Chapter 4 指數函數與對數函數

1. 課程內容 指數函數 對數函數 對數函數的導數 指數函數的導數 經濟學上的兩個應用： 相對變化率與需求彈性 指數成長與衰退 學習目標 指數函數與對數函數的意義及其圖形 如何求指數函數與對數函數的導數 指數函數與對數函數在經濟學上的應用 瞭解成長與衰退的指數模型 Chapter 4指數函數與對數函數

2. 指數函數 • 本章，將介紹兩類重要函數，即指數函數(exponential function)與對數函數(logarithmic function)，進而探討這些函數的特性，導數以及在經濟學和其他領域上的應用。 • 定義4-1: 設a > 0 且 a 1 ，則 f(x) = ax稱為以 a為底(base)的指數函數，其中 x稱為指數(exponent)。 4-1 指數函數

3. 描繪指數函數圖形 • 描繪 f(x) = 2x之圖形。 • 描繪 之圖形。 4-1 指數函數

4. 指數函數之性質及圖形 • 定理4-1: 設 f(x) = ax 為指數函數，則 (a) f(x) 之定義域為 (- ,  )。 (b) f(x) 之值域為(0,  )。 (c) f(x) 之y截距為 f(0) = a0 = 1 ，但無 x截距。 (d) f(x) 為連續函數。 (e) 若 a > 1，則 f(x) 為遞增函數， ， ，其圖形如左圖所示。 (f) 若 0 < a < 1，則 f(x) 為遞減函數， ， ，其圖形如右圖所示。 4-1 指數函數

5. 解: 設 P(n) 表示 n年後的本利和，則顯然地一年後的本利和為 二年後之本利和為 依此類推，我們得到 n年後之本利和為 複利問題 • 最典型的指數函數的例子，即所謂的複利(compounded interest)問題。假設我們將本金(principal) P0元存到某家銀行，銀行的存款利率(interest)為 r (例如 r為8%)且每年複利一次，試問 n年後本利和為多少？ 4-1 指數函數

6. 複利問題 • 銀行的利率通常以年利率為準，但是有些銀行可能依顧客的需求而每半年複利一次，即每年複利二次；每季複利一次，即每年複利四次；每月複利一次，即每年複利十二次。 • 假設將本金 P0 存放於銀行，年利率為 r 且每年複利 k 次，即每 365/k天複利一次。在這種情況下，每次複利之利率為 r/k而一年後之本利和為 • n年後之本利和為 4-1 指數函數

7. 求本利和 • 將1000元存放於銀行，年利率為6%且每年複利一次，試問5年後之本利和為多少？ • 將1000元存放於銀行且銀行之年利率為8%。 • (a) 每年複利一次，試問2年後之本利和為多少？ • (b) 每半年複利一次，試問2年後之本利和為多少？ • (c) 每季複利一次，試問2年後之本利和為多少？ • (d) 每個月複利一次，試問2年之本利和為多少？ 4-1 指數函數

8. 現 值 • 在上述的論述中，我們得到 其中 P(n) 為n年後的本利和，屬於未來的價值。 • 現在我們逆向思考，假設 n年後，我們可拿回本利和 P(n) ，那麼 P0即所謂的現值(present value)。因此，現值 • 求現值:某家銀行年利率為 6% 且每半年複利一次，求 4 年後 10000 元之現值為何？ 4-1 指數函數

9. 求折價 • 一部價值 36000 元之個人電腦，每年的折價率為20%，試問這部電腦 3 年後價值多少？ • 解: 如同在複利的情況，我們可將折價率視為 -0.2 ，因此，3 年後電腦之折價為 36000(1-0.2)3=36000(0.8)3=18432 元。 4-1 指數函數

10. 令 是否存在？ 複利的次數趨近於無窮大時 • 若銀行每年複利的次數頻率趨近於無窮大時，則 n 年後之本利和應該為 4-1 指數函數

11. 自然指數 • 定義4-2:稱為自然指數(natural exponent)。 • 定義4-3: 連續複利(continuously compounded interest) 將本金 P0元存於年利率 r 的銀行裡，在連續複利之下，t年後之本利和為 P(t) = P0ert。 • 定義4-4: 連續複利之現值 銀行之年利率為r，連續複利，t年後 P元其現值為 P0 = Pe-rt。 4-1 指數函數

