicular al ángulo de 60º antes trazado, que corta a la mediatriz del lado CB en el punto O1, centro del arco capaz del segmento CB

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3º.- Con centro en el extremo C y radio b = 25 m/m, hallamos el punto A .Aplicación del arco capaz el ángulo A tiene 60º
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Ejercicio Nº 5.- Construir un triangulo ABC conocidos dos lados a= 50 , b= 25 y el ángulo en A= 60º opuesto al lado a.

1º.- Trazamos el lado a =CB=50 mm

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3º.- Trazamos el arco capaz del segmento CB y para una ángulo de 60ºEn C trazamos un ángulo de 60º, a continuación trazamos la perpendicular por C al lado del ángulo que corta a la mediatriz en el punto O

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4º.- Con centro en O y radio OC=OB trazamos el arco de circunferencia que pasa como es lógico por C y B.
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4º.- Con centro en el vértice C trazamos un arco de circunferencia que corta al arco capaz en el punto A que es el otro vértice del triángulo buscado.

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Ejercicio Nº 6Trazar la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo del que se conocen la hipotenusa a = 86 m/m. y uno de los ángulos adyacentes B = 32ºTrazamos la hipotenusa BC = 86 m/m determinamos el punto medio y trazamos la semicircunferencia que pasa por B y C (no hace falta trazar el arco capaz por ser el ángulo de 90º, la perpendicular es el mismo lado BC

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Construimos el ángulo de 32º en el vértice B que corta a la semicircunferencia en el punto A que es el otro vértice del triangulo buscado
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Unimos el punto A con el vértice C y tenemos construido el triangulo rectángulo de ángulo recto en el vértice A
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Trazamos las bisectrices de los ángulos B y C que se cortan en el punto O centro de la circunferencia inscrita buscada
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Trazamos las perpendiculares a los lados que nos dan los puntos T de tangencia de la circunferencia inscrita, que trazamos de centro en O y radio OT

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Ejercicio Nº 7Dibujar un triángulo isósceles del que se conocen el lado desigual a = 45 m/m. y el ángulo desigual A = 50ºTrazamos el lado a = 45 m/m

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Construimos la mediatriz del lado BC y el ángulo de 50º en el extremo B después trazamos el ángulo de 90º que corta a la mediatriz en el punto O, centro del arco capaz

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Trazamos el arco de centro O y radio OB = OC que corta a la mediatriz en el punto A que es el otro vértice del triángulo
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Ejercicio Nº 8Construcción de un triángulo conociendo un lado y sus ángulos adyacentesTrazamos el lado AB dado
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Se transportan los ángulos A y B dados sobre el segmento anteriorSe prolongan los lados de los ángulos, se cortan en el punto C y se completa el triángulo

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Ejercicio Nº 9Construir un triángulo ABC conocidos dos lados a = 50 b = 25 m/m y el ángulo comprendido B = 60º Se lleva el segmento BC dado

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Ejercicio Nº 10Construir un triángulo rectángulo en A ,conociendo la Hipotenusa y la diferencia de los catetos b-c.Se lleva el segmento b-c dado

se traza un arco con centro en c de radio la hipotenusa a que corta en el punto b al lado del ngulo
Se traza un arco con centro en C de radio la hipotenusa a que corta en el punto B al lado del ángulo
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Desde B se traza un perpendicular la lado b-c donde corta a la prolongación es el vértice Ay tenemos el triángulo que se nos pide
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Ejercicio Nº 11Construcción de un triángulo rectángulo en A, si se conoce un cateto c y la suma de la hipotenusa y el otro cateto a + bSe lleva el segmento a + b dado

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Traza la mediatriz de la hipotenusa del triángulo anterior que corta al cateto (a + b) en el punto C que es el vértice del triángulo que se busca

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Ejercicio Nº 12.- Dibujar un triángulo del que se conocen el lado c= 50 mm, la altura hc=40 mm y la mediana mc=45 mm.

1º.- Trazamos el lado c=50 mm.

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4º. Con centro en 1 y radio mc=45 mm trazamos el arco de circunferencia que corta a la recta paralela al lado c en dos puntos C y C'.Que son el vértice que nos falta del triángulo.

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Ejercicio Nº 13 Construir un triángulo rectángulo con el ángulo recto en A; conociendo la hipotenusa a=50 mm y la suma de los catetos b+c= 65 mm.

Vemos en la fig como si tenemos un triángulo rectángulo si sobre un cateto le sumamos el otro se forma un ángulo de 45º, por lo tanto para construir el triángulo operamos como sigue:

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3º.- Con centro en el otro extremo trazamos un arco de radio a=50 mm, que corta al lado del ángulo en dos puntos B y B'.
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4º.- Por el vértice B trazamos una perpendicular al segmento a+b y obtenemos el vértice A. Por B' trazamos otra perpendicular al segmento a+b y obtenemos el otro vértice A'.

5 unimos los v rtices abc y obtenemos una soluci n uniendo los otros v rtices a b c tenemos la otra
5º.- Unimos los vértices ABC y obtenemos una solución, uniendo los otros vértices A'B'C' tenemos la otra.
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Ejercicio Nº 14Construcción de un cuadrado conociendo la suma de la diagonal mas el ladoConstruimos un cuadrado cualquiera ABDE
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Trazamos la diagonal de este cuadrado y la prolongamos, haciendo centro en D y radio DB obtenemos el punto N que es la suma de la diagonal mas el lado de este cuadrado, unimos N y B

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Llevamos sobre esta diagonal la dada D + L , obteniendo el punto M por trazamos una paralela a la recta NB y tenemos el punto C que es el lado del cuadrado buscado

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Ejercicio Nº 15Construir un rectángulo áureoSe construye un cuadrado de lado igual al menor del rectángulo que queremos construir.
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Se determina la mitad del lado AB punto 1 se traza una circunferencia de centro en 1 y radio 1C hasta B'
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Ejercicio Nº 16.- Construir un trapecio del que se conocen las bases a=84 mm, b=38 mm y los lados no paralelos c=45 mm y d=52 mm.

1º.- Trazamos el lado a=AB=84 mm.

2 a partir de a llevamos la distancia a 1 b 38 mm quedando la distancia b 1 a b 84 38 46 mm
2º.- A partir de A llevamos la distancia A-1=b=38 mm. Quedando la distancia B-1=a-b=84-38=46 mm.
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3º.- Con centro en el vértice B trazamos un arco de radio c=45 mm y con centro en el punto 1 trazamos otro arco de radio d=52 mm que se cortan en el punto C que es otro vértice del trapecio.

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5º.- Por C trazamos una paralela a la base a y por el vértice A una paralela a C1 que se cortan en D que es el otro vértice del trapecio.

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Ejercicio Nº 17 .Construir un Paralelogramo dadas las dos diagonales d=40 mm y d'=65 mm y el ángulo que forman sus lados 50º.1º.- Trazamos un segmento igual a la diagonal d=40 mm.

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3º.- Trazamos una perpendicular al lado del ángulo. determinamos la mediatriz de la diagonal d, que corta a la perpendicular al lado del ángulo en el punto O.Hallamos el simétrico de O punto O1

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4º.- Con centro en O y en O1 trazamos dos arcos de circunferencia que pasan los extremos A y C de la diagonal d. Que son los arcos capaces de la diagonal d y el ángulo de 50º.

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5º.- Con centro en el punto 1 trazamos una circunferencia de radio d'/2 (la mitad de la otra diagonal) que corta a los arcos capaces en los puntos B, D y B', D' que son los vértices de las dos soluciones del paralelogramo a construir.

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Ejercicio Nº 18.Dibujar un cuadrilátero inscriptible con los datos siguientes: lado AB=50 mm, lado BC=35 mm, ángulo A=60º y ángulo B=80º.1º.- Trazamos un segmento AB=50 mm.

2 por el extremo del segmento b trazamos el ngulo dado de 80 y llevamos la distancia bc 35 mm
2º.- Por el extremo del segmento B trazamos el ángulo dado de 80º. Y llevamos la distancia BC=35 mm.
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3º.- Trazamos las mediatrices de los lados AB y BC que nos determinan el punto O que es el centro de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero, trazamos con centro en O la circunferencia que pasa por A, B y C.

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4º.- Por el vértice A trazamos el ángulo A de 60º que corta a la circunferencia en el punto D que es el vértice que falta del cuadrilátero.

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Ejercicio Nº 19.- Construir un rectángulo conocido el lado mayor a=75 mm y el ángulo α=130º que forman las diagonales.1º.- Trazamos un segmento AB=75 mm lado del rectángulo.

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3º.- Trazamos el arco capaz del segmento AB y del ángulo de 130º.En el extremo B trazamos un ángulo de 130º. Seguidamente trazamos una perpendicular al lado del ángulo, que corta a la mediatriz en el punto O.

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4º.- El punto O es el centro del arco capaz, trazamos con centro en O y radio OA=OB el arco que corta a la mediatriz en el punto E que resulta el punto de corte de las diagonales del rectángulo.

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5º.- Unimos los extremos A y B con el punto E y prolongamos .Las rectas AE y BE son las diagonales del rectángulo.
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6º.- Por A y B trazamos las perpendiculares al lado AB que cortan a las diagonales en C y D vértices de rectángulo unimos C y D y se obtiene el rectángulo ABCD.

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Ejercicio Nº 20.Dibujar un cuadrado cuya área sea la mitad de la suma de otros tres cuadrados datos: l1=40 mm, l2=35 mm t l3=20 mm.1º.- Trazamos un segmento l1=40 mm.