12. 連續複利 • 求連續複利之本利和 • 將1000元存放於年利率 8% 之銀行裡，連續複利，2 年後之本利和為多少？ • 求連續複利之現值 • 銀行之年利率為 6%，在連續複利之下，10 年後之 5000元其現值為多少？ 4-1 指數函數

13. 自然指數函數 • 定義4-5: y = ex稱為自然指數函數(natural exponential function)。 4-1 指數函數

14. 自然指數函數之圖形 • 若 k > 0，則 y = ekx之圖形如左圖所示，y = e-kx之圖形如右圖所示。 4-1 指數函數

15. 1. 描繪y = 3x與 y = 3-x之圖形。 2. 將 1000 元存放在年利率8% 之銀行裡，求下列各種情況下，10 年後之本利和。 a. 每年複利一次。 b. 每季複利一次。 c. 每月複利一次。 d. 連續複利。 3. 在漲跌幅 7% 的台北股票市場，某一支股票，每股以 50 元上市交易，連續漲停 10 個交易日，求第10 個交易日之收盤價。 4. 求極限 5. 描繪函數 y = 2 + ex與 y = 2 + e-x之圖形。 隨堂演練4-1 4-1 指數函數

16. 對數函數 • 定義4-5: 設 a > 0 且 a  1。若 a y = x ，則 y稱為以 a為底(base) x之對數(logarithm)，通常表示成 y = loga x 且 y 稱為以 a為底之對數函數 (logarithmic function)。 • 求對數 • 求 log2 8。 • 求 。 4-2 對數函數

17. 對數函數之性質及圖形 • 定理4-2:設 f(x) = loga x為對數函數，則 (a) f(x) 之定義域為 (0,  )。 (b) f(x) 之值域為(-,  )。 (c) f(x) 之 x 截距為 1，即 loga 1 = 0，但無 y 截距。 (d) f(x) 為連續函數。 (e) 對任意x > 1， ；對任意數 y， 。 (f) 若a > 1，則 f(x) 為遞增函數， ， 且其圖形如左圖。 (g) 若0 < a < 1，則 f(x) 為遞減函數， ， 且其圖形如右圖。 4-2 對數函數

18. 對數的基本運算法則 • 對數的基本運算法則: • 函數的化簡 • 化簡 f(x) = log2 x7 - log2 x5。 4-2 對數函數

19. 常用對數函數、自然對數函數 • 定義4-6: y = log10x稱為常用對數函數(common logarithmic function)，通常表示成 y = log x，即 y = log x若且唯若 10y = x。 • 定義4-7: y = logex稱為自然對數函數，通常表示成 y = ln x，即 y = ln x若且唯若 ey = x。 • 求對數 • 求 log 1000。 • 求 log 0.001。 • 求 ln e8。 • 求 ln e-0.2。 4-2 對數函數

20. 解方程式 • 求 105x = 2 之解。 • 求 3e2x = 18 之解。 • 求102x - 2(10x) - 3 = 0之解。 4-2 對數函數

21. 變底公式 • 變底公式 (change base formula)： • 求對數 • 求 log2 10。 4-2 對數函數

22. 求雙倍期 (doubling time) • 將本金 P0存放於年利率為 6% 之銀行，每年複利一次，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？ • 將本金P0存放於年利率為8%之銀行，連續複利，試問幾年後其本利和為本金之兩倍？ 4-2 對數函數

23. 對數函數的應用 • 求學習時間 • 某人練習中文打字，練習到第t週時，此人每分鐘可打 f(t) = 20(1 - e-0.5t) 個中文字，試問此人練習幾天以後，每分鐘可以打 5 個中文字？ • 訊息之傳播 • 某一重大訊息經媒體報導，在 t 小時以後，得到這個訊息之比率為 f(t) = 1 - e-0.4t，試問多久以後80%的人都接收到這個訊息？ 4-2 對數函數

24. 隨堂演練4-2 1. 求log464 與 log0.001。 2. 化簡 log2x(x + 1) - log2(x + 1)2。 3. 求 22x = 16 與 9x- 6(3x) + 9 = 0 之解。 4.將一筆錢存放在年利率 10% 之銀行裡，連續複利，試問幾年後其本利和為本金之 2 倍？ 5.描繪 y = ln(2x) 與 之圖形。 4-2 對數函數