2 por un extremo del segmento l 1 trazamos una perpendicular y llevamos la distancia l 2 35 mm
2º.- Por un extremo del segmento l1 trazamos una perpendicular y llevamos la distancia l2=35 mm.
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3º.- Unimos los extremos A y B de los segmentos. El cuadrado de lado AB tendrá por área la suma de los dos cuadrados.
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4º.- Por el vértice B por ejemplo trazamos una perpendicular y llevamos la distancia l3=20 mm. El cuadrado de lado AC tendrá por área la suma de los tres cuadrados

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5º.- Hallamos el punto medio de AC y trazamos una semicircunferencia y una perpendicular el segmento AD es el lado del cuadrado cuya área es la mitad de los otros tres. Por ser AD media proporcional de AC/2

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Ejercicio Nº 21División de la circunferencia en nueve partes igualesSe trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD
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Desde 3 se traza el arco de radio 3-A que corta al diámetro CD en al punto P, el segmento CP es la novena parte de la circunferencia
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Se lleva el segmento CP sobre la circunferencia y obtenemos la división de la circunferencia en nueve partes o el eneágono
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Ejercicio Nº 22.Construcción de un heptágono regular dado el lado l = 20Trazamos la mediatriz del lado dado AB
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Con centro en A trazamos el arco 1-O siendo O el centro de la circunferencia circunscrita al polígono
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Ejercicio Nº 23Construcción de un octógono regular conociendo el lado l = 20Trazamos la mediatriz del lado dado
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Se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en el punto P se traza la circunferencia circunscrita al cuadrado que corta a la mediatriz al lado en el punto O, que es el centro de la circunferencia circunscrita del octógono .

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Ejercicio Nº 24Construir el eneágono regular a partir del lado dado l = 20Construimos un triángulo equilátero de lado igual al lado dado, trazamos la altura

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Se traza la circunferencia de centro M y radio MN que corta a las prolongaciones de los lados del triángulo en P y Q, unimos P y Q y donde esta recta corte a la prolongación de la altura punto O tenemos el centro de la circunferencia circunscrita al eneágono.

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Ejercicio Nº 25Construcción del decágono regular a partir del lado l = 20Construimos el pentágono regular dado el lado l =20. trazamos por B la perpendicular, la mediatriz del lado AB, hacemos centro en B y con radio BA trazamos un arco que corta a la perpendicular por B en 1, con centro en el punto medio del lado AB se traza el arco 1-2, la distancia A-2 es el valor de la diagonal del pentágono, con centro en A y Radio A2 obtenemos el vértice superior del pentágono, hallamos los otros vértices

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Ejercicio Nº 26Rectificación de la semicircunferenciaSe lleva el lado del cuadrado y del triángulo inscritos en la circunferencia y la suma es el valor de la semicircunferencia

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Ejercicio Nº 27Rectificación de la semicircunferenciaSe construye un ángulo de 30º grados, llevamos tres veces el radio de la circunferencia punto BUnimos el punto anterior B con el C y esa es la longitud de la semicircunferencia

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Ejercicio Nº 28.- Construir un pentágono regular de lado AB=35 mm y transformarlo en un cuadrado equivalente.1º.- Trazamos un segmento AB=35 mm lado del pentágono.

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2º.- Trazamos por el vértice B la perpendicular B1 al lado AB. Con centro en B trazamos el arco de radio BA que corta a la perpendicular en el punto 1.

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3º.- Hallamos la mediatriz del lado AB. Con centro en el punto O trazamos un arco de radio O1 que corta a la prolongación del lado AB en el punto 2, la distancia A2 es longitud de la diagonal del pentágono.

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4º.- Con centro en A y radio A2 trazamos un arco que corta a la mediatriz en el punto D y alarco A1 en el punto C que es un vértice del pentágono, si trazamos con el mismo radio otro arco de centro en B se cortan en D. Con centro en D y en A y radio AB se trazan dos arcos que se cortan en el punto E vértice del pentágono.

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6º.- Por el vértice C se traza una paralela a la recta BD que corta a la prolongación del lado AB en el punto 2 con lo que tenemos un polígono con un lado menos, si repetimos el proceso con el vértice E obtenemos un triangulo.

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6º.- El área del triangulo es 1/2AB x h tiene que ser igual al área del cuadrado=l², por lo que l²= 1/2AB x h con lo que l es media proporcional de 1/2AB y h.7º.- Llevamos a continuación de la altura h la mitad de la base 1/2AB=O2 trazamos una semicircunferencia de diámetro D4= 1/2AB + h y centro 3 que corta a la perpendicular trazada por O en el punto 5 la distancia O5 es el lado del cuadrado equivalente.

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Ejercicio Nº 29.- Dibujar un heptágono regular estrellado de paso 3 inscrito en una circunferencia de 38 mm de radio.1º.- Trazamos una circunferencia de centro O y radio = 38 mm.

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3º.- Con centro en el extremo 1 del diámetro trazamos un arco de circunferencia que pase por O es decir de radio 38, que corta en 2 y 3 a la circunferencia. Unimos estos puntos y la mitad de 2-3 es el lado del heptágono l7=2-4.

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4º.- A partir del vértice A llevamos la distancia l7=2-4 y obtenemos los vértices del heptágono ABCDEFG.
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5º.- A partir de un vértice por ejemplo el A unimos este saltando dos es decir el A con el D, el D con el G, hasta cerrar en el vértice A.