25. 對數函數的導數 • 定理4-3: 設f(x) = ln x，則 f(x) 為可微函數且 ，即 。 • 定理4-4: 若 u(x) 為正值可微函數，則 f(x)= ln u(x) 為可微且 ，即 。 • 定理4-5: loga x為可微函數且 。若 u(x) 為可微的正值函數，則 logau(x) 為可微且 。 4-3 對數函數的導數

26. 對數函數的導數 • 求 ln (x2 + x + 1) 之導數。 • 求 y = ln x在 x = 1 之切線方程式。 • 判別 y = ln x圖形之凹性。 • 求 ln (1.1) 之線性近似。 • 求 f(x) = ln (x2 + 1)10 之導數。 4-3 對數函數的導數

27. 對數函數的導數 • (a) 求 f(x) = log3x之導數。 (b) 求 g(x)= log3 (x4 + 1) 之導數。 • 求 f(x) = (x2 + 1) ln (x2 + 8) 。 • 求 之導數 • 設 x > 0，f(x) = xx，求 f '(x) 。 4-3 對數函數的導數

28. 1. 求下列函數之導數： 2. 利用對數微分法求下列函數之導數： 3. 求 ln(0.9) 與 ln(1.01) 之線性近似。 4. 求 y = x + lnx在 x = e之切線方程式。 5. 描繪 y = x + lnx之圖形。 隨堂演練4-3 4-3 對數函數的導數

29. 指數函數的導數 • 定理4-6: 設 f(x) = ex，則 f(x) 為可微函數且 f '(x) = ex，即 。 • 定理4-7:若 u(x) 為可微函數，則 eu(x)亦為可微函數且 • 定理4-8: 設 a > 0，a 1。則 ax為可微函數且 若 u(x) 為可微，則 au(x)亦為可微且 4-4 指數函數的導數

30. 指數函數的導數 • 求 之導數。 • 求 y = ex在 x = 0 之切線方程式。 • 判別 y = ex圖形之凹性。 • 求 e0.01之線性近似。 4-4 指數函數的導數

31. 指數函數的導數 • (a) 求 f(x) = 2x之導數。 (b) 求 之導數。 • 求(a) (b) • 求 之相對極值。 4-4 指數函數的導數

32. 1. 求下列函數之導數： 2.求 之相對極值並描繪其圖形。 3.求 之線性近似。 4.某公司經銷某種商品，其需求函數為 x = D(p) = 500e-0.2p。求收入函數 R(p) 與邊際收入函數 R'(p) 。 5.證明函數 為遞增函數並描繪其圖形。 隨堂演練4-4 4-4 指數函數的導數

33. 經濟學上的應用 • 定義4-7:相對變化率(relative rate of change) 設 f (t) 為可微函數且 f (t)  0 ，則 f (t) 之相對變化率為 。 • 求相對變化率 • 郵局之存款由公元 2000 年起預估總額為 (其中 t 以年為單位)，試問 16 年後郵局存款總額之相對變化率為何？ • 某公司在 t年時其負債總額為 (萬元)，試問該公司在第 8 年時其負債之相對變化率為何？ 4-5 經濟學上的兩個應用

34. 需求彈性 • 假設x = D(p) 為一需求函數，需求量之相對變化率為 且售價之相對變化率為 。因此， • 定義4-8: 設 x = D(p) 為需求函數，則需求彈性為 若 E(p) > 1，則需求具彈性(elastic)。 若 E(p) < 1，則需求不具彈性(inelastic)。 若 E(p) = 1，則需求為單位彈性(unit elasticity)。 4-5 經濟學上的兩個應用

35. 解: 所以，E(2) = 8/16= 1/2 = 0.5，即當 p = 2 時，需求不具彈性；E(4)= 32/(20-16) = 8，即當 p = 4 時，需求具彈性。 需求彈性 • 設 x = D(p) = 20 -p2為需求函數，求 p = 2 和 p = 4 之需求彈性，並作適當之解釋。 • 在 p = 2 時，1% 單位售價之變化只引起 0.5% 需求量之變化。 • E(4) = 8 表示在 p = 4 時，1% 單位售價之變化引起8% 需求量之變化。 4-5 經濟學上的兩個應用

36. 解: 所以，E(10) = 10/50 = 0.2 ，故在 p = 10 時，需求不具彈性，即當售價為10元時，1% 之售價變化只引起 0.2% 之需求量變化。 需求彈性 • 某家早餐店老闆估計每天三明治的需求函數為 D(p) = 60 - p，求三明治之售價 p = 10 元時之需求彈性。 4-5 經濟學上的兩個應用

37. 需求彈性的功能 • 需求彈性的功能是用來決定當單位售價為 p時，為了增加總收入，我們應該提高或降低單位售價的策略。 • 設 x = D(p) 為一需求函數，則總收入為 R = px = pD(p)。 • 當 E(p) < 1 時，即需求不具彈性，R'(p) > 0 ，所以提高售價可以增加總收入。 • 當 E(p) > 1 時，即需求具彈性，R'(p) < 0 ，所以降低售價可以增加總收入。 • 當 E(p) = 1 時，即需求為單位彈性，R'(p) = 0 ，此時總收入為最大。 4-5 經濟學上的兩個應用

38. 1. 求下列函數之相對變化率函數： 2.求下列函數在指定 t時之相對變化率： 3. 求下列函數在指定 p時之需求彈性： 4. 若商店販售某種商品，其需求函數為 D(p) = 200 - 10p，試問 p為多少時，其需求為單位彈性： 5. 設需求函數為 x = 5e-2p，證明需求彈性為價格的 2 倍。 隨堂演練4-5 4-5 經濟學上的兩個應用

39. 指數成長與衰退 • 在自然科學及社會科學裡，某些函數 N(t) 的變化常常遵循以下法則： N(t) 在時間 t 的變化率與在 t 時的量 N(t) 成比率，即 N'(t) = kN(t)，k 為比率常數。 • 連續複利的問題，族群的成長，細菌的培養和放射性物質的衰變等都屬於這種現象。 • 以複利的問題來印證，設將 P0元存放於年利率為 r之銀行裡，在連續複利之下，t年後之本利和為 P(t) = P0ert。因此，P'(t) = P0rert= rP(t)。 4-6 指數成長與衰退

40. 指數成長與衰退 • 假設某個函數 N(t) 滿足 N'(t) = kN(t)，那麼，N(t) = ？ • 從複利的例子中，可猜測 N(t) = N0ekt，N0 = N(0) 為一常數。事實上這是正確的，至於如何求得，我們將其留到第十章討論微分方程式時再加以探討。 • 在 N(t) = N0ekt中，k稱為成長常數(growth constant)。 • 若 k > 0，則 N(t) 稱為指數成長(exponential growth)。 • 若k < 0 時，N(t) 稱為指數衰退(exponential decay)。 4-6 指數成長與衰退

41. 再根據題意，N(5) = 200 ，所以 200 = 100e5k。即 e5k = 2，5k = ln 2，k = ln 2 /5。所以， 。在20天後之果蠅數為 族群之成長 • 某一果園果蠅的成長率和當時的果蠅數成比率，若在開始時有100 隻果蠅，第 5 天時果蠅數為 200 隻，試問 20 天後果蠅之總數為何？ • 解: 設 N(t) 表時間 t時之果蠅數，由題意知 N'(t) = kN(t) 且 N(0) = 100，因此，N(t) = 100ekt。 4-6 指數成長與衰退

42. 放射性物質之衰退 • 設某一放射性物質之退化率和當時的量成比率。若原來有100毫克之放射性物質經過10天後衰退至80毫克，試問其半衰期為多久？即何時衰退至50毫克。 4-6 指數成長與衰退

43. 隨堂演練4-6 1. 設 N(t) 為一函數滿足 N'(t) = 5N(t)，求 N(t)。 2.設 N(t) 為一函數滿足 N'(t) = 5N(t) 且 N(0) = 2，求 N(t)。 3. 設 y'- 3y = 0 且 y(0) = 1，求 y。 4.已知細菌的培養過程中，成長率與當時的細菌數成比率，以 100 個細菌開始培養，第二天之細菌數為200，求第 t 天之細菌總數。 5. 承上題，試問幾天後其細菌之總數為原來的 4 倍。 束 第 四 章 結 4-6 指數成長與衰退